【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)51】每天三道題（數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線性代數(shù)）
預(yù)備知識(shí)：
公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；
雙重向量積：給定空間三向量，先作其中兩個(gè)向量的向量積，再作所得向量與第三個(gè)向量的向量積，那么最后的結(jié)果仍然是一向量，叫做所給三向量的雙重向量積。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一個(gè)雙重向量積；
性質(zhì)：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；
（axb）xc=（ac）b-（bc）a；
拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；
（axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a.
矩陣乘法運(yùn)算律——
a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n級(jí)矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A
e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。
矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對(duì)應(yīng)的行列式。
矩陣對(duì)應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；
設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級(jí)矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）為單位矩陣i，j行對(duì)調(diào)——
方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A
方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）
矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級(jí)矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。
定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對(duì)稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反/斜對(duì)稱矩陣。
定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。
矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
定理：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'。
參考資料：
《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練》（周民強(qiáng)?編著）
《空間解析幾何》（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）
《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）
數(shù)學(xué)分析——
例題（來(lái)自《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練（周民強(qiáng)?編著）》）——
試證明下述不等式：[（x+1）/2]^（x+1）<=x^x（x>0）.
證：
兩邊分別取對(duì)數(shù)：左邊=（x+1）[ln（x+1）-ln 2]，右邊=x lnx；
作差：令f（x）=（x+1）[ln（x+1）-ln?2]-x?lnx；
求導(dǎo)：f'（x）=ln（x+1）+1-ln 2-ln?x-1=ln（x+1）-ln 2-ln?x=ln（1+1/x）-ln 2；
當(dāng)0<x<1時(shí)，f'（x）>0，f（x）遞增，當(dāng)x>=1時(shí)，f'（x）<=0，f（x）遞減，于是f（x）在x=1時(shí)取到最大值；
f（1）=0，則（x+1）[ln（x+1）-ln?2]<=x?lnx，所以[（x+1）/2]^（x+1）<=x^x.
解析幾何——
例題（來(lái)自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）》）——
化簡(jiǎn)（a+2b-c）[（a-b）x（a-b-c）].
解：
（a+2b-c）[（a-b）x（a-b-c）]
=（a+2b-c）（axa-axb-axc-bxa+bxb+bxc）
=（a+2b-c）（-axc+bxc）
=[（b-a）xc]（a+2b-c）
=（（b-a），c，（a+2b-c））
=（（b-a），c，a）+（（b-a），c，2b）-（（b-a），c，c）
=（（b-a），c，a）+（（b-a），c，2b）
=（b，c，a）-（a，c，a）+（b，c，2b）-（a，c，2b）
=（b，c，a）-（a，c，2b）
=3（a，b，c）.
高等代數(shù)——
例題（來(lái)自《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——
設(shè)A是數(shù)域K上的n級(jí)矩陣，證明：如果n是奇數(shù)，且A滿足AA'=E，|A|=1，那么|E-A|=0.
證：
|E-A|=|A'A-EA|=|（A'-E）A|=|A'-E||A|=|A'-E|=|（A-E）'|=|A-E|=-|E-A|，則|E-A|=0.
到這里！
