不可達基數(shù)是強弱不可達基數(shù)的統(tǒng)稱。如果κ是不可數(shù)的、正則的極限基數(shù)，則稱κ是弱不可達基數(shù)；如果κ是不可數(shù)的、正則的強極限基數(shù)，則稱κ是強不可達基數(shù)。這兩類大基數(shù)合稱不可達基數(shù)(或不可到達基數(shù))，也有文獻只把強不可達基數(shù)稱為不可達基數(shù)。不可達基數(shù)的概念是波蘭數(shù)學家謝爾品斯基(Sierpiski，W.)和波蘭學者塔爾斯基(Tarski，A.)于1930年引入的。由于任何基數(shù)λ的后繼基數(shù)λ+不超過λ的冪2λ，所以每個強不可達基數(shù)必為弱不可達基數(shù)；又由于在廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)GCH之下，λ+=2λ，所以在GCH之下，每個弱不達基數(shù)也是強不可達基數(shù)。之所以如此稱呼這類大基數(shù)，是因為不能用通常的集合論運算來“到達”它們。事實上，若κ是強不可達基數(shù)，又集合X的基數(shù)|X|<κ，則冪集P(X)的基數(shù)也小于κ；又若|S|<κ，且對每個X∈S，|X|<κ，則|∪S|<κ。這就是說，由小于κ的基數(shù)，無論進行何種運算，總達不到κ。可數(shù)無窮基數(shù)N0也具有上述兩條性質(zhì)，因此，也可以說在有限基數(shù)的范圍內(nèi)，用除去無窮公理之外的任何集論運算，N0也是“不可到達”的。這就清楚地看出，不可達基數(shù)確實是無窮基數(shù)0的一種自然推廣。

馬洛基數(shù)：

如果k是一個馬洛基數(shù)，那么其之下的不可達基數(shù)將構(gòu)成「駐集」，上述的那些迭代層級通過過濾，不論多么高的層級，永遠會停留在駐集之中，這個駐集遠大于整個不可達之處卻遠小于最小的最小的馬洛基數(shù)。

弱緊致基數(shù)：

對于一階邏輯語言的擴張Lλμ，即對任意α<λ，允許語句的α次合取∧ξ<αΦα和或取Vξ<αΦα仍作為一個語句；以及對任意β<μ，允許語句中出現(xiàn)β次存在量詞?ξ<βxξ和全稱量詞?ξ<βxξ；若 Lκκ的字母表僅含有κ個非邏輯符號，并且 Lκκ的子集（語句集）T 存在模型（一致）當且僅當 T 的每個基數(shù)<κ的子集∑都存在模型（一致），則稱κ是弱緊致基數(shù)。

不可描述基數(shù)：

基數(shù)K稱為∏n

m-indescribable如果對于每個∏m命題(φ，并且設(shè)置A?∨κ與(Vκ+n,∈，A)╞φ存在一個α<κ與(V α+n，∈,A ∩Vα)╞φ。這里看一下具有m-1個量詞交替的公式，最外層的量詞是通用的?！莕

m-indescribable的基數(shù)以類似的方式定義。這個想法是，即使具有額外的一元謂詞符號（對于A）的優(yōu)勢，也無法通過具有m-1次量詞交替的n+1 階邏輯的任何公式將κ與較小的基數(shù)區(qū)分開來（從下面看）。這意味著它很大，因為這意味著必須有許多具有相似屬性的較小基數(shù)。

如果基數(shù)κ是∏nm，則稱它是完全不可描述的——對于所有正整數(shù)m和n都難以描述。

強可展開基數(shù)：

形式上，基數(shù)κ是λ不可折疊的，當且僅當對于ZFC負冪集的每個基數(shù)κ的傳遞模型 M，使得κ在M中并且M包含其所有長度小于κ的序列，有一個將M的非平凡初等嵌入 j 到傳遞模型中，其中 j 的臨界點為κ且j(κ)≥λ。

一個基數(shù)是可展開的當且僅當它對于所有序數(shù)λ都是λ可展開的。

基數(shù)κ是強λ不可折疊的，當且僅當對于ZFC負冪集的每個基數(shù) κ 的傳遞模型 M使得κ在M中并且M包含其所有長度小于κ的序列，有一個非-將M的j簡單基本嵌入到傳遞模

型“N”中，其中j的臨界點為κ，j(κ)≥λ，并且V(λ)是N的子集。不失一般性，我們也可以要求N包含其所有長度為λ的序列。

可迭代基數(shù)：

將基數(shù)κ定義為可迭代的，前提是κ的每個子集都包含在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一個M-超濾器，允許通過任意長度的超冪進行有根據(jù)的迭代。Gitman給出了一個更好的概念，其中一個基數(shù)κ被定義為α-iterable 如果僅需要長度為α的超冪迭代才能有充分根據(jù)。

拉姆齊基數(shù)：

讓[ κ ]<ω表示κ的所有有限子集的集合。如果 對于每個函數(shù)， 基數(shù) κ稱為 Ramsey

f : [ κ ]<ω→{0,1}

存在基數(shù)為κ的集合A對于f是齊次的。也就是說，對于每個n，函數(shù)f在A的基數(shù)n的子集上是常數(shù)。如果A可以被選為κ的固定子集，則基數(shù)κ被稱為不可言說的Ramsey。如果

對于每個函數(shù)， 基數(shù)κ實際上

被稱為Ramsey

f : [ κ ]<ω→{0,1}

存在C，它是κ的一個閉無界子集，因此對于C中具有不可數(shù)共尾性的每個λ，都存在一個與 f 齊次的入的無界子集；稍微弱一點的是lamost Ramsey的概念，其中對于每個λ<κ，需要有序類型λ的f的同質(zhì)集。

可測基數(shù)：

為了定義這個概念，人們在基數(shù)κ上或更一般地在任何集合上引入了一個二值度量。對于基數(shù)κ，它可以描述為將其所有子集細分為大集和小集，使得κ本身很大，?并且所有單例{ α }，α ∈ κ很小，小集的

補集很大，并且反之亦然。小于的交集κ大集又大了。

事實證明，具有二值測度的不可數(shù)基數(shù)是無法從ZFC證明其存在的大基數(shù)。

形式上，可測基數(shù)是不可數(shù)基數(shù)κ，使得在κ的冪集上存在κ加性、非平凡、0-1值測度。（這里術(shù)語k-additive意味著，對于任何序列A α，α<λ的基數(shù)λ<κ，A α是成對相交的小于κ的序數(shù)集，A α的并集的度量等于個人A α的措施。)

強基數(shù)：

如果λ是任何序數(shù)，κ是λ-strong意味著κ是基數(shù)并且存在從宇宙V到具有臨界點κ和

Vλ?M

也就是說，M在初始段上與V一致。那么κ是強的意味著它對所有序數(shù)λ都是λ-強的。

伍丁基數(shù)：

f : λ→λ

存在一個基數(shù)κ<λ和

{f(β)|β<κ}

和基本嵌入

j : V→M

來自馮諾依曼宇宙V進入可傳遞的內(nèi)部模型M和臨界點κ和V_j(f）(κ)?M

一個等效的定義是這樣的：

λ是伍丁當且僅當λ對所有λ來說都是非常難以接近的

A?V_λ存在一個λ_A<λ這是<λ-A-strong的

超強基數(shù)：

當且僅當存在基本嵌入 j ：V→M從V到具有臨界點κ和

V_j(κ)?M

類似地，基數(shù)κ是n-超強當且僅當存在基本嵌入j : V→M從V到具有臨界點κ和V_jn(κ)?M 。Akihiro

Kanamori已經(jīng)表明，對于每個n>0，n+1-超強基數(shù)的一致性強度超過n-huge 基數(shù)的一致性強度。

強緊致基數(shù)：

當且僅當每個κ-完全濾波器都可以擴展為κ-完全超濾器時，基數(shù)κ是強緊湊的。

強緊基數(shù)最初是根據(jù)無限邏輯定義的，其中允許邏輯運算符采用無限多的操作數(shù)。常規(guī)基數(shù)κ的邏輯是通過要求每個運算符的操作數(shù)數(shù)量小于κ來定義的；那么κ是強緊致的，如果它的邏輯滿足有限邏輯緊致性的模擬。具體來說，從其他一些陳述集合中得出的陳述也應(yīng)該從基數(shù)小于κ的某個子集合中得出。

強緊性意味著可測性，并被超緊性所暗示。鑒于相關(guān)基數(shù)存在，與ZFC一致的是第一個可測基數(shù)是強緊基數(shù)，或者第一個強緊基數(shù)是超緊基數(shù)；然而，這些不可能都是真的。強緊基數(shù)的可測極限是強緊的，但至少這樣的極限不是超緊

的。

強緊性的一致性強度嚴格高于伍丁基數(shù)。一些集合論學家推測強緊基數(shù)的存在與超緊基數(shù)的存在是等一致的。然而，在開發(fā)出超緊基數(shù)的規(guī)范內(nèi)模型理論之前，不太可能提供證明。

可擴展性是強緊湊性的二階類比。

萊因哈特基數(shù)：

Reinhardt基數(shù)是非平凡基本嵌入的臨界點

j : V→V的V進入自身。

這個定義明確地引用了適當?shù)念恓.在標準ZF中，類的形式為{x|Φ(x,a)}對于某些集合a和公式Φ.但是在 Suzuki中表明沒有這樣的類是基本嵌入j ：V→V.

還有其他已知不一致的Reinhardt基數(shù)公式。一是新增功能符號j用ZF的語言，連同公理說明j是的基本嵌入V，以及所有涉及的公式的分離和收集公理j.另一種是使用類理論，如NBG或KM，它們承認在上述意義上不需要定義的類。

伯克利基數(shù)：

Berkeley基數(shù)是Zermelo-Fraenkel集合論模型中的基數(shù)κ，具有以下性質(zhì)：

對于包含κ和α<κ的每個傳遞集M，存在M的非平凡初等嵌入，其中α<臨界點<κ. Berkeley 基數(shù)是比Reinhardt基數(shù)嚴格更強的基數(shù)公理，這意味著它們與選擇公理不兼容。

作為伯克利基數(shù)的弱化是，對于Vκ上的每個二元關(guān)系R，都有（Vκ，R)的非平凡基本嵌入到自身中。這意味著我們有基本的

j 1，j 2，j 3....j 1 : (Vκ，∈)→(Vκ,∈), j 2 :（Vκ，∈,j 1 )→(Vκ,∈，j 1 )，j 3 :(Vκ,∈，j 1 ,j 2 )→(Vκ，∈,j 1 ,j 2 )

等等。這可以持續(xù)任意有限次，并且在模型具有依賴性選擇的范圍內(nèi)無限。因此，似乎可以通過斷言更多依賴性選擇來簡單地加強這一概念。

對于每個序數(shù)λ，存在一個ZF + Berkeley 基數(shù)的傳遞模型，該模型在λ序列下是封閉的。