首先說(shuō)一下“ω”,作為最小的無(wú)窮序數(shù),它大于任何自然數(shù).或者說(shuō)ω是sup{0,1,2,…}的極限.任意的自然數(shù)(包括葛立恒數(shù)和TREE(3))都在里面.可是ω實(shí)在是太大了,大于所有的自然數(shù).那可不可以存在一種弱化它的辦法,把它從無(wú)限轉(zhuǎn)換成某些比較大的自然數(shù)呢?

這種方法就是―fast-growing hierarchy(FGH).

定義f_0(n)=n+1.這條初始規(guī)則定義了最小序數(shù)時(shí)的情況(0是最小的序數(shù)).

而f_α+1(n)=f_α^n(n).遇到任何大于0的序數(shù)都要把這個(gè)函數(shù)復(fù)合n次.

到現(xiàn)在為止,我們已經(jīng)定義出了自然數(shù)序數(shù)階段的FGH.f_n(n)已經(jīng)具有和高德納箭頭相當(dāng)?shù)脑鲩L(zhǎng)率.接下來(lái)就可以用上ω了.

定義f_ω(n)=f_n(n).

ω的作用就是替換自變量.比如f_n(f_n(n))和f_ω(f_n(n))的結(jié)果是不一樣的.前者的下標(biāo)只是一個(gè)自然數(shù),它在被展開的過程中并不會(huì)被改變.而第二個(gè)式子中的ω隨著里面f_n(n)的展開會(huì)被替換成某些遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于n的自然數(shù).

越外層的ω,展開得到的自然數(shù)就越大.可以說(shuō)ω從某些角度被弱化了,從而輸出了一個(gè)非常大的自然數(shù).即用無(wú)限表示有限.

再看Ω,作為第一個(gè)非遞歸序數(shù)(ω_1^CK的簡(jiǎn)寫)它大于一切通過ω^x不動(dòng)點(diǎn)構(gòu)造的序數(shù).就像ω大于全體自然數(shù)一樣.那么也存在一種把Ω弱化成某些大的遞歸序數(shù)的方式,這種方式就是―Ordinal Collapsing Function(OCF)

假設(shè)ψ(x)=ω^x.而Ω所折疊的是ψ(x)這個(gè)函數(shù)里給定的東西.所以ψ(Ω)=ψ(ψ(ψ…))=ε0.就像ω會(huì)被展開成某些大的自然數(shù)一樣,Ω的作用就是被替換成某些大的遞歸序數(shù).在Ω之后還有Ω_2(第2個(gè)非遞歸序數(shù)),它的作用就是折疊出關(guān)于Ω的某些大的遞歸序數(shù)值,然后Ω再折疊出各種遞歸序數(shù)…這樣一來(lái),所輸出的自然數(shù)就非常之巨大了.

而在Ω之上還有“I”(不可達(dá)序數(shù)),把它放進(jìn)OCF里,會(huì)輸出一些關(guān)于Ω_x的復(fù)雜表達(dá)式,把“M”(Mahlo序數(shù))放進(jìn)OCF里,又會(huì)輸出一系列關(guān)于I的復(fù)雜表達(dá)式,…這樣一環(huán)扣一環(huán).將是一個(gè)全新的,無(wú)可比擬的水平.