一周沒(méi)更新專欄了，正在寫的還要一陣子，翻了翻箱底隨便放點(diǎn)東西出來(lái)吧。

純屬本人之前為了整理思路而摸索的足跡，有許多不當(dāng)之處，僅供參考。因?yàn)閺?fù)制粘貼時(shí)一些word的角標(biāo)格式不能實(shí)現(xiàn)，有些地方可能不是很清楚。懶得慢慢校對(duì)了2333

前言（并沒(méi)有寫前言）

1 初等代數(shù)

1.1 四則運(yùn)算

基本概念：計(jì)數(shù)法則（函數(shù)）、數(shù)集。

函數(shù)：按某種法則，給定分別在某數(shù)集上有定義的自變量X、應(yīng)變量Y，對(duì)自變量所處的集合每一個(gè)元素都能在應(yīng)變量的集合中有唯一確定的元素相對(duì)應(yīng)，則稱Y是（關(guān)于）X的函數(shù)。

數(shù)集：元素是數(shù)字的集合。

定義域：函數(shù)中全體自變量組成的數(shù)集。

計(jì)數(shù)：加法??? 數(shù)集：正整數(shù)

X + a = b? 其中X、a、b均為正整數(shù)。

注意X和a是可交換的，即X + a = a + X。

引入：方程和求逆運(yùn)算

方程：含有待求變量的等式。

由方程和函數(shù)的概念引入逆運(yùn)算（反函數(shù)）。

對(duì)于X + a = b，給定正整數(shù)a、b，由減法得X = b – a；注意到對(duì)某些給定的正整數(shù)a、b，并不能在正整數(shù)域中找到X值。由此根據(jù)實(shí)際意義需要拓展原有的數(shù)集概念，并在新的定義域上完善相關(guān)的運(yùn)算法則。

計(jì)數(shù)：加法、減法??? ??數(shù)集：整數(shù)

X + a = b? X = b – a? 其中X、a、b均為整數(shù)。

整數(shù)包含：正整數(shù)，負(fù)整數(shù)，零。

定義乘法為若干個(gè)相同的整數(shù)的和，記為Y = a*X，其中a為正整數(shù)，X為整數(shù)。顯然Y是整數(shù)。

注意X和a是可交換的，即a*X = X*a。

由此容易得到將a擴(kuò)展到整數(shù)的乘法。

現(xiàn)定義除法是乘法的逆運(yùn)算，即：Y=X/a，X=a*Y，其中Y為整數(shù)，a為正整數(shù)。這里注意到對(duì)某些給定的Y、a，不能從正整數(shù)中找到對(duì)應(yīng)的X滿足等式。

定義分?jǐn)?shù)：X = b/a，其中a、b為整數(shù)。一般認(rèn)為b不是a的整數(shù)倍。

這里要特別注意沒(méi)有限制條件下a = 0是沒(méi)有意義的。

可將加法、減法、乘法的定義域拓展到分?jǐn)?shù)集。

定義有理數(shù)集是整數(shù)集和分?jǐn)?shù)集的并集。

計(jì)數(shù)：加、減、乘、除? ??數(shù)集：有理數(shù)

對(duì)四則運(yùn)算的復(fù)合有以下運(yùn)算定律：

( a + b ) * c = a*c + b * c

b/a + d/c = ( b*c + a*d ) / ( a*c )

( b/a )*( d/c ) = ( b*d ) / ( a*c )

( b/a ) / ( d/c ) = ( b*c ) / ( a*d )

其中a、b、c、d均為整數(shù)，作除數(shù)時(shí)不為零（一般都認(rèn)為該分式有意義）。

習(xí)題1.1

1.?????? 由加法的交換律證明乘法的交換律。

2.?????? 證明由有理數(shù)的有限次四則運(yùn)算所得的數(shù)仍是有理數(shù)。

1.2 指數(shù)冪

定義整數(shù)次的冪函數(shù)：將t個(gè)有理數(shù)X相乘得到的結(jié)果Y，Y為X的函數(shù)，記為Y = Xt，其中t為正整數(shù)，X為有理數(shù)。顯然Y為有理數(shù)。

注意在冪函數(shù)Y = Xt中X、t是不可交換的。

補(bǔ)充運(yùn)算定律：

X( a + b ) = Xa * Xb

Xa*b = ( Xa )b

( x1*X2 )a = x1a * X2a

容易推得：X-a = 1/( Xa )

即可將Y = X^t中的指數(shù)t拓展至整數(shù)集。

但是將其中的指數(shù)t從整數(shù)集拓展至有理數(shù)集卻不簡(jiǎn)單。

例題1.2.1? 證明：根號(hào)2不是有理數(shù)。

證??? 設(shè)X = 根號(hào)2，即X^2 = 2 。

假設(shè)X是有理數(shù)，不妨設(shè)X = a/b，a、b為互質(zhì)的整數(shù)。

則有a^2 = 2 b^2 ；2b^2顯然是偶數(shù)（2的整數(shù)倍），則a2也是偶數(shù)，則a必是偶數(shù)。

設(shè)a = 2m，m為整數(shù)。則有 ( 2m )2 = 2b2，化簡(jiǎn)得2m2 = b2 。

由此得b2是偶數(shù)，則b必是偶數(shù)。

但a、b是互質(zhì)的，即a、b不可能同時(shí)為偶數(shù)。

故假設(shè)不成立，即根號(hào)2不是有理數(shù)。

?

可能有人會(huì)認(rèn)為根號(hào)2比較特殊從而方便了證明。

例題1.2.2? 證明：根號(hào)3不是有理數(shù)。

證??? 設(shè)X = 31/2，即X2 = 3 。

假設(shè)X是有理數(shù)，不妨設(shè)X = a/b，其中a、b為互質(zhì)的整數(shù)。

得a2 = 3b2 。分類討論：

b為偶數(shù)：則3b2為偶數(shù)，則a必是偶數(shù)，這與a、b互質(zhì)相矛盾。

b為奇數(shù)：則3b2為奇數(shù)，則a為奇數(shù)。

不妨令a = 2m+1，b = 2n+1，其中m、n均為整數(shù)。

代入得 (2m+1)2 = 3(2n+1)2

即 m2-3n2+m-3n = ?

因?yàn)閙、n均為整數(shù)，所以m2-3n2+m-3n必是整數(shù)，則等式不成立，即假設(shè)不成立。

綜上，根號(hào)3不是有理數(shù)。

?

這是將等式進(jìn)行變換后讓兩邊的代數(shù)式的值域沒(méi)有交集從而證偽的手段，但它并不能比較簡(jiǎn)易地證明所有對(duì)正整數(shù)開n次根方得到的都不是分?jǐn)?shù)。

比如現(xiàn)在嘗試證明31/3不是有理數(shù)。

設(shè)X3 = 3，若X為有理數(shù)，不妨令X = a/b，a、b為互質(zhì)的整數(shù)。則a3 = 3b3。

a、b不可能同時(shí)為偶數(shù)，則只有a、b均為奇數(shù)時(shí)滿足等式。

令a=2m+1，b=2n+1，其中m、n為整數(shù)。

得 ( 2m+1 )3 = 3*( 2n+1 )3

整理得 4m3 + 6m2 + 3m = 3*( 4n3 + 6n2 + 3n ) + 1

不能直接通過(guò)兩邊代數(shù)式值域無(wú)交集得到證明。

定理1.2.3? 正整數(shù)的質(zhì)因分解式是唯一確定的。

這是數(shù)論中一個(gè)重要定理，此處不記其較為深?yuàn)W的證明過(guò)程。

由這項(xiàng)定理就很容易證明各種由y = xt得到的數(shù)不是分?jǐn)?shù)的問(wèn)題了。

比如上面的證明31/3不是有理數(shù)，對(duì)于a3 = 3b3，因?yàn)閍、b是互質(zhì)的，不妨設(shè)a = p1p2…pm，b = q1q2…qn，其中p、q為質(zhì)數(shù)且取任何的p、q，p、q都不等。（認(rèn)為a、b是正整數(shù)）

代入得 p13 p23 … pm3 = 3 q13 q23 … qn3，不符合定理。

?

一般將y=x1/n視為關(guān)于x的函數(shù)（n為偶數(shù)）時(shí)規(guī)定y取正值（算數(shù)根）。

如果不能拓展現(xiàn)有的數(shù)集并完善相關(guān)的運(yùn)算法則，就不能很好地使用所定義的各種函數(shù)了。當(dāng)然可以通過(guò)計(jì)算去得出一些數(shù)字的近似值，比如21/2 約為1.414，對(duì)1.414平方得1.999396，和2相當(dāng)接近。從最簡(jiǎn)單的近似估計(jì)可以得到一些無(wú)限不循環(huán)小數(shù)（無(wú)理數(shù)），通過(guò)函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增或者遞減，然后對(duì)區(qū)間不斷細(xì)分，從而得出近似值，當(dāng)這一細(xì)分過(guò)程趨于無(wú)限時(shí)所得的結(jié)果就趨于精確值。這涉及到微分的思想，后面章節(jié)再詳細(xì)論述。由有理數(shù)和無(wú)理數(shù)組成的實(shí)數(shù)集包含了所有”可測(cè)得長(zhǎng)度”的數(shù)字。

回到前面冪函數(shù)的內(nèi)容。對(duì)于Y = Xt，把Y看成X的函數(shù)就是冪函數(shù)，看成t的函數(shù)就是指數(shù)函數(shù)，如果將t看成Y的函數(shù)就是對(duì)數(shù)函數(shù)，記為t = logXY。

計(jì)數(shù)法則：四則運(yùn)算、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)??? 數(shù)集：實(shí)數(shù)

習(xí)題1.2

1.??? 考慮y=xt，x、y、t均為正整數(shù)；證明：

(1)? 若y為奇數(shù)，則x必是奇數(shù)。

(2)? 若y為偶數(shù)，則x必是偶數(shù)。

2.??? 證明21/n不是有理數(shù)，其中n為正整數(shù)。

3.??? 證明根號(hào)n都不是分?jǐn)?shù)，其中n為正整數(shù)。

4.??? 證明無(wú)限循環(huán)小數(shù)是分?jǐn)?shù)。

5.??? 證明log23不是分?jǐn)?shù)。

6.??? 指出對(duì)數(shù)函數(shù)t=logXY的定義域。

7.??? 推算對(duì)數(shù)函數(shù)的以下運(yùn)算法則：

(1)? loga(bc)和logab、logac的關(guān)系

(2)? loga(mn)=n*logam

(3)? logab=(logeb)/(logea)

1.3 多項(xiàng)式方程

多項(xiàng)式：形如a0 + a1X + a2X2 + … + anXn的算式，其中把X當(dāng)作變量，n為正整數(shù)。

規(guī)定多項(xiàng)式的次數(shù)是其最高次項(xiàng)的次數(shù)。

形如aX+b=0的方程為標(biāo)準(zhǔn)化的一元一次方程，其求解公式為X=-b/a。

形如Xn=C的方程容易解得X=C1/n。（n為整數(shù)）

對(duì)n次的多項(xiàng)式方程，理想的方法是化為tn=C的形式，其中t=aX+b。

例題1.3.1 ?求一元二次方程aX2+bX+c=0的求根公式。

解??? X2+(b/a)X=-c/a

( X+b/(2a) )2 = -c/a + b2/(4a2)

x1=-b/(2a)? + ( b2-4ac )1/2/(2a)

X2=-b/(2a)? - ?( b2-4ac )1/2/(2a)

當(dāng)b2-4ac > 0時(shí)，方程有兩個(gè)不同的根；

當(dāng)b2-4ac = 0時(shí)，方程有兩個(gè)重根；

當(dāng)b2-4ac < 0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

?

三次和四次的一元方程也有類似的求根公式但遠(yuǎn)比二次的要復(fù)雜；五次及更高次的方程不存在一般的求根公式，這個(gè)問(wèn)題涉及到群論的概念。

例題1.3.2 ?求方程( X-1 )( X+2 )( X-3 )( X +4 )=0的解。

解??? 因?yàn)槌朔e得0的因式必至少一項(xiàng)為0

故得解為x1=1? X2=-2? X3=3? X4=-4

?

顯然這種形式的方程求解是非常簡(jiǎn)便的，如果展開為標(biāo)準(zhǔn)的多項(xiàng)式再求解就很復(fù)雜甚至沒(méi)有一般的求根公式。

通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn)對(duì)一元n次方程求解得到的根總是有n個(gè)的（包含重根）。

代數(shù)基本定理

任何復(fù)系數(shù)一元n次方程在復(fù)數(shù)域上至少有一根。（n為正整數(shù)）

?

由此推出復(fù)系數(shù)一元n次方程在復(fù)數(shù)域上有且只有n個(gè)根（包含重根）。

補(bǔ)充：復(fù)數(shù)是由實(shí)數(shù)和虛數(shù)組成的數(shù)集。

虛數(shù)集：a*i，其中a為非零實(shí)數(shù)，i=(-1)1/2 。

補(bǔ)充一些公式：

a2-b2=(a+b)(a-b)

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

(a+b)n=c1an + c2an-1b + c3an-2b2 + … + cnabn-1 + cn+1bn，其中n為正整數(shù)，c為系數(shù)，可由楊輝三角的第n+1行取得c的序列。

楊輝三角：

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

…

韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）

設(shè)一元n次方程anXn + an-1Xn-1 + … + a1X + a0 = 0的根為x1、X2...Xn，則有：

x1 + X2 + … + Xn = -an-1/an

x1X2…Xn = (-1)na0/an

?

習(xí)題1.3

1.?????? 求2X2 + X – 3 = 0的根。

2.?????? 求8X5 + 16X4 + 8X3 + 27X2 +54X + 27 = 0 的實(shí)數(shù)根。