高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與解法全集（涵蓋所有）|長期更新|從零開始拯救所有學(xué)渣！通俗易懂|高
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筆記內(nèi)容：
初高連接 平面向量 立體幾何
數(shù)列 導(dǎo)數(shù) 解三角形 三角函數(shù)
正態(tài)分布 排列組合 圓錐曲線
平面向量的基本概念
1.矢量有大小有方向可以理解為矢量等于向量
2.向量由三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成：起點(diǎn)A，終點(diǎn)B和長度L
向量符號(hào)：→AB 向量的長度：|→AB|
3.“| |”意為：模，長度。
4.當(dāng)l=0時(shí)，稱為零向量，0→（僅限零向量）
當(dāng)l=1時(shí)，稱為單位向量
5.向量的簡(jiǎn)寫：→a（印刷體中，“a”為加粗的黑體字 a，且并沒有“→”）
6.兩向量若相同需滿足大小相等且方向相同的條件
7.向量可以平移。7.5.向量即使方向不同，也是平行向量
8.零向量與任意向量平行，零向量的方向是任意的
p77向量的加減法運(yùn)算法則
1.向量看的不是路程而是位移
2.三角形法則
由圖所示，從A點(diǎn)到B點(diǎn)有兩條路徑，從路程看路徑1（AC）的路程小于路徑2，從位移看兩條路徑是相等的
由此得出：向量AB+向量BC=向量AC
3.平行四邊形法則(還是三角形法則）
向量a+向量b=向量b'（也可以用正交分解法）
4.向量a與負(fù)的向量a
解三角形
一.正弦定理
1.正弦定理反映的是兩個(gè)邊和兩個(gè)角的正弦之間的關(guān)系（兩邊兩角）
2.邊角互換：①如果一道題兩邊的正弦是齊次的，可以把它轉(zhuǎn)化為邊 ②如果兩邊的邊是齊次的 可以轉(zhuǎn)化為角
發(fā)現(xiàn)：角轉(zhuǎn)化為邊下一步往往是余弦定理
變轉(zhuǎn)化為角下一步一般是三角恒等變換即角的和與差公式
二.余弦定理
1.題目直接出現(xiàn)余弦
2.三邊一角
3.常見形式：b2+c2=a2
三角函數(shù)重點(diǎn)提要
簡(jiǎn)介：許多人學(xué)高中數(shù)學(xué)時(shí)三角就是一個(gè)大頭。但挺多教輔書都是面面俱到的解釋。我希望寫一個(gè)只有重點(diǎn)、難點(diǎn)的筆記
注意1：本筆記適合學(xué)完三角后觀看!
注意2：一定要多刷題！
一、任意角的度數(shù)+弧度制
重點(diǎn)：初中學(xué)的是銳角三角比，現(xiàn)在高中拓展到了任意角，并且單位是弧度制
作用：為后面三角函數(shù)的定義域拓展到全體實(shí)數(shù)做準(zhǔn)備
實(shí)用解題技巧:
1rad=180/π≈60°。也就是說，如果要比較的話，可以偷懶算作是60°去算（k*1rad同理）
總結(jié)：相信一開始學(xué)挺多人理解不了，那就把它看成一個(gè)單位，與“度”的換算是180/π
二、任意角的三角函數(shù)
要背的：
sin=縱坐標(biāo)/單位圓半徑
cos=橫坐標(biāo)/單位圓半徑
tan=縱坐標(biāo)/橫坐標(biāo)
cot=橫坐標(biāo)/縱坐標(biāo)
三、三角公式
1.同角基本關(guān)系式
2.誘導(dǎo)公式：奇變偶不變 符號(hào)看象限（解釋請(qǐng)看視頻，然后必須要做大量的題目）
3.和差倍角公式
這三個(gè)屬于基礎(chǔ)公式，得牢牢掌握
4.和差化積+積化和差（用一個(gè)看似廢話的式子：a=(a+b)/2+(a-b)/2，b=(a+b)/2-(a-b)/2）
5.輔助角公式（推導(dǎo)：通過除以√a2+b2構(gòu)造和角公式）
6.降冪公式（逆用余弦的倍角公式）
7.半角公式（逆用降冪公式）
8.萬能置換公式（半角公式）
四、三角函數(shù)一般形式：Asin(ωx+φ)+B
這里給大家看一下如何變化的，多看幾遍，多找?guī)讉€(gè)例子就能 找到各個(gè)變量的含義
計(jì)數(shù)原理
合理性說明，插空對(duì)應(yīng)的條件是元素不相鄰，先排好沒有要求的元素，相當(dāng)于把條件弱化，牽制等效為空，變成了一個(gè)常規(guī)的問題。
相鄰問題捆綁法。
情景抽象為數(shù)學(xué)語言，在表達(dá)為符號(hào)
模式識(shí)別是對(duì)分析過程的思維斷點(diǎn)解讀，即找到了闡釋該步驟的思維
立體幾何
①最大最小值問題
函數(shù)法
V球＝4/3ΠR方→R＝1
面積法得出R與l的方程
兩邊平方，用R的函數(shù)表示l
l所得值如圖
分母集體換元
基本不等式一步到位
總結(jié)分析：運(yùn)用面積法，還原法，基本不等式
②動(dòng)態(tài)圖形研究
臨界法
對(duì)圖形進(jìn)行直接分析
找到符合條件的臨界值
注意分析臨界值是否可取【！】
最終確定得出最大最小值或值域
------------------------------------分割線------------------------------------
平面的定義與公理【難死我了55555真的很難不哭】
平面定義： 沒有邊界無限延伸（例如課桌不可以稱為平面，因?yàn)槠溆羞吔纾?
點(diǎn)與平面的關(guān)系
A∈α
B×∈α
C∈α
線與面的關(guān)系
公理①
如果一條直線上的兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)（兩點(diǎn)確定一條直線，三點(diǎn)不共線的確定一個(gè)面）
A∈l，B∈l，A∈α，B∈α→l （α
公理②
過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且僅有一個(gè)平面（若三點(diǎn)共線，可以畫出無數(shù)個(gè)面）
公理③
如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么她們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線（相交）
P∈β，P∈α，P∈α∩β→l＝α∩β且P∈l
直線與直線的關(guān)系
①共面
a.相交（一個(gè)公共點(diǎn)）
b.平行（沒有公共點(diǎn)）
②異面（沒有交點(diǎn)）
公理④
平行線的傳遞性
a1∥a2，b1∥b2 →α＝β或α＋β＝180
<a‘，b>銳角（包括直角）
【注意】異面直線可以垂直，記做a⊥b
異面直線不可以平行（平行直線一定共面）
經(jīng)典題型：找垂直，平行，異面等
平面與直線的關(guān)系
①直線在平面內(nèi)，即l（α【有無窮個(gè)公共點(diǎn)】
②直線與平面相交，即 l∩α＝A【有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)】
③直線與平面平行，即l∥α【無公共點(diǎn)】
【注意】直線在平面外包括②③
【線面平行的判定與性質(zhì)】
a.判定
Ⅰ.a×（α，b（α，a∥b→a∥α
Ⅱ..a⊥b，b⊥α，a×（α→a∥α
b.性質(zhì)
Ⅰ.a∥α，a（β，α∩β＝b→a∥b
Ⅱ.a∥α，b⊥α→a⊥b
【線面垂直的判定與性質(zhì)】
a.判定
a,b(α，a∩b=A，若l⊥a，l⊥b→l⊥α
Ⅰ.a⊥α，b⊥α→a∥b
Ⅲ.（用得最多）l⊥α→l⊥a......
平面與平面之間的關(guān)系
①平行，即α∥β
②相交【有且只有一個(gè)公共線】
a.判定
Ⅰ.α面上兩條相交直線都與β平行
a（α，b（α，a∩b＝A，若a∥β，b∥β→α∥β
Ⅱ.a⊥α，a⊥β→α∥β【a稱為法向量】
【推論】a⊥α，b⊥β，且a∥b→α∥β
Ⅲ.a（α，b（α，a∩b＝A；c（β，d（β，c∩d＝B；若a∥c，b∥d→α∥β
b.性質(zhì)
Ⅰ.α∥β，a（α→a∥β
Ⅱ.α∥β，a⊥α→a⊥β【判定Ⅱ逆推】
【二面角與面面垂直】
二面角定義與表示方法（見下圖）
取值范圍 [0°~180°]
【面面垂直】
a.判定
a（α，α⊥β→α⊥β
b.性質(zhì)
α⊥β，α∩β=l，a⊥l→α⊥β
【延申】三垂線定理（！不可直接用）
a.定理
b.推理
PQ⊥α，a(α→PQ⊥α
OQ⊥a，PQ,OQ（面POQ，PQ∩OQ＝Q
∴a⊥面POQ，PQ（面POQ，a⊥PQ
【外接球之墻角模型】
?。貉a(bǔ)出長方體，求出長方體外接球半徑（體對(duì)角線的一半）即為三棱錐外接球
【外接球之外心法】
外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)
【題目中長度條件特別多時(shí)注意探究線段長度之間的關(guān)系（常出現(xiàn)直角等特殊角度）】
【存疑】
【外接球之特殊求法】
bingo?
正態(tài)分布
1 對(duì)稱軸x＝μ
2 f（x）在x軸上，與x不相交
3 s＝1
表示為N（μ，Σ的平方）
x~N（μ，Σ的平方）
Σ確定了最高點(diǎn)的值，
Σ越大，數(shù)據(jù)越分散
Σ越小，峰值變大了，最高點(diǎn)更高，下降的更快，他的數(shù)據(jù)更加的集中
焦點(diǎn)三角形
橢圓的第一定義
中位線（中點(diǎn)條件多）
勾股定理（直角問題）
一般的三角形
角度的問題
1.先根據(jù)橢圓和三角形的性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系
2.把角度條件轉(zhuǎn)化為a和c之間的關(guān)系（離心率e=c/a）——余弦定理
3.算出來的式子同除a，得到離心率相關(guān)的式子（常用）
?
拋物線不一定是函數(shù)。
拋物線性質(zhì)：拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線和焦點(diǎn)的距離相等（考到就考）
直徑---- 對(duì)角90度
拋物線容易考察各種位置關(guān)系，注重幾何意義。
求t與p的關(guān)系時(shí)不要看到二次方程就不敢做，你要求關(guān)系又不是把兩個(gè)都求出來。
看到（a,0）（-a,0）/(0,a),（0，-a）要條件反射
注意題目的限制條件
相 加 快 樂
求離心率看a和c 看見一般角度解三角形
記得離心率有范圍
條件一定要用完
十字相乘法
2.何為Δ
3.Δ的三種情況
4.求根公式是什么
5.對(duì)稱軸是什么
一次分式
技巧：所有的一次分式求值域問題都只需要將分母
整體換元 （換元法）也叫參數(shù)分離。
二。二次分式
通法：（判別式）把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程，通過方程有實(shí)數(shù)根，得判別式Δ≥0，從而求得原函數(shù)的值域。
全稱量詞與存在量詞
量詞：短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞命題，用符號(hào)?表示。（A就是all,倒過來作符號(hào),表示所有的避免雷同）
短語”存在一個(gè)“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞命題，用符號(hào)?表示。（E就是exist,反過來做符號(hào)表示存在,也同樣表示所有的避免雷同）
三。根號(hào)
①方法：（代數(shù)換元） 遇見根號(hào)同次可以將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域。
②方法：（三角換元）遇見根號(hào)不同次時(shí)可以考慮將x換為cosα
導(dǎo)數(shù)
學(xué)完等差過來看兩邊求導(dǎo)的原因是為了湊出這里的等式令（...）=0的原因是導(dǎo)函數(shù)等于0（即原函數(shù)此時(shí)斜率為0），必然是函數(shù)圖像一端點(diǎn)，借此展開單調(diào)性討論
因?yàn)橄喑龑?dǎo)數(shù)運(yùn)算法則限制了分母為正數(shù)，因此只需討論分子的正負(fù)區(qū)間即可得到原函數(shù)單調(diào)性
導(dǎo)數(shù)第五節(jié)（函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)）
基本知識(shí)：
- 導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)，原函數(shù)變化率大于0（反過來同理）
- 導(dǎo)函數(shù)越大，導(dǎo)數(shù)變化越快
用導(dǎo)數(shù)去畫圖時(shí)遵循三步：
- 先看原函數(shù)定義域
- 對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)（求導(dǎo)后化簡(jiǎn)），觀察導(dǎo)數(shù)正負(fù)情況
（其中可將導(dǎo)函數(shù)畫出觀察正負(fù)）
- 在原函數(shù)圖像上將某些特殊拐點(diǎn)標(biāo)出，并作圖
本節(jié)坑點(diǎn)：
- 注意定義域的范圍
- 函數(shù)較多，注意形式（普通，復(fù)合，相乘 ，相加）
導(dǎo)數(shù)第六節(jié)（極值與最值）
基本知識(shí)：
- 發(fā)生趨勢(shì)變化的點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為極值點(diǎn)
（分為極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)）
- 極值點(diǎn)的F(x)為極值
（分為極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)）
坑點(diǎn)：
- 極大值并不代表著最大值（某定義域中的最大值或極小值）
- x的三次并不存在極值點(diǎn)
分段函數(shù)
畫圖像盡量畫好看
題型： 1.零點(diǎn) 變?yōu)? →交點(diǎn)
2.交點(diǎn) 變?yōu)? →零點(diǎn)
一.1.分段分段看
2.畫圖像盡量畫好看
例一：先判斷第一段
?第一段是二次函數(shù)且開口向下對(duì)稱軸左側(cè)增函數(shù)，當(dāng)對(duì)稱軸-b/2a=0時(shí)，第一段上全部為增函數(shù)，當(dāng)x=0時(shí)f(x)=0.
第二段是一次函數(shù)增減性取決于（2a-1），當(dāng)（2a-1）＞0時(shí)為增函數(shù)，同時(shí)a-1要在0上方或與0重合。所以解得。
例二
求f(a+b)的取值范圍首先要找出a與b的范圍，解得
a≤-3/2 b≥0。然后聯(lián)立用a表示b最后帶入f(a+b)求f(a+b)的值域
p5二次函數(shù)中的a，b，c
先畫圖
解：因?yàn)閍?＞a?＞a?＞0所以三個(gè)圖像開口都向上，
依題意得a?的方程中的兩個(gè)根為-1與+2
（因?yàn)閥等于a(x-x1)(x-x2)，負(fù)負(fù)得正，當(dāng)那個(gè)x1是負(fù)時(shí)前面號(hào)應(yīng)該變正，或把a(bǔ)1(x + 1)(x - 2)=1左右兩邊看成兩個(gè)式子，右邊是一條y恒等于1的橫線，左邊是a1(x + 1)(x - 2)?= y 的拋物線。這些也是彈幕里的，謝謝大佬( ? ?ω?? )?）
因?yàn)閍?＞a?，所以a?的圖像開口應(yīng)該比a?的大
由圖可得a越小最低點(diǎn)越高（一哥原話）
a?如上
①abc＞0
依題意可得-b/(2a)=-1即b=2a
解：由圖得a＞0，c＜0，用左同右異可得b＞0
（左同右異：ab異號(hào)對(duì)稱軸在Y軸右邊，反之a(chǎn)b同號(hào)對(duì)稱軸在Y軸的右邊。謝謝大佬。Thanks?(?ω?)?）
所以abc應(yīng)該小于0所以①錯(cuò)
②b2-4ac＞0
解;將圖像補(bǔ)全可得該二次函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以b2-4ac＞0。故②正確
而且還可以利用對(duì)稱軸還可以將兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求出來。
（說f1=0，就是令其中的一個(gè)焦點(diǎn)等于0。老樣子，謝謝大佬。Thanks?(?ω?)?）
讓其中一個(gè)交點(diǎn)等于0可得：c等于幾個(gè)a
X=1時(shí)，a+b+c=0得3a=—c
方法二，將x=-3帶入方程計(jì)算，可得y等于0
由剛才的計(jì)算可知x=-3是方程的另一個(gè)根
（而且還可以利用對(duì)稱軸還可以將兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求出來。記起來沒？）所以③對(duì)
④若點(diǎn)（-0.5，y1），（-2，y2）均在拋物線上則y?＞y?
解：離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大（前提條件為a＞0，若a＜0則離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)越小。）為什么呢？↓
解：將b=2a代入
得5a-4a=a
在前面我們知道了a大于0
所以5a-2b應(yīng)該大于0
所以⑤錯(cuò)
所以這題選a
解：我們知道判斷縱坐標(biāo)的關(guān)系只需要知道它離對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近。
因?yàn)閥0≥y1＞y2《好話》可得拋物線的開口方向應(yīng)該是開口向下。如果開口向上且c為頂點(diǎn)的話就不會(huì)有y0≥y1＞y2了，因?yàn)闆]有拋物線上沒有點(diǎn)會(huì)比最低點(diǎn)更低。（開口向下有最大值，開口向上有最小值，然后在跟對(duì)稱軸結(jié)合起來，多想想就行。感謝大佬。）
因?yàn)閥0≥y1＞y2，可得y1離對(duì)稱軸更近。
（X0-(-6)是X0到-6的距離，2-X0是是因?yàn)閄0本身是在負(fù)半軸上，減去就相當(dāng)于負(fù)負(fù)為正，所以就是2到X0的距離，感謝大佬。）由此可得x0-（-6）<2-x0，2x0<-4
所以x0<-2
由此可得-6對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)，比2對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)，就是A的縱坐標(biāo)大過B的縱坐標(biāo)
所以這題的答案選b
為什么不能選c？↓
眾所周知，韓國娛樂圈是很難混的。原因很簡(jiǎn)單，競(jìng)爭(zhēng)太激烈。
所以能在韓國出道的藝人都是經(jīng)過嚴(yán)格培訓(xùn)的，他們的培訓(xùn)不僅僅包括唱歌、跳舞等才藝，就連面對(duì)鏡頭該如何回答問題這些內(nèi)容，他們都經(jīng)過專人培訓(xùn)。
也正是因?yàn)檫@樣，韓國藝人都很敬業(yè)。在發(fā)生演出事故時(shí)，他們都會(huì)從容面對(duì)。
在2022年韓國MBC歌謠大祭典上，韓國女團(tuán)aespa隊(duì)長柳智敏就在表演的時(shí)候遇到了鞋底脫落的突發(fā)狀況。
當(dāng)天，柳智敏身穿黑色短褲配黑色厚底靴。表演剛開始的時(shí)候，一切都很正常，柳智敏在臺(tái)上又唱又跳，臺(tái)下的觀眾也很興奮。
正當(dāng)表演逐漸進(jìn)入高潮的時(shí)候，讓人想象不到的一幕發(fā)生了，柳智敏鞋底腳后跟的部分徹底掉了下來，整個(gè)厚厚的鞋底只靠著腳掌的部分黏連著，這才沒能完全掉下來。
面對(duì)突發(fā)狀況，柳智敏就像什么事情都沒發(fā)生一樣，她表情從容，依舊有條不紊地跟著音樂的節(jié)奏完成了自己的表演。
如果不仔細(xì)看，從柳智敏的表現(xiàn)來看，根本不會(huì)發(fā)現(xiàn)她的鞋底已經(jīng)掉了。
除了柳智敏之外，有著“小野馬”之稱的韓國女明星金泫雅在表演的時(shí)候也曾發(fā)生過多次很嚴(yán)重的演出事故。
那是在2019年5月16日，泫雅在韓國某大學(xué)進(jìn)行表演。
當(dāng)天金泫雅身穿綠色吊帶，因?yàn)槲璧竸?dòng)作太大，以至于她胸前系成蝴蝶結(jié)的吊帶突然散開，現(xiàn)場(chǎng)的觀眾看到后也都驚到了。
面對(duì)這種情況，泫雅只是淡然一笑，然后迅速地抓住散開的衣服，避免了走光。
隨后在表演過程中，她一手拿著麥克風(fēng)，一手捂著自己的胸口，繼續(xù)唱歌、跳舞。直到有機(jī)會(huì)轉(zhuǎn)身了，她才趁機(jī)把衣服又整理好。
整個(gè)過程，金泫雅的表演一刻都沒停，她整個(gè)人也沒表現(xiàn)出任何的慌亂。
有著“韓國第一腿精”之稱的宣美在表演的時(shí)候也曾遇到過和金泫雅類似的狀況，不過她并沒有像金泫雅那樣從容解決，因?yàn)樗鉀Q不了。
當(dāng)時(shí)宣美是上衣的肩帶突然斷了，如果她想把肩帶系上，那就必須要停止表演。為了保證演出的順利進(jìn)行，宣美并沒有停下自己的表演。眼見著衣服一點(diǎn)點(diǎn)向下滑落，宣美也只是趁著舞蹈的間隙，盡力將衣服向上拉一拉。
就這樣，宣美努力完成了自己的表演。
相比這些衣服滑落的狀況，金泫雅在舞臺(tái)上不小心摔倒，那才嚇人一大跳呢。
在2019年5月30日，金泫雅在表演的過程中又不慎摔倒在舞臺(tái)上。當(dāng)時(shí)金泫雅是頭朝下摔在舞臺(tái)上，只看這個(gè)動(dòng)作就讓人很擔(dān)心了。
后來，金泫雅在網(wǎng)上曬出摔傷后的照片，從照片中可以很清楚看出金泫雅臉部的紅腫，可見當(dāng)時(shí)的確摔的不輕。不過好在只是表面上的傷痕，骨頭都沒事。
金泫雅曬出照片的同時(shí)，她還發(fā)文安慰粉絲，說自己身體結(jié)實(shí)，沒大礙。
