為極坐標(biāo)量身打造的解析幾何（2023全國(guó)甲圓錐曲線）

2023-06-12 13:43 作者:數(shù)學(xué)老頑童 0人讀過(guò) | 我要投稿

（2023全國(guó)甲，20）設(shè)拋物線 $C$ ： $y%5E2%3D2px$ （ $p%3E0$ ），直線 $x-2y%2B1%3D0$ 與 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 兩點(diǎn)，且 $%5Cleft%7C%20AB%20%5Cright%7C%3D4%5Csqrt%7B15%7D$ .

（1）求 $p$ ；

（2）設(shè) $C$ 的焦點(diǎn)為 $F$ ， $M$ 、 $N$ 為 $C$ 上兩點(diǎn)， $%5Coverrightarrow%7BMF%7D%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%7BNF%7D%3D0$ ，求 $%5Cbigtriangleup%20MNF$ 面積的最小值.

解：（1）設(shè) $A$ 、 $B$ 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

$%5Cleft(%20x_1%2Cy_1%20%5Cright)%20$ 、 $%5Cleft(%20x_2%2Cy_2%20%5Cright)%20$ ，

聯(lián)立拋物線與直線，得 $y%5E2-4py%2B2p%3D0$

所以 $y_1%2By_2%3D4p$ ， $y_1y_2%3D2p$ ，所以

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%5Cleft%7C%20AB%20%5Cright%7C%26%3D%5Csqrt%7B2%5E2%2B1%7D%5Ccdot%20%5Csqrt%7B%5Cleft(%20y_1%2By_2%20%5Cright)%20%5E2-4y_1y_2%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Csqrt%7B5%7D%5Ccdot%20%5Csqrt%7B%5Cleft(%204p%20%5Cright)%20%5E2-4%5Ccdot%202p%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B2%5Csqrt%7B10%7D%5Ccdot%20%5Csqrt%7B2p%5E2-p%7D%3D4%5Csqrt%7B15%7D%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

整理得， $2p%5E2-p-6%3D0$ ，

解得 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bp%3D2%7D$ .

（2）以 $F$ 為極點(diǎn)，以 $Fx$ 為極軸，建立極坐標(biāo)系，

易知 $C$ 的極坐標(biāo)方程為 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Crho%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B1-%5Ccos%20%20%5Ctheta%7D%7D$ ，

設(shè) $M$ 、 $N$ 的極角分別為 $%5Calpha%20$ 、 $%5Calpha%20%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20$ ，

則 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Crho_M%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B1-%5Ccos%20%20%5Calpha%20%7D%7D$ ，

$%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Crho%20_N%3D%7D%5Cfrac%7B2%7D%7B1-%5Ccos%20%5Cleft(%20%5Calpha%20%2B%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%7D%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B1%2B%5Csin%20%20%5Calpha%7D%7D$ .

所以

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09S_%7B%5Cbigtriangleup%20MFN%7D%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%7C%20MF%20%5Cright%7C%5Ccdot%20%5Cleft%7C%20NF%20%5Cright%7C%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%20%5Crho%20_M%5Ccdot%20%5Crho%20_N%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B2%7D%7B1-%5Ccos%20%5Calpha%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B2%7D%7B1%2B%5Csin%20%5Calpha%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B1%2B%5Csin%20%5Calpha%20-%5Ccos%20%5Calpha%20-%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csin%20%5Calpha%20%5Ccos%20%5Calpha%7D%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B1%2B%5Csin%20%5Calpha%20-%5Ccos%20%5Calpha%20-%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B1-%5Cleft(%20%5Csin%20%5Calpha%20-%5Ccos%20%5Calpha%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B2%7D%7D%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B%5Cleft(%20%5Csin%20%5Calpha%20-%5Ccos%20%5Calpha%20%2B1%20%5Cright)%20%5E2%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B%5Cleft%5B%20%5Csqrt%7B2%7D%5Csin%20%5Cleft(%20%5Calpha%20-%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B4%7D%20%5Cright)%20%2B1%20%5Cright%5D%20%5E2%7D%5C%5C%0A%09%26%5Cgeqslant%20%5Cfrac%7B4%7D%7B%5Cleft(%20%5Csqrt%7B2%7D%2B1%20%5Cright)%20%5E2%7D%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B12-8%5Csqrt%7B2%7D%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

故 $%5Cbigtriangleup%20MFN%0A$ 面積的最小值為 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B12-8%5Csqrt%7B2%7D%7D$ .

當(dāng)且僅當(dāng) $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Calpha%20%3D%5Cfrac%7B3%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D%7B4%7D%2B2k%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D%7D$ （ $k%5Cin%20%5Cmathbf%7BZ%7D$ ）時(shí)，取得最小值.