抽屜原理：如何證明葫蘆娃七兄弟是親兄弟
【思路】
此題為抽屜原理[1]章節(jié)中的進階題型——“構(gòu)造抽屜”[2]；
所謂“正難則反”[3]，想要證明正面說法“每個男孩都與其他男孩是親兄弟”顯然需要考慮多種情況，倒不如否定該說法的反面[4]；
“每個男孩都與其他男孩是親兄弟”的反面是“7人中至少有兩人不是親兄弟”[5]；
假設(shè)“7人中有兩人不是親兄弟”，然后一路推出某個結(jié)論[6]，若該結(jié)論與題目條件[7]矛盾，則說明結(jié)論的源頭——假設(shè)“7人中有兩人不是親兄弟”是錯誤的；
假設(shè)錯誤，則只能接受假設(shè)的反面“每個男孩都與其他男孩是親兄弟”正確.
至此完成證明.
【步驟】
【詳解】
為方便描述，設(shè)7個男孩分別為A、B、C、D、E、F、G；
為方便操作，不妨設(shè)7人中A與B不是親兄弟[8]；
考慮除A、B以外的五人C、D、E、F、G與A、B的關(guān)系：比如C與A、C與B的關(guān)系——C不可能既是A的親兄弟，也是B的親兄弟，因為親兄弟具有傳遞性[9]，所以C最多與A、B中的一人是親兄弟，若把C比喻為蘋果[10]，則A與B可當(dāng)作兩個抽屜，蘋果只能放入兩個抽屜中的一個；
包含C在內(nèi)的“蘋果”共有5個[11]，它們要么進抽屜A[12]，要么進抽屜B[13]，根據(jù)抽屜原理，5÷2=2······1，則放蘋果較多的抽屜至少有：2+1=3個蘋果，放蘋果較少的抽屜最多有2個蘋果；
不妨設(shè)抽屜A放蘋果較多，抽屜B放蘋果較少；
不妨設(shè)E、F、G進了抽屜A，C、D進了抽屜B；
考慮B與其余6人的關(guān)系，由于B與A不是親兄弟，且A與E、F、G是親兄弟，則B與E、F、G中的任何一個都不能是親兄弟[14]，所以B最多只能有C、D兩個親兄弟；
由第2條假設(shè)[15]推出的“B最多有兩個親兄弟”與題目條件“每一個在其余6人中都至少有3個親兄弟”矛盾，因此第2條假設(shè)不成立，即“7人中至少有兩人不是親兄弟”的說法不對，那么該說法的反面“每個男孩都與其他男孩是親兄弟”是對的.
至此證明結(jié)束.[16]
【參考】
^我把抽屜原理理解為計算“量變引起質(zhì)變”所需的最少數(shù)量，這個最少數(shù)量又被我稱為“老大的最少值”，例如將5個蘋果放入2個抽屜，老大抽屜里的蘋果比小弟抽屜里的蘋果多，那么老大的抽屜里最少幾個蘋果？注意到老大最少，那么小弟就分得最多，要使兩人的差距最小，5個蘋果應(yīng)該盡量平均分：5÷2=2······1，即每個抽屜都先得到2個蘋果，余下的1個給老大，否則小弟就會變?yōu)槔洗螅岳洗蟮某閷侠镒钌儆?+1=3個蘋果.
^題目中沒有明說哪些是“蘋果”，也沒有說哪些是“抽屜”，需人為指定或計算出抽屜數(shù)，然后再利用抽屜原理得到“老大的最少值”或“小弟的最大值”.
^意思是從正面考慮較復(fù)雜的問題，從反面考慮往往容易，在計數(shù)問題上也稱為“排除法”（總數(shù)減去反面數(shù)得正面數(shù)），在求陰影面積的幾何題中也叫做“陰影等于整體減空白”.
^在本問題中，若待證明命題是某圖形中的陰影面積，該命題的反面則是圖形中陰影以外的空白，只需要證明空白不存在，整體即陰影即可.
^若“7個男孩全部互為親兄弟”為假，則必有至少2人不是親兄弟；反過來也成立：若7人中找不到2人不是親兄弟，則7人全都互為親兄弟.
^比如：7人中必有某人最多只有2個親兄弟.
^每一個人在其余6人中都至少有3個親兄弟.
^字母ABCDEFG任意選兩人均可，因為他們都是對稱的，僅僅是字母命名上的區(qū)別.
^若A與C是親兄弟，且C與B是親兄弟，則A與B是親兄弟.
^C也有可能是“抽屜”，這種情況的討論我們放在最后討論.
^分別是C、D、E、F、G這5個.
^即與A是親兄弟.
^即與B是親兄弟.
^同樣是因為傳遞性：若B與E是親兄弟，又因為E與A是親兄弟，則B與A是親兄弟；但B與A不是親兄弟，所以B與E不能是親兄弟；同理，B與F、B與G都不能是親兄弟.
^不妨設(shè)7人中A與B不是親兄弟.
^以上證明還有一點瑕疵，那就是第3條中我們認為C一定與A或B是親兄弟，還有一種可能是：C既不是A親兄弟，也不是B親兄弟，那么C就會“自成一派”：成為與A、B一樣的“抽屜”，除A、B、C以外的D、E、F、G四人作為蘋果，根據(jù)抽屜原理，4÷3=1······1，則A、B、C中親兄弟最多的一人至少有：1+1=2個親兄弟，而親兄弟較少的某人最多有1個親兄弟，由此看出，“抽屜”越多，由此推出的“必有某人最多有n個親兄弟”的n值越少，且n≤2；事實上我們之前的證明恰好是n=2的“最難情況”，n=2的情況已經(jīng)證明，其余n＜2的情況也一定成立.
