比如我們有一張數(shù)學考卷，總共10個題，難度分別為1-10。

假如我的能力水平為7，大于7的題我都不會做，小于7的題目我都會做。

然后V代表對，X代表錯，我的答題狀況是VVVVVVVXXX，V代表對，X代表錯，所以我的能力水平被鑒定為7。

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實際考試中，我的能力水平為7，并不意味著大于7的題我都不會做，小于7的題目我都會做，有可能有10%的難度6的題我不會做，10%的難度為8的題我會做。我的做題對錯是一個概率分布，按照難度，這個概率值遞減。為了概率分布計算，我們假設題目的難度也不是離散的，是0-無窮的實數(shù)，難度可以無窮大，但是能力水平最高依然只能判定為10。

那么我的能力水平到底對應哪個數(shù)學變量呢？

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為了好理解，我這里換一個例子。

用英語單詞舉例。我的能力水平就是我所掌握的單詞總數(shù)。

但很顯然能力水平也可以有其它的數(shù)學量，我們按照單詞的實際出現(xiàn)頻率百分比給所有單詞排序。然后把我所掌握的單詞的頻率百分比加起來，然后得到一個百分比值，也可以作為能力水平指標。

但是，百分比值并沒有單詞總數(shù)有參考價值，這是因為99%和99.9%中間可能差了幾千個單詞。

能力水平鑒定結(jié)果需要符合人類的直覺認知，所以我們還是使用單詞總數(shù)這個指標。

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如何得到能力水平鑒定結(jié)果？

我們回到最前面最簡化的模型上來。

前面說我的答題狀況是VVVVVVVXXX。前面7個V的期望是4，中位數(shù)也是4。后面3個X的期望是9，中位數(shù)也是9。這里我們假定期望并不適合作為能力水平鑒定結(jié)果掛鉤，所以后面不考慮期望的問題，只考慮中位數(shù)。我們能不能使用4得到7這個數(shù)字呢？

我們會做的題目難度的中位數(shù)已知，求我們的能力水平。

在這個數(shù)學模型下很簡單，4+(4-1)，中位數(shù)加上一半的區(qū)間寬度。

同理，也可以通過“不”會做的題目難度的中位數(shù)已知，求我們的能力水平。

（題外話：9-(9-1)-1。再減1 是因為其實我們的能力水平應該取7和8的中間值，但是這里取了7，假如我們的題目難度視作連續(xù)的，也就不存在再減1的問題。）

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為了容易理解，回到英語單詞的模型上來。

我們知道，所有單詞書都不是嚴格卡著單詞詞頻取詞的。

比如一本單詞書是3500詞，意味著有些詞在詞頻表中超越了3500，有些則正好相反。

我們也可以把自己看作一本單詞書。

這里有三個變量，分別對應7，4，9。

一個是我所掌握的單詞的個數(shù)，一個是我所掌握的單詞的中位數(shù)，一個是我所未掌握單詞的中位數(shù)。

7是需要窮舉獲得的，獲得的成本很高，假如模型是連續(xù)的或者數(shù)學題目是無窮多的，窮舉甚至不可能實現(xiàn)。

文章到這里，你應該就明白本文要做什么。

我們可以通過少量統(tǒng)計樣本，近似獲得4或9，我們要通過4或9得到7！

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題外話：

單詞書中的單詞在詞頻表中的分布是離散的，也是有規(guī)律的。詞頻高的詞我們掌握的可能性很高一點，低頻低的詞則正好相反。

我們畫一個概率分布圖，橫軸為詞頻表上第幾個單詞，縱軸為我們掌握該單詞的概率。

對于我們?nèi)藖碚f，這個曲線應該是一個單調(diào)遞減曲線，假設這個分布服從類似于指數(shù)分布的分布吧。

單詞書有的是從a開始的初階單詞書，也類似于指數(shù)分布；有的是從abandon開始的中階單詞書，類似于對數(shù)正態(tài)分布；我還有一本高階單詞書是從adalone開始的，更接近于正態(tài)分布。

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回歸到479的問題。

從4到7的過程中，引入了一個值，4加半個區(qū)間寬度等于7，這個區(qū)間寬度是什么？

首先VVVVVVVXXX是一個階躍函數(shù)，階躍函數(shù)有一個值不為0的區(qū)間，從而有區(qū)間寬度。

剛才提到三個分布，指數(shù)分布，對數(shù)正態(tài)分布，正態(tài)分布，它們并不同于階躍函數(shù)。

于是產(chǎn)生一個問題，對于指數(shù)分布，對數(shù)正態(tài)分布，正態(tài)分布，它們的7是個什么東西？

單詞書中往往都會提一個東西，叫你背會我這個單詞書，你的單詞量能達到多少多少，這個值就是7。中高階單詞書默認你已經(jīng)了解了一定的單詞量，如果補上這些單詞，我會假設它更像偏移了Y軸的指數(shù)分布。所以主要還是要考慮指數(shù)分布。

初中高階單詞書你也可以用數(shù)學類比看作，加減乘除，解方程組，抽象代數(shù)。

剛才寫到一句話，“這里我們假定期望并不適合作為能力水平鑒定結(jié)果掛鉤，所以后面不考慮期望的問題，只考慮中位數(shù)”，為什么？

指數(shù)分布的期望和中位數(shù)是不同的，中位數(shù)大概是0.693倍的期望值（0.693是ln2的近似）。期望值計算過程中極端樣本值會對結(jié)果影響很大，中位數(shù)處于樣本50%的位置，直覺上也更加合理。

這里強調(diào)一下，前面兩次提到了“直覺”，所以能力水平鑒定是一個帶有感性的數(shù)值，在一件感性的事情上過度追求小數(shù)點后幾位的精確是沒有意義的。

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7是指數(shù)分布的中位數(shù)，那4是什么？9又是什么？

首先VVVVVVVXXX是一個階躍函數(shù)，并非指數(shù)函數(shù)。其次剛才提到一句話“如果補上這些單詞，我會假設它更像偏移了Y軸的指數(shù)分布”。什么叫“偏移了Y軸的指數(shù)分布”。意思是把它看成指數(shù)分布，你的橫軸起點并不是難度1，而是你默認前面難度已經(jīng)完全掌握了，你從這個難度開始看作指數(shù)分布。4是階躍模型下的概念，在指數(shù)分布的概念下，4就是7。

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留一個思考題：9是不是7呢？

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上面這個題目翻譯一下。

就是你在你不會的單詞中隨機抽取一個樣本，然后按詞頻表順序，獲得一個中位數(shù)，這個中位數(shù)能不能代表你的單詞量呢？

假設你選取一本初級單詞書，從其中你在你不會的單詞中隨機抽取一個樣本，這個樣本的中位數(shù)會不會和你選取一本中級單詞書、和你選取一本高級單詞書的中位數(shù)相等呢？