#練習(xí)生打卡

1.補(bǔ)充兩個命題：

連續(xù)性的局部表示、粘接引理。

①連續(xù)性的局部表示的證明

任取開集U?Y，由于限制映射等于“整體”映射復(fù)合包含映射，把f｜ua?1(U)轉(zhuǎn)換成(f°i)?1(U)，根據(jù)映射復(fù)合的逆的運算，轉(zhuǎn)換成i?1[f?1(U)]，而這正是f?1(U)∩Ua，而根據(jù)“分配率”，∪[f?1(U)∩Ua]=f?1(U)，因此∪[f｜ua?1(U)]=f?1(U)。

接下來要說明f｜ua?1(U)是X上的開集。而這依賴于引理：U是Y上的開集，Y是X上的開集，則U是X上的開集。

而該引理依賴于子空間拓?fù)涞亩x。

② ①的閉集版：粘接引理。

把①的思路平移過來。

2.同胚。

①同胚是等價關(guān)系

②同胚定義里「f?1是Y到X的一個連續(xù)映射」這一條不能省。

同構(gòu)中相應(yīng)的條件可省。

經(jīng)典例子證明f連續(xù)，f?1卻可能不連續(xù)。

例2.64 f作用下使得Y里沒有“端點”。故而f(0)不是f(U)的內(nèi)點，所以X中的開集U=[0,1/2)在f下的像f(U)不是Y中的開集，所以f?1不是Y到X的連續(xù)函數(shù)。

③如果X和Y都是IR上的區(qū)間，則第三條可以省