鄭濤 (Tao Steven Zheng) 著

【問題】

餐巾環(huán)問題（napkin ring problem）可以追溯到江戶日本（Edo Japan）。日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和（Seki Kowa，1642-1708）最早用圓理（enri）的積分形決這個(gè)問題的人。關(guān)孝和把餐巾環(huán)形稱為弧環(huán)體。

以下動(dòng)畫顯示兩個(gè)球體。各球體鉆出了位于中心位置的圓柱體。剩下的立體形狀稱為餐巾環(huán)(napkin ring)。設(shè)球體的半徑為?，圓柱體的半徑為 。求餐巾環(huán)的體積。

【題解】

用以下餐巾環(huán)的橫截面圖來分析。設(shè)球體的半徑為 、圓柱孔的半徑為 ，圓柱孔的半高為 。

餐巾環(huán)等于球體（sphere）減去圓柱體（cylinder）減去兩個(gè)球冠體（spherical cap）：

已知球體和圓柱體的體積（記得 是圓柱體的半高）：

還有這里

用積分法來推導(dǎo)球冠體的體積公式：

因此，餐巾環(huán)的體積是：

由于 ，得

以圓柱孔的高（）表示的餐巾環(huán)體積為：