Can you solve the Mondrian squares riddle

你能解決蒙德里安方塊之謎嗎

來源視頻

Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings inspired mathematicians to create a two-fold challenge.?

First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles.

All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot, but a 2x2 rectangle would be fine.?

Let’s try that.

荷蘭藝術家?Piet Mondrian?的 抽象長方形繪畫啟發(fā)數(shù)學家們創(chuàng)造了一個雙重挑戰(zhàn)。

首先，我們必須用互不重疊的 長方形完整地覆蓋一個正方形畫布。

所有的長方形必須是獨特的，若我們用了1x4的 長方形，就不能在其他地方再用4x1的長方形，但是用2x2的正方形就可以。

讓我們試一下。

Say we have a canvas measuring 4x4.?

We can’t chop it directly in half, since that would give us identical rectangles of 2x4.?

But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.?

That was easy, but we’re not done yet.?

Now take the area of the largest rectangle, and subtract the area of the smallest.?

The result is our score, and the goal is to get as low a score as possible.

假設我們有一個4x4的畫布。

我們不能直接把它劈成兩半，因為這會給我們兩個一樣的2x4的長方形。

但是下一種可行的方式就是一個3x4和一個1x4。

這很簡單，但是我們還有沒結束。

現(xiàn)在我們看看其中最大的長方形面積，然后與最小的長方形面積相減。

結果就是我們的分數(shù)，目標是得分越低越好。

Here, the largest area is 12 and the smallest is 4, giving us a score of 8.?

Since we didn’t try to go for a low score that time, we can probably do better.?

Let’s keep our 1x4 while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1.?

Now our score is 9 minus 3, or 6.?

Still not optimal, but better.?

With such a small canvas, there are only a few options.?

But let’s see what happens when the canvas gets bigger.?

Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get??

Pause here if you want to figure it out yourself.

Answer in: 3

Answer in: 2

Answer in: 1

對這個來說，最大的面積是12，最小的面積是4，我們的分數(shù)就是8。

因為我們沒有嘗試去找到最低的分數(shù)，我們可能可以做得更好。

讓我們留下1x4的長方形，并且把3x4的分成3x3的和3x1。

現(xiàn)在我們的分數(shù)是9減3，6分。

還不是最小值，但是比之前好了。

對于這么小的畫布，我們的選擇不是很多。

但是讓我們來看看當畫布變大時會發(fā)生什么。

試一試8x8的，你能得到最低的分數(shù)是多少呢？

如果你想自己試一下的話就在這里暫停。

答案在3秒后出現(xiàn)。

答案在2秒后出現(xiàn)。

答案在1秒后出現(xiàn)。

To get our bearings, we can start as before: dividing the canvas roughly in two.?

That gives us a 5x8 rectangle with area 40 and a 3x8 with area 24, for a score of 16.?

That’s pretty bad.

Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10.?

Better, but still not great.?

We could just keep dividing the biggest rectangle.?

But that would leave us with increasingly tiny rectangles, which would increase the range between the largest and smallest.

為了理解我們的想法， 我們可以從之前開始：把畫布先粗略的分成兩半。

這給我們一個5x8的長方形， 有著40的面積，和一個3x8的長方形， 有著24的面積，這樣我們就有16分。

這是個糟糕的分數(shù)。

把5x8的再分成5x5和5x3， 我們就能得到10分。

好一點了， 但是還不是最好的。

我們可以繼續(xù)分割最大的長方形。

但是這樣就給我們留下越來越小的長方形，這會增加最大的和最小的長方形的面積差。

What we really want is for all our rectangles to fall within a small range of area values.

And since the total area of the canvas is 64, the areas need to add up to that.?

Let’s make a list of possible rectangles and areas.

To improve on our previous score, we can try to pick a range of values spanning 9 or less and adding up to 64.?

You’ll notice that some values are left out because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas.?

You might also realize that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15, you need to use another odd-value rectangle to get an even sum.?

With all that in mind, let’s see what works.

我們真正想要的是讓我們所有的長方形 都處于一個很接近的范圍。

因為畫布的總面積是64，所以所有長方形的面積需要加起來是64。

讓我們把可能的長方形和面積列出來。

為了提高之前的分數(shù)，讓我們嘗試去挑選一個在9或以下的值，然后加在一起等于64。

你會發(fā)現(xiàn)有些數(shù)字是要被舍棄的，因為像1x13和2x9的長方形并不能嵌入畫布。

你也有可能注意到如果你用了像是5，9或15這樣奇數(shù)面積的長方形，你需要用另外一個奇數(shù)面積的 長方形讓它們的和為偶數(shù)。

知道了這些，讓我們來看看怎樣能成功。

Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly.?

But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range, leaving out 15.?

Unfortunately, there’s no way to make them fit.

Using the 2x7 leaves a gap that can only be filled by a rectangle with a width of 1.?

Going lower, the next range that works is 8 to 14, leaving out the 3x3 square.?

This time, the pieces fit.

That’s a score of 6.?

Can we do even better??

No. We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8 and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6.

從大于20的面積開始一下子 就把我們限制住了。

但我們可以用14-18范圍內(nèi)的長方形去得到64，除去15。

但是不幸的是，實際上沒有方法 能把這些長方形放進畫布，

使用2x7的長方形會留下一個缺口，只能被寬度為1的長方形填補，

如果嘗試更低的范圍， 下一個區(qū)間就是8-14，除去3x3的正方形，

這次，這些長方形能放到畫布中去，

這個得分是6，

我們能做的更好嗎？

不能。通過移除2x7和1x8的長方形， 我們能得到同樣的分數(shù)，用3x3，1x7和1x6的長方形替代。

But if we go any lower down the list, the numbers become so small that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas, which would increase the score.?

There’s no trick or formula here – just a bit of intuition.

It's more art than science.

And for larger grids, expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores.?

So how would you divide a 4x4, 10x10, or 32x32 canvas??

Give it a try and post your results in the comments.

但是如果我們把范圍繼續(xù)下移，那些數(shù)字就太小了，所以我們就需要 一個更大的范圍來填滿畫布，這樣就會提高分數(shù)。

這個問題沒有什么巧妙地公式， 全憑一點直覺。

這不只是科學，更像藝術。

并且對于更大的方塊，數(shù)學家們不能確定他們是否發(fā)現(xiàn)了可能的最低分。

你會怎么分割4x4，10x10，或是32x32的畫布呢？

試一下，并在評論里發(fā)表你的結果吧。