依我的觀點(diǎn)，概率論語(yǔ)言可針對(duì)行情內(nèi)部運(yùn)行過(guò)程提供完全不同等級(jí)的解讀。 了解概率論的具體細(xì)節(jié)后，您將開(kāi)始以全新的方式進(jìn)行思考。 模糊的想法或一些未經(jīng)證實(shí)的技巧也不會(huì)再誘發(fā)您急于用真實(shí)賬戶進(jìn)行交易的愿望。 另一方面，我明白這種新途徑也許并不適合所有人。 在本系列中，我打算向您展示一種真實(shí)且正確的交易方法。 所有決策都會(huì)僅基于數(shù)字，并應(yīng)避免諸如“可能”、“假設(shè)”、“似乎”、和類似的假設(shè)。赫茲量化股票期貨交易軟件

概率論如何在行情分析中發(fā)揮作用？

我一生中從事技術(shù)科學(xué)的時(shí)間很長(zhǎng)，而概率論對(duì)我來(lái)說(shuō)是最難的。 這是因?yàn)槲沂冀K搞不懂它的可能性有多廣泛。 一個(gè)無(wú)可爭(zhēng)議的優(yōu)勢(shì)在于其無(wú)可限量的能力，這僅取決于您的創(chuàng)意和勤奮，當(dāng)然還有您的智慧。赫茲量化股票期貨交易軟件?經(jīng)歷多年的技術(shù)研究，我意識(shí)到智慧不在于執(zhí)行相同類型操作時(shí)的速度和注意力，而是在于您的思維活躍性。 例如，如果我們研究微分?jǐn)?shù)學(xué)、向量場(chǎng)和標(biāo)量場(chǎng)理論，甚至學(xué)校代數(shù)，它們都暗示著一組特定的規(guī)則或建議，遵循這些規(guī)則或建議，您幾乎可以解決任何問(wèn)題。 每一個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)的任務(wù)都是對(duì)我們頭腦的沖擊。 在概率論中，這樣的時(shí)刻數(shù)不勝數(shù) — 這就是許多問(wèn)題只能通過(guò)完全不同的方法來(lái)解決的地方。 換言之，只有通過(guò)勤奮和愿意去解決給定的問(wèn)題才能開(kāi)發(fā)智力，而概率論有助您解決這個(gè)問(wèn)題。

概率論的框架描述了這些基礎(chǔ)交易概念，諸如數(shù)學(xué)期望、各種事件的可能概率、平均值、百分位數(shù)、及更多內(nèi)容。?赫茲量化股票期貨交易軟件赫茲量化股票期貨交易軟件概率論聲稱沒(méi)有完美的交易系統(tǒng)，每個(gè)系統(tǒng)都有自己的風(fēng)險(xiǎn)。 我們能做的只是選擇不會(huì)因風(fēng)險(xiǎn)引起太多麻煩的交易系統(tǒng)。 更重要的是正確解讀這些風(fēng)險(xiǎn)。 換句話說(shuō)，我們從感覺(jué)或視覺(jué)等不精確的近似語(yǔ)言轉(zhuǎn)向清晰的定量標(biāo)準(zhǔn)。 當(dāng)然，視覺(jué)評(píng)估也很重要，但與定量變量結(jié)合運(yùn)用時(shí)則效果更佳。 不可能在一篇文章中講述所有詳情和細(xì)微差別，但我將嘗試在此處囊括一些有趣的信息。 我希望您能在此找到有用的東西。

運(yùn)用概率論進(jìn)行手動(dòng)和自動(dòng)交易的細(xì)節(jié)

我們繼續(xù)運(yùn)用概率論進(jìn)行行情分析之前，我們首先需要熟悉事件及其概率。 事件是一組滿足某些標(biāo)準(zhǔn)的產(chǎn)物，或者根據(jù)某些標(biāo)準(zhǔn)將其分到某個(gè)集合群當(dāng)中。 若產(chǎn)物是某個(gè)初級(jí)元素，即與給定群中的所有其他元素相等。 群是指一個(gè)過(guò)程的所有可能產(chǎn)物。 這是什么樣的過(guò)程、其物理原理是什么、或者這個(gè)過(guò)程需要多長(zhǎng)時(shí)間，這都不那么重要。 重要的是，作為這個(gè)過(guò)程的產(chǎn)物，我們將得到過(guò)程完成前不存在的東西。 那些與我們的事件相關(guān)的產(chǎn)物本質(zhì)上就是我們的事件— 為了方便起見(jiàn)，我們將它們組合成一個(gè)單一對(duì)象。赫茲量化股票期貨交易軟件?上面的思路可以如下形象化：

編輯搜圖

上面的插圖中灰色橢圓代表所有產(chǎn)物。 在數(shù)學(xué)中，它被稱為事件空間。 這并不意味著事件空間具有幾何形狀，但它非常適合闡述這些概念。 橢圓內(nèi)有 4 個(gè)事件。 從插圖中所見(jiàn)，每個(gè)事件內(nèi)部都有一個(gè)小紅點(diǎn)。 此類紅點(diǎn)的數(shù)量即可有限亦或無(wú)限 — 這取決于所研究的過(guò)程。 插圖中的兩個(gè)事件相交。赫茲量化股票期貨交易軟件?此類事件稱為重疊。 因此，有一些產(chǎn)物同時(shí)屬于兩個(gè)事件。 所有其它事件不重疊，因?yàn)樗鼈兾挥跈E圓的不同部分，且并無(wú)幾何相交。 其余的灰色區(qū)域可以認(rèn)為是最后的事件，或者也可以將其分解為更小的部分，直至沒(méi)有灰色區(qū)域遺留。

每個(gè)事件至少有一個(gè)對(duì)應(yīng)的數(shù)字，通常稱為概率。 概率是指如果我們可以無(wú)限期地進(jìn)行相同的實(shí)驗(yàn)，那么在重復(fù)相同的過(guò)程時(shí)，該事件出現(xiàn)的頻率。 有兩種類型的事件空間：

1. 可能產(chǎn)物的數(shù)量有限

2. 可能產(chǎn)物的數(shù)量無(wú)限

如果產(chǎn)物的數(shù)量有限，那么概率可以計(jì)算如下：

• P = S/N , S 是滿足事件標(biāo)準(zhǔn)的產(chǎn)物數(shù)量，N 是事件空間中所有產(chǎn)物的總數(shù)

在某些情況下，當(dāng)某個(gè)空間中的產(chǎn)物數(shù)量無(wú)限時(shí)，也可以判定該概率，例如使用積分。 對(duì)于上圖中的情況，值 “S” 和 “N” 可以替換為其幾何形狀的面積。

并不總是能夠清楚地定義事件空間是什么，以及定義事件的產(chǎn)物數(shù)量和物理描述。 這些圖形表示應(yīng)能幫助我們的大腦對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行類比，如此大腦就可以習(xí)慣用概率和與這些概率相對(duì)應(yīng)的附加數(shù)字來(lái)嘗試?yán)斫庹诎l(fā)生的事情，替代幾何圖形處理。 事件也可以稱為狀態(tài)。 如果我們使用狀態(tài)的邏輯，那么概率則是重復(fù)相同實(shí)驗(yàn)導(dǎo)致特定狀態(tài)出現(xiàn)的頻率。?赫茲量化股票期貨交易軟件

以圖形的面積類推，橢圓中包含的所有圖形的面積之和正好等于該橢圓的面積。 從數(shù)學(xué)方面，面積是落在那里的產(chǎn)物數(shù)量。 故此：

• N = S[1] + S[2] + ... + S[n]
  

• S 是特定事件的產(chǎn)物數(shù)量

• N 是事件空間的所有產(chǎn)物

將等式的兩邊除以值 N，我們得到了一個(gè)有趣且非常重要的關(guān)系，其是整個(gè)概率理論的基礎(chǔ)：

• 1 = S[1]/N? ?+? ?S[2]/N? ?+? ?...? ?+S[n]/N

請(qǐng)注意，此比率僅適用于非重疊?事件。 因?yàn)槿绻麑⑹录B接起來(lái)，形狀區(qū)域會(huì)重疊，它們的區(qū)域總和會(huì)大于原始橢圓的區(qū)域。 它類似于拼圖，其中所有拼圖的面積與生成的圖像完全相等。 在這種情況下，一塊拼圖代表事件之一。 所有這些分?jǐn)?shù)代表特定事件的概率：赫茲量化股票期貨交易軟件

• 1??= P[1]? ?+? ?P[2]? ?+? ?...? ?+P[n]

該比率則作為術(shù)語(yǔ)窮盡事件集合的基礎(chǔ)。 窮盡事件集合是所有非重疊事件的統(tǒng)合，這些事件形成一個(gè)確定的事件空間。 對(duì)于拼圖，一個(gè)完整的集合就是所有拼圖。 所有這些事件的總概率必定等于 1，這意味著作為實(shí)驗(yàn)結(jié)果，這些事件之一必須會(huì)發(fā)生。 我們不知道哪個(gè)事件會(huì)發(fā)生，但我們會(huì)從實(shí)驗(yàn)結(jié)果中發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)。

根據(jù)上述內(nèi)容，來(lái)自所選事件空間的任何一組產(chǎn)物都可作為一個(gè)事件。 這意味著窮盡集合能夠收集所有可能的方式和組合。 當(dāng)我們處理有限數(shù)量的產(chǎn)物時(shí)，這種組合的數(shù)量也許有限；若是產(chǎn)物數(shù)量無(wú)限，組合的數(shù)量始終是無(wú)限的。 如果已知產(chǎn)物的數(shù)量等于無(wú)窮，數(shù)學(xué)家就會(huì)考慮隨機(jī)值的概念。 在某些情況下，隨機(jī)值可以更方便地操作，且這是任務(wù)所允許的。 隨機(jī)值是一種稍微不同的描述事件空間的方法。 在這種情況下，產(chǎn)物是清晰的一個(gè)或多個(gè)數(shù)字的集合。 我們可以說(shuō)這是一個(gè)向量。 所考慮模型暗示了概率密度的概念。?赫茲量化股票期貨交易軟件

在探索這個(gè)主題時(shí)，將進(jìn)一步運(yùn)用這些概念，所以我們現(xiàn)在就來(lái)研究它們。 概率密度是描述整個(gè)事件空間的函數(shù)。 這個(gè)函數(shù)的維度正好等于描述該事件空間中每個(gè)產(chǎn)物所需的數(shù)字?jǐn)?shù)量。 例如，如果我們考慮射擊靶場(chǎng)上一個(gè)目標(biāo)的命中問(wèn)題，這個(gè)函數(shù)的維度將等于 2，因?yàn)槟繕?biāo)是平面（二維）。 在這種情況下，特定結(jié)果將由 X 和 Y 坐標(biāo)表征。 這些數(shù)字是我們的隨機(jī)變量，因此我們可以寫(xiě)出以下內(nèi)容：

• R = R(X,Y)

• R 是子彈命中坐標(biāo)點(diǎn) (X,Y) 的概率密度

該函數(shù)屬性使得該函數(shù)所有變量從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮的全積分等于一，從而證明了上述等式。 這里的概率僅由函數(shù)所在區(qū)域的積分所決定。 不同的事件可以由分段集成區(qū)域組成。 因此，我們能夠根據(jù)需要描述盡可能多的事件，因?yàn)樗鼈兊臄?shù)量是無(wú)限的。 這個(gè)定義在本文的框架內(nèi)就足夠了。赫茲量化股票期貨交易軟件

我想添加一些關(guān)于重疊事件的更多細(xì)節(jié)。 這些事件對(duì)于對(duì)整個(gè)畫(huà)面的一般性理解也非常重要。 很明顯，與重疊事件相比，非重疊事件應(yīng)該更容易處理。 概率論有時(shí)必須處理事件的組并或切分。 但在這里我們只對(duì)這些變換所示結(jié)果的概率感興趣。 為此目的，我們將使用事件累加、和、乘積、以及反轉(zhuǎn)操作的概念 . 這些操作與數(shù)學(xué)中的含義不同。 甚至，它們僅以概率進(jìn)行操作。 連接事件的概率不能相加，因?yàn)檫@會(huì)破壞集合的完整性。 一般來(lái)說(shuō)，應(yīng)用于源事件的這 3 個(gè)操作可以描述由源事件片段組成的所有可能的事件。 使用兩個(gè)重疊事件的例子，我可以在展板上示意它是何等模樣：

編輯搜圖

額外的代數(shù)運(yùn)算可由上述那些組成。 例如，布爾除法相當(dāng)于上圖中的第三種和第四種情況，因?yàn)槌ㄏ喈?dāng)于乘以所選事件的倒數(shù)。 嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，前兩個(gè)事件足以描述由源事件的部分組成的所有可能事件。 擁有兩個(gè)以上重疊事件的案例要困難得多。 在本文中，我們將只處理非重疊事件。赫茲量化股票期貨交易軟件

行情數(shù)學(xué)主要基于隨機(jī)游走的概念。 我們將研究這個(gè)概念，然后可以通過(guò)形態(tài)的存在來(lái)概括這些事件。 假設(shè)我們開(kāi)倉(cāng)時(shí)，并以距離開(kāi)倉(cāng)價(jià)同等空間設(shè)置止損、止盈。 在此，我們不考慮點(diǎn)差、傭金和掉期利率。 因此，如果我們?cè)诓煌较蚝筒煌瑘D表點(diǎn)位上免費(fèi)開(kāi)倉(cāng)，并隨機(jī)交易，則盈虧比將等于 1。 換言之，在無(wú)休止的交易中，盈利倉(cāng)位的數(shù)量將等于虧損倉(cāng)位的數(shù)量。 綜上所述，無(wú)論交易多長(zhǎng)時(shí)間，利潤(rùn)均為零。 如果您算上所有傭金、點(diǎn)差和掉期利率，則最終結(jié)果將為負(fù)數(shù)值。

隨機(jī)游走也許看起來(lái)毫無(wú)頭緒，因?yàn)檫@個(gè)過(guò)程的數(shù)學(xué)推導(dǎo)總是會(huì)導(dǎo)致虧損。 但是隨機(jī)游走能有助于計(jì)算不同事件的概率。 這也許包括以非對(duì)稱止損平倉(cāng)、或經(jīng)過(guò)圖表特定價(jià)格范圍時(shí)以均價(jià)平倉(cāng)。 我們還可以計(jì)算持倉(cāng)生存期，和其它有用的變量，這些變量有助于計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)、或助您嘗試最大化盈利或最小化虧損。赫茲量化股票期貨交易軟件

概率樹(shù)和假設(shè)

開(kāi)發(fā)您的額葉的一個(gè)非常有用的例子是事件樹(shù)，或概率樹(shù)。 本主題源于伯努利預(yù)劃案，它是所有概率樹(shù)的基礎(chǔ)。 該預(yù)劃案驗(yàn)證彼此相隨的非重疊事件鏈。 但在此之前，我們先來(lái)研究全概率公式。 通過(guò)研究這個(gè)重要的構(gòu)造，我們可以繼續(xù)處理伯努利預(yù)劃案，及它們對(duì)應(yīng)的概率樹(shù)。 公式如下所示：

• P(A) = Sum(0 ... i .... n) [ P(H[i]) * P(A|H[i]) ] - 事件 A 的概率

• P(H[i])?— 假設(shè)概率?H[i]
  

• P(A|H[i]) — 事件 A 在假設(shè)?H[i]?框架內(nèi)發(fā)生的概率

我想說(shuō)的是，在處理概率時(shí)，最好以假設(shè)的方式來(lái)編寫(xiě)它們。 例如，項(xiàng)式?P(H[k]|H[i])?表示以下內(nèi)容：

1. 相對(duì)于空間?H[i]?計(jì)算出的事件?H[k]?的概率

這種方式可以清楚哪個(gè)事件被認(rèn)為是空間，哪個(gè)事件是嵌套的。 事實(shí)上，每個(gè)事件都是一個(gè)小型的事件空間，其內(nèi)可以容納其它事件，而這些事件也可以作為事件空間，等等。 按照這個(gè)邏輯，項(xiàng)式?P(H[i])?可以寫(xiě)成：

• P(H[i]|O) — 因?yàn)檫@個(gè)概率是相對(duì)于 O 估算的。
  

現(xiàn)在，我們將總概率公式拆分為若干個(gè)部分，以便了解其背后的含義。 這個(gè)公式乍一看似乎很難，所以我們有必要把它說(shuō)得更清楚。 首先，我會(huì)以略微不同的形式重寫(xiě)公式：

• P(A) = (S[0] + ... + S[i] + ... + S[n]) / O? ?=???S[0]/O + ... + S[i]/O + ... + S[n]/O? =? (S[0]/N[0]) * ( N[0]/O ) + ... +?(S[i]/N[i]) * ( N[i]/O ) + ... +?(S[n]/N[n]) * ( N[n]/O )

• S[i] — 假設(shè)?H[i]?交集特定片段的面積

• N[i]? — 整個(gè)假設(shè) H[i]（包括 S[i]）的面積

• O? — 所有結(jié)果或整個(gè)橢圓的面積

進(jìn)行小型變換后，即將分子和分母乘以值?N[i] ，我們可以看到原始公式中存在的概率：

• S[i]/N[i] ---->?P(A|H[i])

• N[i]/O?---->?P(H[i])

它可以用圖形方式直觀表達(dá)如下：

編輯搜圖

?

外橢圓是事件空間。 中心橢圓是我們要尋找的事件概率。 假設(shè)它是一個(gè)時(shí)鐘：繪制橢圓的直徑，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，然后按假設(shè)將橢圓切割成線段。 假設(shè)只是事件的特殊名稱。 然而，它們實(shí)際上是相同的事件，與我們計(jì)算概率的事件并無(wú)不同。赫茲量化股票期貨交易軟件

這個(gè)公式有一個(gè)特例，它將有助于建立伯努利預(yù)劃案。 想象一下，中心橢圓整體處于這些假設(shè)之一的內(nèi)部。 然后得出這個(gè)累加和的所有項(xiàng)，與其余的假設(shè)有關(guān)，自動(dòng)歸零，因?yàn)樵谶@些假設(shè)中事件 A 的概率不可能發(fā)生或等于零，則這些項(xiàng)最終歸零 . 結(jié)果就是，得到這個(gè)：

• P(A) = P(H) * P(A|H)

• H? — 假設(shè)的概率，所選事件完全處于其內(nèi)。

甚至，如果我們假設(shè)事件 A 也稱為假設(shè)呢？ 為什么不呢？ 假設(shè)是一個(gè)事件，所以任何事件都是一個(gè)假設(shè)。 現(xiàn)在，假設(shè)有另一個(gè)事件 B，它位于 A 內(nèi)部。 那么 A 是相對(duì)于 B 的假設(shè)，并且前面的公式適用于這兩個(gè)事件：

• P(B) = P(A) * P(B|A) = P(H) *??P(A|H) *??P(B|A)

插入之前的比率替換 P(A)?— 您可以看到某種模式，可針對(duì)任意數(shù)量的嵌套假設(shè)或事件構(gòu)建通用公式。 它的目的是什么？ 這是伯努利公式的直接原型，我們稍后會(huì)研究。 現(xiàn)在，還有另一個(gè)有趣的事實(shí)需要研究。

關(guān)于分形

根據(jù)上面的公式，如果 P(A) + P(B) = 1，那么這是一個(gè)窮舉的事件集合。 這意味著一個(gè)完整的群可由任意兩個(gè)相互嵌套的假設(shè)鏈組成。 但是這些假設(shè)可能是重疊的。 如果我們要求所有可能的嵌套假設(shè)是其它不重疊的假設(shè)鏈，那么所有鏈自動(dòng)與該事件空間中的鏈互不重疊。 它的圖形表示是一個(gè)非常有趣的模式：

編輯搜圖

這種模式被稱為分形，因?yàn)檫@樣的結(jié)構(gòu)無(wú)法構(gòu)建終結(jié)；它可以無(wú)限地構(gòu)建下去。 在上圖中，結(jié)構(gòu)只有 3 層深度。 藍(lán)色矩形表示單獨(dú)概率鏈的末端。 如果我們將所有這些鏈的概率累加起來(lái)，它們將形成一組詳盡的事件集合。赫茲量化股票期貨交易軟件

這種分形可以用組合來(lái)很好地描述。 組合基于階乘的概念。 還有另一個(gè)概念，置換，它介于階乘和組合之間。 置換公式是從階乘公式推導(dǎo)出來(lái)的，組合的概念是從置換公式推導(dǎo)出來(lái)的。 下面是對(duì)應(yīng)的公式：

• n! - 數(shù)值 n 的階乘

• P(n,k) = n! / ( n - k )!? — 從 N 個(gè)元素到 K 個(gè)元素的排列

• С(n,k) = n! / ( k! *?( n - k )!?)? —?N 個(gè)元素乘 K 個(gè)元素的組合

階乘是所有以 1 開(kāi)頭并以 n 結(jié)尾的自然數(shù)的乘積，而 “0! = 1"。 也就是說(shuō)，零的階乘等于一。 在該情況下，它只是規(guī)則的一個(gè)例外，但我還沒(méi)有看到這種例外會(huì)干擾計(jì)算或令算法復(fù)雜化的案例。

排列稍微復(fù)雜一些。 想象一下，您有一副牌，而這副牌只含有一定數(shù)量的牌。 進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)：洗牌并從整副牌里以完全任意的方式抽出幾張牌，按照我們抽取順序?qū)⑺鼈兎旁谧雷由稀?所以，排列是這個(gè)實(shí)驗(yàn)所有可能產(chǎn)物的數(shù)量，而每張牌的順序也被認(rèn)為是特定產(chǎn)物的唯一標(biāo)識(shí)符。 這種排列適用于任何需要的元素。

第一張牌可以用 n 種不同的方式從牌組中取出，第二張則能以 “n-1” 種方式取出，因?yàn)榈谝粡埮埔巡辉僭谂平M中。 依此類推，直到第 “n-k-1” 張牌。 為了獲得所有可能的排列數(shù)量，我們需要將所有數(shù)字從 “n-k-1” 乘以 “n”。 此過(guò)程類似于階乘。 如果我們?nèi)?“n!” 并將其除以 “n-k” 因子，我們將得到與 “(n-k)!” 完全相等的原始乘積。 這就是我們?nèi)绾蔚玫脚帕泄?。赫茲量化股票期貨交易軟?/p>

組合公式稍微復(fù)雜一些，但也能輕松推導(dǎo)出來(lái)。 我們已擁有所有可能的排列，但元素的順序并不重要 — 只有在其中的牌才重要。 現(xiàn)在，我們需要找到此類案例的數(shù)量，每個(gè)案例都有不同的一套牌。 事實(shí)上，每個(gè)排列已經(jīng)包含這些獨(dú)有集合之一，但我們不需要它們的全部。 我們來(lái)改變邏輯，嘗試收集所有可能組合的所有排列：由它得出，如果我們?nèi)∮靡粋€(gè)組合，無(wú)論我們?nèi)绾沃匦屡帕衅渲械脑?，它們都是唯一的?甚或，如果我們?nèi)∮盟歇?dú)有的組合，并在其中生成所有可能的排列，我們會(huì)得到以下結(jié)果：

• P(n,k) = C(n,k) * P(k,k)

組合中所有可能的獨(dú)有排列的數(shù)量等于 “P(k,k)”，因?yàn)槲覀冃枰獜?“k” 個(gè)變體的所有可能排列中收集 “k” 個(gè)變體。 將方程的兩部分同時(shí)除以 “P(k,k)”，我們得到所需的組合公式：

• C(n,k) =?P(n,k)/P(k,k) =?n! / ( k! *?( n - k )!?)
  

排列和組合都廣泛用于各種概率論問(wèn)題。 當(dāng)在實(shí)際應(yīng)用里運(yùn)用它時(shí)，則組合對(duì)我們來(lái)說(shuō)最有用。 組合可構(gòu)建分形函數(shù)，并用于各種目的。 也許稱它們?yōu)檫f歸更正確，但出于某種原因，我將這些函數(shù)稱為分形（可能是因?yàn)樗鼈兇_實(shí)是分形的，因此它不僅是遞歸，而是一整棵調(diào)用樹(shù)）。

伯努利（Bernoulli）預(yù)劃案

在繼續(xù)研究此類分形函數(shù)之前，我們先來(lái)研究著名的伯努利公式。 假設(shè)我們有一系列相同的實(shí)驗(yàn)，需要我們重復(fù)若干次。 實(shí)驗(yàn)應(yīng)表現(xiàn)為事件以一定的概率出現(xiàn)或不出現(xiàn)。 甚至，假設(shè)我們想要查找在 “n” 個(gè)實(shí)驗(yàn)鏈中我們的事件恰好出現(xiàn) “k” 次的概率。 伯努利公式可以回答這個(gè)問(wèn)題：

• P = C(n,k)*Pow(p,k)*Pow(q,n-k)?? — 伯努利公式
  

• p? — 單次實(shí)驗(yàn)結(jié)果中事件發(fā)生的概率

• q = 1 - p?? — 實(shí)驗(yàn)結(jié)果中事件不會(huì)發(fā)生的概率

還記得之前為概率鏈推導(dǎo)出的公式嗎？ 我們將其擴(kuò)展為任意超大鏈長(zhǎng)度：

• P(n) = P(H[1]|O) *??P(H[2]|H[1]) *??P(H[3]|H[2]) * ... *?P(H[k]|H[k-1]) * ... *P(H[n]|H[n-1])

• n? — 鏈中的段數(shù)

• O? — 整個(gè)產(chǎn)物集合；可以表示為 H[0]

該公式計(jì)算確定需要的假設(shè)鏈發(fā)生的概率。 該公式可以直觀地表示如下：

編輯搜圖

我們的公式在第一個(gè)也是最大的橢圓中，而右邊的另一個(gè)鏈與我們的鏈不重疊，它象征著來(lái)自不同組合的其它分支。 此類分支的數(shù)量與我們公式中用于計(jì)算組合的變體一樣多。 所以不要將組合與組合計(jì)算變體混淆。 用于計(jì)算組合的變體數(shù)量等于：

• n+1 (因?yàn)?“0” 的成功產(chǎn)物組合也要被計(jì)算在內(nèi))

• n 是實(shí)驗(yàn)鏈中獨(dú)立測(cè)試的數(shù)量

現(xiàn)在想象所有這些假設(shè)的概率等于 “p” 或 “q”。 然后簡(jiǎn)化公式：

• P(n) =?Pow(p,k)*Pow(q,n-k)

• k? — 乘積中有多少個(gè)等于 “p” 的因數(shù)

• n-k? — 乘積中有多少個(gè)等于 “q” 的因數(shù)

它已經(jīng)類似于伯努利公式，但缺少組合。 如果您更仔細(xì)思考，很明顯具有相似概率的鏈的變體，以及 “k” 和 “n-k” 的數(shù)量恰好等于“C(n,k)”。 由于所有概率鏈都不重疊，因此獲得這些鏈之一的概率就是所有這些鏈的概率之和。 由于所有這些概率都相同，我們可以將一條鏈的概率乘以其數(shù)量得到伯努利公式：

• P = C(n,k)*Pow(p,k)*Pow(q,n-k)

這個(gè)公式能夠進(jìn)一步擴(kuò)展，例如，當(dāng)我們所要尋找的概率不是一個(gè)嚴(yán)格固定的組合，而是一個(gè)事件發(fā)生 k 次和更多次、k 次和更少次、以及所有類似組合的概率。 在這種情況下，它將是所有所需組合的概率之和。 例如，事件發(fā)生超過(guò) k 次的概率計(jì)算如下：

• P = Summ(k+1 ... i ... n)[C(n,i)*Pow(p,i)*Pow(q,n-i)]

重要的是要理解：

• P = Summ(0 ... i ... n)[C(n,i)*Pow(p,i)*Pow(q,n-i)?] = 1

換言之，所有可能的鏈形成了一個(gè)窮舉事件集合。 另一個(gè)重要的等式是：

• Summ(0 ... i ... n)[C(n,i)] = Pow(2,n)
  

這是合乎邏輯的，因?yàn)楦怕舒湹拿總€(gè)部分只有兩種狀態(tài)：“事件已發(fā)生”和“事件尚未發(fā)生”。 事件尚未發(fā)生時(shí)的狀態(tài)也是暗示另一個(gè)事件已發(fā)生的事件。

組合還有另一個(gè)有趣的特性：

• C(n,k) =??C(n,n-k)
  

它的推導(dǎo)如下：計(jì)算“C(n,n-k)”，并與 “C(n,k)” 進(jìn)行比較。 略微經(jīng)過(guò)一些轉(zhuǎn)換，我們可以看到兩個(gè)表達(dá)式是相同的。 我已創(chuàng)建了一個(gè)基于 MathCad 15 的小程序，可檢查以上所有語(yǔ)句：

編輯搜圖

這個(gè)例子十分貼近行情。 它計(jì)算行情在 n 個(gè)步級(jí)之后向上移動(dòng) u 步的概率。 一個(gè)步級(jí)是價(jià)格相對(duì)于前一步向上或向下移動(dòng)的一定數(shù)量點(diǎn)數(shù)。 每個(gè) “u” 的概率圖形數(shù)組可以如下所示：

編輯搜圖

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我采用了 10 個(gè)步級(jí)的伯努利預(yù)劃案。 該文件附于文后，故您可對(duì)其進(jìn)行測(cè)試。 您不一定需要將此預(yù)劃案應(yīng)用于定價(jià)。 它也可以應(yīng)用于訂單或其他任何東西。

創(chuàng)建第一個(gè)分形

應(yīng)特別注意與止損和止盈價(jià)位相關(guān)的問(wèn)題。 當(dāng)我們知曉止損和止盈的點(diǎn)數(shù)（與當(dāng)前價(jià)格的距離）時(shí)，我們應(yīng)該以某種方式計(jì)算由止損或止盈平倉(cāng)的概率。 該值可在任何時(shí)候計(jì)算，即使不再針對(duì)開(kāi)盤價(jià)，因?yàn)樗羞@些因素都直接取決于定價(jià)機(jī)制。 在這個(gè)例子中，我打算用分形來(lái)展示公式的證明。 在隨機(jī)游走的情況下，這個(gè)概率可以計(jì)算如下：

• P(TP) = SL / ( TP + SL ) - 觸發(fā)止盈的概率

• P(SL) = TP /?( TP + SL ) - 觸發(fā)止損的概率

• SL? — 止損點(diǎn)距
  

• TP? — 止盈點(diǎn)距

這兩個(gè)概率共同構(gòu)成了一個(gè)窮舉事件集合：

• P(TP) +?P(SL) = 1
  

根據(jù)這個(gè)公式，對(duì)于隨機(jī)交易，如果我們排除點(diǎn)差、傭金和掉期利率，這些策略的數(shù)學(xué)期望都為零：

• M =??P(TP) * TP -?P(SL) * SL = 0

當(dāng)我們?cè)O(shè)置固定止損位時(shí)，這是最簡(jiǎn)單的情況。 但將其推廣到任何策略也絕無(wú)問(wèn)題。 現(xiàn)在，我們用相同的 MathCad 15 來(lái)證明公式。 我用這個(gè)程序已經(jīng)很長(zhǎng)時(shí)間了。 它可以生成幾乎任何復(fù)雜度的計(jì)算，甚至可用來(lái)編程。 在這個(gè)例子中，除了證明上面的公式，我們將看到第一個(gè)構(gòu)造分形公式的例子。 我們從勾畫(huà)價(jià)格變動(dòng)過(guò)程開(kāi)始。 這里我們不能使用連續(xù)函數(shù)，只能使用離散函數(shù)。 為此，我們?nèi)∥覀兊臈l件訂單，并計(jì)算向上和向下的停止點(diǎn)距，然后我們將這些段落切分成具有相等步數(shù)的部分，并令每一步級(jí)均含整數(shù)型步長(zhǎng)。 想象一下價(jià)格按這些步級(jí)移動(dòng)。 由于步級(jí)相等，因此朝兩個(gè)方向中的任何一個(gè)方向移動(dòng)的概率都是 0.5。?赫茲量化股票期貨交易軟件我們需要一個(gè)圖形表述來(lái)實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的分形：

編輯搜圖

為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們來(lái)研究三種可能的分形延續(xù)情況：

1. 我們?cè)谥芯€上方（ U > MiddleLine ）

2. 我們?cè)谥芯€下方 ( U < MiddleLine )

3. 我們處于中線之上 ( U = MiddleLine )

“U” 是相對(duì)于開(kāi)盤價(jià)之上 “u-d” 的總步級(jí)數(shù)。 如果我們要繼續(xù)構(gòu)建分形時(shí)點(diǎn)距低于價(jià)格，則 U 根據(jù)函數(shù)取負(fù)值。 如果我們位于中線，則我們可取的步級(jí)數(shù)不用擔(dān)心交叉線低于 Mid。 但是在繼續(xù)構(gòu)建之前，我們必須將分形構(gòu)建限制為價(jià)格或訂單可以執(zhí)行的步級(jí)數(shù)。 如果步級(jí)數(shù)超過(guò)了要求數(shù)量，我們必須中斷進(jìn)一步的構(gòu)建。 否則，我們將得到無(wú)限遞歸，無(wú)法退出。 它的計(jì)算時(shí)間將等于無(wú)窮大。

在圖例中，我畫(huà)了若干個(gè)紫色的步級(jí) — 在這些點(diǎn)位上，我們收集概率，并將它們累加到一個(gè)通用變量之中。 之后，我們需要根據(jù)鏈條的邊界朝向，把鏈向上或向下翻動(dòng)，從而它可以繼續(xù)進(jìn)一步移動(dòng)來(lái)構(gòu)建新的嵌套分形級(jí)別。 在其他方面，我們可以基于伯努利預(yù)劃案自由構(gòu)建完整的分形級(jí)別。

當(dāng)可以基于伯努利預(yù)劃案創(chuàng)建一棵樹(shù)時(shí)，我們必須首先判定我們可以制定的步級(jí)數(shù)，考慮到所有步級(jí)僅向上或向下的極端情況。 對(duì)于所有三種情況，該值等于：

• (n - 1) - U? — 當(dāng)我們的鏈已高于中線之上時(shí)（因?yàn)?U 的增加會(huì)導(dǎo)致到上邊界的距離減少）

• (m - 1) + U? — 當(dāng)我們的鏈已低于中線之下時(shí)（因?yàn)?U 的減少會(huì)導(dǎo)致到下邊界的距離減少）

• (floor(Mid)-1)? — 當(dāng)我們的鏈條正好處于中線時(shí)

• n? — 頂部段落數(shù)量

• m? — 底部段落數(shù)量

• floor? — 該函數(shù)舍棄小數(shù)部分（這可能沒(méi)有必要）

首先我們需要計(jì)算兩個(gè)輔助值：

• Mid = (m+n)/2? — 范圍寬度的一半（步級(jí)數(shù)）

• Middle =?(m+n)/2 - m?? — 中線的 “U” 值（步級(jí)數(shù)）