今天看到了一道有意思的題目，特別分享給大家。不過難度偏高，如果你不跟著我理解的話，估計看不太懂。

題目出自探長（@啥都不懂的探長）和邱少（@Li2CO3）。

如圖所示，藍(lán)色數(shù)字是我們需要用到的、提供推理的候選數(shù)；紅色和橙色均為技巧刪數(shù)。

理解方式一：代數(shù)對偶思維

設(shè)r12c7分別填入a和b（此時a和b是1、2、3的其二）。根據(jù)規(guī)則，此時因為r12c7是數(shù)對，所以c7其余格子都不可填入a和b。于是，為了保證第1宮、第5行和第9行能放下三次1、2、3，此時的a和b在右側(cè)大列（3、6、9宮）里面只能到r5c9和r9c8里。

r5c9和r9c8不能同為a或同為b。因為數(shù)字a和b將在第1宮無法正常填數(shù)；而且r5c9和r9c8不能都不填a和b，否則a和b不夠放入第1宮、第5行和第9行這三個區(qū)域（三次1、2、3）。

因此，r5c9和r9c8此時也只能是a和b。因為a和b是1、2、3的其二，所以兩個格子的別的不是1、2、3的候選數(shù)均可刪除。（第1部分刪數(shù)——代數(shù)對偶思維）

同時注意到，由于r78c9只有1、2、3、8，因此我們不妨設(shè)其兩個格子填入8和c，其中c是1、2、3里和a和b不同的、最后剩下的這個數(shù)字，那么注意到，r12c7是a和b，且r78c9是c和8，四個格子互不相同，因此構(gòu)成跨區(qū)四數(shù)組?？鐓^(qū)四數(shù)組形成后，r89c7里的1、2、3、8均可刪除，還有r3c9的1、2、3、8（第2部分刪數(shù)——跨區(qū)四數(shù)組）

接著，注意第9行僅剩下3個格子能放下1、2、3，因此第9行此時出現(xiàn)隱性三數(shù)組，因此剩余非1、2、3的候選數(shù)均可刪除。（第3部分刪數(shù)——隱性三數(shù)組）

然后，注意第1宮、第5行和第9行。我們要想讓c能放進(jìn)結(jié)構(gòu)里且出現(xiàn)3次，c在第5行就只能放在r5c7。否則由于第1宮能放置a、b、c的情況，以及結(jié)合前文我們設(shè)定的r5c9以及r9c8是a和b的條件，此時只能讓r5c7=c才能保證c可以放3個進(jìn)去。所以，r5c7=c就意味著只能是1、2、3的其一，故這個格子的其余非1、2、3的候選數(shù)均可刪除（第4部分刪數(shù)——泛型唯一）。

接著，既然確定了c的位置后，那么第7列必然出現(xiàn)a、b、c的三數(shù)組在r125c7上，其中r12c7是a和b（初始設(shè)定），然后r5c7是c（剛才的結(jié)論），所以第7列出現(xiàn)三數(shù)組，其余格子的1、2、3均可刪除（第5部分刪數(shù)——泛型顯性三數(shù)組）。

最后，由于此時確定的a、b、c的相對位置，因此第1、3列上也必然能出現(xiàn)a、b、c的三數(shù)組，你可以使用枚舉來完成填數(shù)驗證。所以第1、3列別的位置的1、2、3均可刪除（第6部分刪數(shù)——泛型顯性三數(shù)組）。

理解方式二：秩理論

我們注意到，第1宮、第5行和第9行能填1、2、3的位置一共只有9個位置（三個區(qū)域分別都必須填入一次1、2、3，所以這里一共是9次)，算上r12c7，所以1、2、3一共是填進(jìn)去11次。我們找出對1、2、3的完整全覆蓋的刪除域區(qū)域（第1、3列）以及第7列，發(fā)現(xiàn)剩下兩個露出來的格子無法覆蓋到。實際上真的是這樣嗎？JE的基本邏輯會直接讓r5c9和r9c8放和r12c7一樣的數(shù)字，所以影響被“消除”。為什么消除了呢？因為它的結(jié)論和初始情況的假設(shè)情況是對應(yīng)一樣的，因此我們完全可以認(rèn)為這一對情況是冗余信息，“等號左邊”是定義域（那11次填數(shù)），而“等號右邊”是刪除域（那9個刪除域區(qū)域，外帶r9c8和r5c9）。因為r12c7對于r9c8和r5c9來說是一對一樣的結(jié)論，所以等號兩端可同時刪去，于是定義域下不管r9c8和r5c9，而刪除域區(qū)域也不必覆蓋到它們，此時剛好9次（定義域填數(shù)）對9次（刪除域填數(shù)），故這個結(jié)構(gòu)的秩rank(結(jié)構(gòu))=9-9=0。秩為0就意味著結(jié)構(gòu)為類環(huán)結(jié)構(gòu)，所有刪除域上均可刪數(shù)。所以可以得到所有第1、3、7列的1、2、3均可刪除。

剩下的刪數(shù)因為完全可以根據(jù)這些刪數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)得到，這里就不再說明了。