#練習(xí)生打卡

一、1+1型隱函數(shù)定理

1.條件：

①F偏導(dǎo)連續(xù)

②F(x?,y?)=0

③?F/?y(x?,y?)≠0

2.結(jié)論：

①隱函數(shù)局部存在（其中y?=f(x?)）

②f'連續(xù)性

③f可微性（f微分用F偏導(dǎo)表示）

3.證明框架：

證明結(jié)論①。

不妨設(shè)F?(x?,y?)＞0，由F偏導(dǎo)連續(xù)??I'×J，F(xiàn)?(x,y)＞0（ⅰ），從而由F(x?,y?)=0??c,d使得F(x?,c)＜0，F(xiàn)(x?,d)＞0

再根據(jù)F本身連續(xù)，?x?的某鄰域使得當(dāng)x'屬于此鄰域時，F(xiàn)(x',c)＜0，x?的某鄰域使得當(dāng)x''屬于此鄰域時，F(xiàn)(x'',d)＞0

進而可知?矩形鄰域I×J，F(xiàn)(x,y)值由負到正（ⅱ）

結(jié)合(ⅰ)(ⅱ)知在I×J上存在F(x,y)=0的曲線，且該曲線是y關(guān)于x的函數(shù)。

證明結(jié)論②。

易證f連續(xù)，從而當(dāng)h→0時，k=f(x+h)–f(x)→0

根據(jù)F全微分的等價定義，以及F(x,y)=0 [F((x+h),f(x+h))=0]，以及當(dāng)h→0時，k→0，α→0，β→0，求得f'(x)=limk/h用F的偏導(dǎo)表達式。

證明結(jié)論③。

由f'(x)表達式（f(x)=–F'?(x,y)/F'?(x,y)）知f'連續(xù)，因為F'?，F(xiàn)'?連續(xù)。

二、n+1型隱函數(shù)定理

由于f是多元函數(shù)，因此鄰域中I從一維鄰域變成高維方體，結(jié)論中的f'變成?f/?xi=Fxi'/Fy'

三、實際應(yīng)用中，求f'可以用隱函數(shù)定理，也可以直接用全微分（別忘檢驗條件）