封面：生塩ノア

作畫(huà)：ゐぬゐ/byte.

https://www.pixiv.net/artworks/101828706

3.?，，設(shè)滿足條件的有序集合組的個(gè)數(shù)為，則十進(jìn)制下的最后2位數(shù)為_(kāi)__________.?

答案? 16

解析??

集合中的每個(gè)元素，都有以下?tīng)顟B(tài)：

(1) 在中，在中，不在中；

(2) 在中，不在中，在中；

(3) 在中，不在中，不在中；

(4) 不在中，在中，在中；

(5) 不在中，在中，不在中；

(6)?不在中，不在中，在中；

所以每個(gè)元素共有6個(gè)狀態(tài)，整個(gè)集合中的所有元素共有個(gè)情況.

每個(gè)情況與有序集合組一一對(duì)應(yīng)，所以有序集合組的個(gè)數(shù)

于是

所以.

因此十進(jìn)制下的最后2位數(shù)為16.

4. 2023支球隊(duì)參加單循環(huán)賽，2隊(duì)一場(chǎng)，每場(chǎng)勝方得3分，負(fù)方得0分，平局各得1分，賽后各隊(duì)總分構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，則最后一名得分的最大值為_(kāi)__________.?

答案? 2021

解析??

記球隊(duì)數(shù)為，最后一名得分為.

則總得分為.

比賽總場(chǎng)數(shù)為.

假設(shè)所有比賽中沒(méi)有平局，則所有球隊(duì)的最終得分均為3的倍數(shù)，不可能構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列.

所以一定存在平局.

因此

得，即.

下面用數(shù)學(xué)歸納法說(shuō)明對(duì)任意，等號(hào)可以取到.

記球隊(duì)的最終得分為.

當(dāng)時(shí)，設(shè)各球隊(duì)為，，，，若戰(zhàn)勝，戰(zhàn)勝，其余比賽均平局，則

，，，.

他們的得分構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，且最后一名得分為.

若當(dāng)時(shí)，存在情況使得各球隊(duì)得分構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，且最后一名得分.

記這些球隊(duì)分別為，且.

現(xiàn)添加球隊(duì).

(1) 若，讓滿足以下條件：

(i) 輸給；

(ii) 與平局；

(iii) 戰(zhàn)勝剩下的球隊(duì).

則添加球隊(duì)后，

，

，

，

其余球隊(duì)得分不變.

(2) 若，讓滿足以下條件：

(i) 輸給

(ii) 與平局；

(iii)?戰(zhàn)勝剩下的球隊(duì).

則添加球隊(duì)后，

，

，

，

其余球隊(duì)得分不變.

(3) 若，讓滿足以下條件：

(i) 輸給

(ii) 與平局；

(iii)?戰(zhàn)勝剩下的球隊(duì).

則添加球隊(duì)后，

，

，

，

其余球隊(duì)得分不變.

依據(jù)(1)(2)(3)的方案，我們可構(gòu)造出時(shí)使得各球隊(duì)得分構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，且最后一名得分的情況.

所以當(dāng)時(shí)，存在情況使得各球隊(duì)得分構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，且最后一名得分.

因此對(duì)任意，都存在情況使得各球隊(duì)得分構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，且最后一名得分.

所以對(duì)任意，的最大值為.

當(dāng)時(shí)，.

所以最后一名得分的最大值為2021.