牛頓213、等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構”的

?

數(shù)列（百度百科）：…

?

等差數(shù)列

?

定義

…定、義、定義：見《歐幾里得28》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

?

一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差（common difference），公差通常用字母d表示，前n項和用Sn表示。

…常、數(shù)、常數(shù)：見《歐幾里得132》…

…common：adj.（形容詞）常見的；通常的；普遍的；共有的；共享的；共同的；普通的；平常的；尋常的；平凡的

n.（名詞）公共用地；公地；（學校、大學等的）學生公共食堂…

…difference：n.差別；差異；不同（之處）；變化（之處）；差；差額；意見分歧；不和…

…S：sum首字母…

…sum：n.金額；款項；和；總和；總數(shù)；全部，一切（尤指數(shù)量不大）

v.（動詞）歸納；總計；總結，概括…

?

通項公式

…公：見《歐幾里得1》…

…式、公式：見《歐幾里得132》…

?

an=a1+(n-1)d

其中，n=1時 a1=S1；n≥2時 an=Sn-Sn-1。

?

等差中項

由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列堪稱最簡單的等差數(shù)列。這時，A叫做a與b的等差中項。有關系：A=（a+b）/2。

…簡、單、簡單：見《伽利略13》…

（…《伽利略》：小說名…）

…關、系、關系：見《歐幾里得75》…

?

前n項和

?

倒序相加法推導前n項和公式：

…推、導、推導：見《歐幾里得7》…

?

Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ①

Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ②

由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)（n個）=n(a1+an)

∴Sn=n(a1+an)/2。

（等差數(shù)列的前n項和等于首末兩項的和與項數(shù)乘積的一半。）

等比數(shù)列

…比：見《歐幾里得27》…

?

定義

?

一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。

…ratio：n.比率；比例…

…q：quotient首字母…

…quotient：n.商（除法所得的結果）…

?

等比中項

?

如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項。

有關系：

通項公式

性質

…性、質、性質：見《歐幾里得37》…

?

一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列?各項取同底對數(shù)后?構成一個等差數(shù)列；反之，以任一個正數(shù)C為底，用一個等差數(shù)列的各項做指數(shù)構造冪

，則是等比數(shù)列。

…對、數(shù)、對數(shù)：見《牛頓133~135》…
…構、造、構造：見《牛頓59》…

…冪：見《歐幾里得113》…

?

在這個意義下，我們說：一個正項等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構”的。

…意、義、意義：見《歐幾里得26》…

應用

…應、用、應用：見《歐幾里得181》…

?

等比數(shù)列在生活中也是常常運用的。如：銀行有一種支付利息的方式——復利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息，也就是人們通常說的利滾利。

按照復利計算本利和的公式：本利和=本金×（1+利率）^存期。

…^：乘方…

“數(shù)列極限的問題作為微積分的基礎概念，其建立與產(chǎn)生對微積分的理論有著重要的意義。

請看下集《牛頓214、微積分的基礎概念——數(shù)列極限》”

?

若不知曉歷史，便看不清未來

歡迎關注嗶哩號“中國崛起呀”