由根號(hào)2牽出的無(wú)理數(shù)問(wèn)題

玫子

根號(hào)2作為無(wú)理數(shù)只是人為規(guī)定的，數(shù)學(xué)上有很多類(lèi)似的規(guī)定，講不出什么本質(zhì)原由，這種硬性規(guī)定如果脫離了實(shí)際，不僅會(huì)自相矛盾，也導(dǎo)致數(shù)學(xué)與物理及哲學(xué)的嚴(yán)重脫節(jié)，造成概念上的含糊不清，有必要說(shuō)道說(shuō)道。

數(shù)學(xué)上定義的無(wú)理數(shù)是，“非有理數(shù)之實(shí)數(shù)，不能寫(xiě)作兩整數(shù)之比。若將它寫(xiě)成小數(shù)形式，小數(shù)點(diǎn)之后的數(shù)字有無(wú)限多個(gè)，并且不會(huì)循環(huán)，也就是說(shuō)它是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。 常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有大部分的平方根、π和e（其中后兩者同時(shí)為超越數(shù)）等。無(wú)理數(shù)的另一特征是無(wú)限的連分?jǐn)?shù)表達(dá)式”。習(xí)慣上把無(wú)理數(shù)稱作無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。

有一個(gè)簡(jiǎn)單說(shuō)法是，“當(dāng)兩個(gè)線段的長(zhǎng)度比是無(wú)理數(shù)時(shí)，線段也被描述為不可比較的，這意味著它們不能測(cè)量，即沒(méi)有長(zhǎng)度（度量）”。

結(jié)合實(shí)際情況，數(shù)學(xué)想要表達(dá)的意思是，無(wú)理數(shù)不能用既定標(biāo)準(zhǔn)度量，沒(méi)有可比性，不好理解。這就是說(shuō)，無(wú)理數(shù)牽涉到標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題，不管有理無(wú)理，必須對(duì)應(yīng)住標(biāo)準(zhǔn)作為確定。

通過(guò)前面的文章已經(jīng)知道標(biāo)準(zhǔn)的意義了，下面參考圖1進(jìn)行說(shuō)明。

① 先來(lái)說(shuō)說(shuō)π。π是數(shù)學(xué)意義上典型的無(wú)理數(shù)，在《無(wú)理數(shù)的有限制約》中就是受限的圓弧，只能取逼近值，如圖1(a)所示。因?yàn)橹本€是長(zhǎng)度標(biāo)準(zhǔn)，以直線為標(biāo)準(zhǔn)沒(méi)辦法度量圓弧，即不好理解，或者說(shuō)拿直線標(biāo)準(zhǔn)來(lái)測(cè)量圓弧的長(zhǎng)度，沒(méi)辦法用確定的數(shù)來(lái)表達(dá)，不像分?jǐn)?shù)那樣至少還能表達(dá)出來(lái)。很明顯的意義在于，圓弧的長(zhǎng)度沒(méi)辦法確切地對(duì)應(yīng)到長(zhǎng)度標(biāo)準(zhǔn)上，在代數(shù)運(yùn)算上就是沒(méi)有能夠確定的表達(dá)方式。這種現(xiàn)象已經(jīng)超出數(shù)學(xué)范疇，捅住了哲學(xué)的對(duì)立統(tǒng)一，即圓和方的對(duì)立統(tǒng)一，如圖1(b)所示，兩圓相切于直線。直線是組成方的基礎(chǔ)，直線和圓剛好相反，以直線為標(biāo)準(zhǔn)則圓為非標(biāo)，直線可以確定即有理數(shù)，圓不能確定即無(wú)理數(shù)，有理數(shù)和無(wú)理數(shù)對(duì)立統(tǒng)一，相反相成，永遠(yuǎn)都不要再指望把π算盡了！

② 根號(hào)2的身份。圖1(c)是圓內(nèi)接正方形。設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，顯然對(duì)角線既是根號(hào)2又是圓的直徑。因?yàn)楦?hào)2是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，若像π那樣直接定為無(wú)理數(shù)，會(huì)有以下矛盾。

一 與π的性質(zhì)不同，π是因?yàn)閳A周長(zhǎng)無(wú)法對(duì)應(yīng)到直線標(biāo)準(zhǔn)才叫無(wú)理數(shù)的，而根號(hào)2是直徑，對(duì)應(yīng)的是直線標(biāo)準(zhǔn)，與無(wú)理數(shù)相反，理所應(yīng)當(dāng)屬于有理數(shù)。

二 與代數(shù)運(yùn)算矛盾，代數(shù)運(yùn)算除四則運(yùn)算外也包括乘方和開(kāi)方，根號(hào)2可以表述為根號(hào)(1＾2+1＾2)，能夠確切地對(duì)應(yīng)住基本標(biāo)準(zhǔn)，屬于有理數(shù)。

三 依性質(zhì)定義為有理數(shù)，但又是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，和無(wú)理數(shù)的定義矛盾。

鑒于根號(hào)2的重要意義，這個(gè)問(wèn)題是很麻煩的。

③ 超越數(shù)問(wèn)題。因?yàn)楦?hào)2的矛盾，也要思考超越數(shù)問(wèn)題。π既是無(wú)理數(shù)又是超越數(shù)，而且是純粹的超越數(shù)，這個(gè)沒(méi)有爭(zhēng)議。但e就不同了，e可由泰勒級(jí)數(shù)獲得，是能夠以數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)的，這要決定對(duì)自然數(shù)的定義。自然數(shù)按有理數(shù)（可數(shù)），則e為有理數(shù)，否則（無(wú)窮，不可數(shù)）就是無(wú)理數(shù)，貌似與超越數(shù)無(wú)關(guān)。若是全自然數(shù)就不存在這個(gè)爭(zhēng)議了。同理微積分也存在這樣的問(wèn)題。

④ 如何對(duì)待。由于人類(lèi)文明一直處于猜測(cè)狀態(tài)，數(shù)學(xué)就像脫韁的野馬，定義不準(zhǔn)確是客觀情況，存在爭(zhēng)議也很正常?，F(xiàn)在回到本原上重新梳理，把概念徹底弄清楚，避免繼續(xù)信馬由韁。謹(jǐn)歸納以下兩點(diǎn)供參考：

一 繼續(xù)當(dāng)前的定義，但含義要搞清楚，因?yàn)閿?shù)學(xué)要擔(dān)負(fù)起物理和哲學(xué)的重任。

二 凡涉及到弧長(zhǎng)的既是無(wú)理數(shù)又是超越數(shù)。

參考前期文章：《無(wú)理數(shù)的有限制約》《有趣的共同標(biāo)準(zhǔn)》《萬(wàn)象定理(14)對(duì)立統(tǒng)一的絕對(duì)化說(shuō)明》《全自然數(shù)》《增加意境修辭，減少交流沖突》

（作者筆名：玫子；本名：李海深）