閱讀本篇文章你需要知道的知識(shí)有：三角函數(shù)、調(diào)和點(diǎn)列的概念和性質(zhì)12、公切線(xiàn)、雞爪定理、角平分線(xiàn)定理、內(nèi)切圓和旁切圓、弦切角定理、正弦定理

二.調(diào)和點(diǎn)列的性質(zhì)

性質(zhì)3?

對(duì)線(xiàn)段的內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)，以及直線(xiàn)外一點(diǎn)，給出如下四個(gè)論斷：

（1）是的平分線(xiàn)；

（2）是的角平分線(xiàn)；

（3）調(diào)和分割線(xiàn)段

（4）

以上四個(gè)論斷中，任意選取兩個(gè)作題設(shè)，另兩個(gè)作結(jié)論組成的六個(gè)命題均為真命題

這里只證明了三個(gè)比較典型的情況，其余三種可用類(lèi)似的方法證明

推論4?三角形的角平分線(xiàn)（線(xiàn)段）被其內(nèi)心和相應(yīng)的旁心調(diào)和分割

推論5?不相等且外離的兩圓的圓心聯(lián)線(xiàn)被兩圓的外公切線(xiàn)交點(diǎn)和內(nèi)公切線(xiàn)的交點(diǎn)調(diào)和分割

推論6?若調(diào)和分割圓的直徑，則圓周上任一點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之比是不等于1的常數(shù)；反之，若一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之比為不等于1的常數(shù)，則該動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓（阿波羅奧尼斯圓）

這三個(gè)推論都比較簡(jiǎn)單，請(qǐng)讀者自行證明

推論7?從圓周上一點(diǎn)作兩割線(xiàn)，它們與圓相交的非公共的兩點(diǎn)聯(lián)線(xiàn)垂直于這條聯(lián)線(xiàn)的直徑所在的直線(xiàn)與兩割線(xiàn)相交，則這條直徑被這兩割線(xiàn)調(diào)和分割

推論8?一已知圓的直徑被另一圓周調(diào)和分割的充要條件是，已知直徑的圓周與過(guò)兩分割點(diǎn)的圓周正交（即交點(diǎn)處的切線(xiàn)互相垂直）

推論9?設(shè)點(diǎn)是的內(nèi)心，角平分線(xiàn)交邊于點(diǎn)，射線(xiàn)交的外接圓于點(diǎn)，則射線(xiàn)上的點(diǎn)為的旁心的充要條件是

推論10?設(shè)的角平分線(xiàn)交于，交的外接圓于點(diǎn)，則

推論10也比較簡(jiǎn)單，這里也就不再贅述

性質(zhì)4

三角形的一邊被其邊上的內(nèi)（旁）切圓的切點(diǎn)和另一點(diǎn)調(diào)和分割的充要條件是，另一點(diǎn)與其余兩邊上的兩個(gè)切點(diǎn)三點(diǎn)共線(xiàn)

推論11?若凸四邊形有內(nèi)切圓，則相對(duì)邊上的兩切點(diǎn)所在直線(xiàn)與凸四邊形一邊延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)、這一邊上的內(nèi)切圓切點(diǎn)，調(diào)和分割這一邊

這個(gè)推論也不證明了（將四邊形補(bǔ)成三角形即可）

性質(zhì)5

從外一點(diǎn)引圓的割線(xiàn)交于，若割線(xiàn)與點(diǎn)的切點(diǎn)弦交于點(diǎn)，則弦被調(diào)和分割

推論12?從外一點(diǎn)引圓的兩條割線(xiàn)交圓于四點(diǎn)，以這四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)交于，則調(diào)和分割弦

性質(zhì)6?設(shè)過(guò)?外一點(diǎn)任意引一條割線(xiàn)交圓周于點(diǎn)及，則點(diǎn)對(duì)于弦的調(diào)和共軛點(diǎn)的軌跡是一條直線(xiàn)

ps：這里點(diǎn)的軌跡叫做對(duì)于的極線(xiàn)，點(diǎn)叫做這條極線(xiàn)的極點(diǎn)

推論13?的一對(duì)共軛極點(diǎn)調(diào)和分割直線(xiàn)截的弦

推論14?設(shè)圓內(nèi)接凸四邊形的兩雙對(duì)邊與與的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交于點(diǎn)，若點(diǎn)C對(duì)于圓的極線(xiàn)交圓于，點(diǎn)E對(duì)于圓的極線(xiàn)交圓于，則過(guò)點(diǎn)的兩切線(xiàn)的交點(diǎn)為與的交點(diǎn)關(guān)于弦的調(diào)和共軛點(diǎn)

推論15?若凸四邊形有內(nèi)切圓，且一組對(duì)邊上的兩切點(diǎn)分別關(guān)于所在邊的調(diào)和共軛點(diǎn)重合，則另一組對(duì)邊上的兩切點(diǎn)分別關(guān)于所在邊的調(diào)和共軛點(diǎn)也重合