2023年第十三屆MathorCup高校數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)賽

資料思路分享Q群：714452621

1 賽題

B題 城市軌道交通列車時(shí)刻表優(yōu)化問(wèn)題

列車時(shí)刻表優(yōu)化問(wèn)題是軌道交通領(lǐng)域行車組織方式的經(jīng)典問(wèn)題之一。列車時(shí)刻表規(guī)定了列車在每個(gè)車站的到達(dá)和出發(fā)（或通過(guò)）時(shí)刻，其在實(shí)際運(yùn)用過(guò)程中，通常用列車運(yùn)行圖來(lái)表示。圖 1 為某一運(yùn)行圖的示例，圖中每一條線表示一趟列車，橫軸表示車站，縱軸表示時(shí)間，每一條線反映了一趟列車在不同時(shí)刻所處的相對(duì)位置，也稱為運(yùn)行線。比如，圖中紅色運(yùn)行線表示，列車于 9：02 分從 D 站出發(fā)，于 9：05 分到達(dá) C 站，停留 1分鐘后出發(fā)，于 9：09 分到達(dá) B 站，停留 1 分鐘后出發(fā)，于 10：03 分到達(dá)A 站。

實(shí)際運(yùn)營(yíng)中，在鋪畫列車運(yùn)行圖之前，首先得先確定列車開(kāi)行方案，列車開(kāi)行方案包括列車編組方案、列車停站方案和列車交路計(jì)劃三部分。

列車編組方案規(guī)定了列車的車型和編組數(shù)量（即列車的節(jié)數(shù)），在本問(wèn)題中采用統(tǒng)一的車型和編組數(shù)量。

列車停站方案是規(guī)定列車在哪些站點(diǎn)停站的方案，在本問(wèn)題中均采用站站停的停站方案（即列車在每個(gè)經(jīng)過(guò)的車站都會(huì)停車）。

列車交路計(jì)劃是指列車在規(guī)定的運(yùn)行線路上往返運(yùn)行的方式，即規(guī)定了列車在哪些站點(diǎn)之間運(yùn)行以及開(kāi)行的數(shù)量。大小交路模式是城軌運(yùn)營(yíng)中常用的交路模式，是指城市軌道交通運(yùn)行線路的長(zhǎng)短區(qū)間。通俗講，大交路是指列車跑完全程，小交路是指將全程中的某兩個(gè)站作為臨時(shí)起點(diǎn)或終點(diǎn)來(lái)跑，需要注意的是，只有具有折返能力的車站（能讓列車調(diào)頭的車站）才能作為交路的起點(diǎn)或終點(diǎn)。圖 2 為某大小交路方案示意圖，表示以 A 站為起點(diǎn)的，D 站為終點(diǎn)大交路區(qū)間開(kāi)行 10 對(duì)列車，以 A 站為起點(diǎn)，C 站為終點(diǎn)小交路區(qū)間開(kāi)行 5 對(duì)列車。

在大小交路方案中，大小交路列車開(kāi)行列數(shù)通常為 1:n 或 n:1 兩種模式，即每開(kāi)行 n 列大（?。┙宦妨熊嚭?，開(kāi)行一列?。ù螅┙宦妨熊嚕⑶倚〗宦匪?jīng)過(guò)的車站數(shù)量需有一定限制：小交路區(qū)間過(guò)短會(huì)導(dǎo)致列車的折返頻繁，使運(yùn)營(yíng)成本增加；小交路區(qū)間過(guò)長(zhǎng)則無(wú)法體現(xiàn)大小交路運(yùn)營(yíng)模式的作用。

在列車開(kāi)行方案的制定中，需要以最小的企業(yè)運(yùn)營(yíng)成本和最大的服務(wù)水平(乘客在車時(shí)間和乘客等待時(shí)間)來(lái)滿足客流的需求，企業(yè)的運(yùn)營(yíng)成本包括固定成本（所需車輛的數(shù)量）和變動(dòng)成本（列車總走行公里）兩部分組成。受到車站通過(guò)能力的制約和服務(wù)水平的要求，在一定時(shí)間內(nèi)，列車的發(fā)車數(shù)量也有一定的限制。

在制定好列車開(kāi)行方案后，可根據(jù)該方案同樣以企業(yè)運(yùn)營(yíng)成本最小化和服務(wù)水平最大化為目標(biāo)鋪畫列車運(yùn)行圖，即確定每趟列車的出發(fā)和到達(dá)的具體時(shí)刻?，F(xiàn)有的列車時(shí)刻表通常為等間隔的平行運(yùn)行圖，即發(fā)車間隔（如每 5 分鐘開(kāi)行一趟列車）和在同一站點(diǎn)的停站時(shí)間相等。發(fā)車間隔的長(zhǎng)短會(huì)有一定的限制：發(fā)車間隔過(guò)短，則會(huì)影響列車運(yùn)行的安全；發(fā)車間隔過(guò)長(zhǎng)，則會(huì)增長(zhǎng)乘客的平均等待時(shí)間，從而影響服務(wù)水平。同樣地，停站時(shí)間也需受到一定限制，一般來(lái)說(shuō)列車在車站的停站時(shí)間正比于在該站上、下車的乘客數(shù)量。另外，需要注意的是，兩列車在同一區(qū)間追蹤運(yùn)行時(shí)，需保留一定的安全間隔（追蹤間隔時(shí)間）。

采用大小交路運(yùn)營(yíng)模式的列車運(yùn)行圖，大交路列車和小交路列車一般會(huì)交替開(kāi)行，比如當(dāng)大交路列車與小交路列車的比例為 2：1 時(shí)，則會(huì)以每3 列車為一個(gè)組合（前 2 列車為大交路列車，第三列車為小交路列車）滾動(dòng)發(fā)車。

在下列問(wèn)題中，只需制定單向的列車時(shí)刻表即可。

問(wèn)題一：在滿足客流需求的條件下，以企業(yè)運(yùn)營(yíng)成本最小化和服務(wù)水平最大化為目標(biāo)，制定列車開(kāi)行方案。即確定大交路區(qū)間列車的開(kāi)行數(shù)量，小交路的運(yùn)行區(qū)間以及開(kāi)行數(shù)量。（輸出格式詳見(jiàn)附件 6）

問(wèn)題二：在問(wèn)題一制定的列車開(kāi)行方案下，同樣以企業(yè)運(yùn)營(yíng)成本最小化和服務(wù)水平最大化且盡量滿足客流需求為目標(biāo)，制定等間隔的平行運(yùn)行圖。（輸出格式詳見(jiàn)附件 7，并將附件 7 單獨(dú)上傳到競(jìng)賽系統(tǒng)中）

問(wèn)題三：對(duì)于降低企業(yè)運(yùn)營(yíng)成本和提高服務(wù)水平，你們團(tuán)隊(duì)有哪些好的方法或建議？基于客流和車站數(shù)據(jù)，提供相應(yīng)的量化分析支持。

2 解題思路

1） ?公交車的平均速度為20公里/小時(shí)；按某種程度不考慮停車時(shí)間，從而也不考慮乘客上下車所用時(shí)間，或雖然有不同的停車時(shí)間都認(rèn)為計(jì)入平均速度之內(nèi)；（2） ?只討論了18個(gè)單位時(shí)間段上、下車情況：記上行方向各站點(diǎn)上車總?cè)藬?shù)為a，a,a……，a，上行方向各站點(diǎn)下車總?cè)藬?shù)分別為b，b，b……，b；下行方向在求解也做同樣的設(shè)定.（3） ?定義上下差數(shù)c如下： ?……一般地，（4）由于公共汽車站在單位時(shí)間內(nèi)來(lái)站乘車地人數(shù)使一個(gè)服從于Poisson分布的隨機(jī)變量，設(shè)上、下車總?cè)藬?shù)（或）是此隨機(jī)變量的平均值；(…13)（5）在每個(gè)單位時(shí)間段中，上、下車總?cè)藬?shù)（或）是均勻分布在時(shí)間區(qū)間內(nèi)，即時(shí)間區(qū)間等分：，個(gè)人依次在每個(gè)小區(qū)間中點(diǎn)到達(dá).（6）在公交車運(yùn)行中，每一時(shí)間段的每一個(gè)站點(diǎn)都以最大可能地讓乘客上車，而不顧及后面乘客地利益（即不考慮后面乘客能否上車）.（7）假設(shè)在行車過(guò)程中，不會(huì)出現(xiàn)車壞、道路嚴(yán)重阻塞等意外事故.（8）本題所提供的是一個(gè)典型工作日的統(tǒng)計(jì)表，故具有普通意義.注意：符號(hào)約定中沒(méi)有定義而在文中出現(xiàn)的，在第一次出現(xiàn)處均有說(shuō)明.

本問(wèn)題是一個(gè)給出上、下行兩方向每一個(gè)時(shí)間段，每一個(gè)站點(diǎn)上、下車總?cè)藬?shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)，由這些數(shù)據(jù)，按照多種要求和條件來(lái)設(shè)計(jì)一個(gè)便于操作的全天（工作日）的公交車調(diào)度方案，并抽象出一個(gè)明確的、完整的數(shù)學(xué)模型.對(duì)于上行方向：記上車的總?cè)藬?shù)矩陣為，下車的總?cè)藬?shù)矩陣為，在這里的（或）是隨空間（公交車路線）和時(shí)間變化的量，因此，根據(jù)問(wèn)題所提出的公交車行進(jìn)情況，我們把公交車行進(jìn)過(guò)程中的空間（地點(diǎn)）與時(shí)間的情況反映在坐標(biāo)軸上，即以直角坐標(biāo)系的橫軸表示各站點(diǎn)距離，縱軸表示各時(shí)刻.由此，我們可以做出一個(gè)公交車空間與時(shí)間的二維運(yùn)行圖，公交車運(yùn)行的軌跡在圖上的反映是一簇平行的直線簇，它們的斜率為,即速度的倒數(shù)；（見(jiàn)附圖），平行直線簇可以直觀地反映出公交車行車時(shí)各站與時(shí)間關(guān)系，以及公交車跨時(shí)段的行車情況.（下行方向運(yùn)行圖類似）

篇幅有限，詳細(xì)思路更新到文檔中

2023年第十三屆MathorCup高校數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)賽

資料思路分享Q群：714452621