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幾何布朗運(yùn)動(dòng)（GBM）是模擬大多數(shù)依賴某種形式的路徑依賴的金融工具的標(biāo)準(zhǔn)主力。雖然GBM基于有根據(jù)的理論，但人們永遠(yuǎn)不應(yīng)忘記它的最初目的 - 粒子運(yùn)動(dòng)的建模遵循嚴(yán)格的正態(tài)分布脈沖。基本公式由下式給出：

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標(biāo)準(zhǔn)維納過程代表創(chuàng)新。在對(duì)氣體進(jìn)行建模時(shí)效果很好，在財(cái)務(wù)建模方面存在一些嚴(yán)重的缺陷。問題是維納過程有兩個(gè)非常嚴(yán)格的條件：

a）創(chuàng)新通常是分布式的，平均零和方差為tb）創(chuàng)新是獨(dú)立的

現(xiàn)在，至少有一些金融市場數(shù)據(jù)暴露的人都知道股票回報(bào)不滿足第一個(gè)條件，有時(shí)甚至不滿足第二個(gè)條件。普遍的共識(shí)是，股票收益是扭曲的，是有效的，并且尾巴不均勻。雖然股票收益趨于收斂于正常分布且頻率遞減（即月收益率比日收益率更正常），但大多數(shù)學(xué)者會(huì)同意t分布或Cauchy分布更適合收益。

然而，在實(shí)踐中，大多數(shù)人在模擬布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)只是采用正態(tài)分布，并接受由此產(chǎn)生的資產(chǎn)價(jià)格不是100％準(zhǔn)確。另一方面，我不滿足于這種半解決方案，我將在下面的例子中展示盲目信任GBM的成本是多少。我提出了一種偽布朗方法，其中隨機(jī)創(chuàng)新是從經(jīng)驗(yàn)回報(bào)的核密度估計(jì)而不是假設(shè)的正態(tài)分布中采樣的。這種方法的好處在于它產(chǎn)生的結(jié)果更接近于過去觀察到的結(jié)果而沒有完全復(fù)制過去（這將是直接從過去的創(chuàng)新中抽樣隨機(jī)創(chuàng)新的結(jié)果）。

介紹性例子

在我們進(jìn)入有趣的部分之前，我們展示了市場上浪費(fèi)了多少錢，我們從一個(gè)簡單的例子開始。我們需要加載三個(gè)包及其依賴項(xiàng)（您可以在頁面底部下載此帖子的R-）

1. install.packages("quantmod")

3. require(quantmod)

對(duì)于我們的第一個(gè)例子，我們將嘗試模擬AT＆T的回報(bào)。以下命令允許我們從雅虎財(cái)經(jīng)下載價(jià)格信息并計(jì)算每月日志回報(bào)為了確定我在開始時(shí)所做的觀點(diǎn)，我們將比較回報(bào)分布與正態(tài)分布。

1. att <- getSymbols("T", from = "1985-01-01", to = "2015-12-31", auto.assign = FALSE)

2. plot(density(attr), main = "Distribution of AT&T Returns")

3. rug(jitter(attr))

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即使沒有藝術(shù)史碩士學(xué)位，大多數(shù)人也會(huì)同意這兩行不匹配。對(duì)于那些不依賴于這種視覺方法的人來說，可靠的Kolmogorov-Smirnov測試提供了一種更正式的方法。

1. set.seed(2013)

2. ks.test(attr, rnorm(n = length(attr), mean = mean(attr), sd = sd(attr)))

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測試返回的p值為0.027，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠（p值越小，我們必須得出的結(jié)論是兩個(gè)分布不同）。接下來我們設(shè)置標(biāo)準(zhǔn)GBM功能。我完全清楚各種GBM函數(shù)作為眾多包的一部分存在。盡管如此，我還是決定創(chuàng)建自己的函數(shù)，以使內(nèi)部工作更加透明。

1. m((mu * dt * x) + #drift

2. rnorm(1, mean = 0, sd = 1) * sqrt(dt) * sigma * x) #random innovation

3. x

4. }

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在這個(gè)簡單的函數(shù)中（我知道有更優(yōu)雅的方法來實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，但結(jié)果保持不變）rnorm函數(shù)充當(dāng)Wiener進(jìn)程驅(qū)動(dòng)程序。毋庸置疑，這并不尊重我們上面所看到的。相比之下，我的偽布朗函數(shù)從過去經(jīng)驗(yàn)回報(bào)的核密度估計(jì)中抽樣隨機(jī)創(chuàng)新。

1. pseudoGBM <- function(x, rets, n, ...) {

2. N <

3. y[[i]] <- x + x * (mean(rets) + samp[i])

4. x <- y[[i]]

5. }

6. return(y)

7. }

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不可否認(rèn)，這個(gè)函數(shù)有點(diǎn)簡潔，因?yàn)樗僭O(shè)靜態(tài)增量（即dt = 1）并且?guī)缀醪恍枰脩糨斎?。它只需要一個(gè)起始值（x），一個(gè)過去返回的向量（rets）和指定的路徑長度（n）。...輸入允許用戶將其他命令傳遞給密度函數(shù)。這使用戶可以通過添加帶寬命令（bw =）來控制核密度估計(jì)的平滑度。沒有任何進(jìn)一步的麻煩，讓我們開始使用上述功能進(jìn)行模擬。在第一個(gè)例子中，我們僅使用起始值x中的兩個(gè)函數(shù)來模擬一個(gè)價(jià)格路徑，即系列中的最后一個(gè)價(jià)格。 要查看兩個(gè)方法的執(zhí)行情況，我們計(jì)算模擬序列的回報(bào)并將它們的分布與經(jīng)驗(yàn)分布進(jìn)行比較。

1. x <- as.numeric(tail(att$T.Adjusted, n = 1))

2. set.seed(2013)

4. attPGBMr <- diff(log(attPGBM))[-1]

5. d1 <- density(attr)

6. d2 <- density(attGBMr)

7. d3 <- density(attPGBMr)

8. plot(range(d1$x, d3$x), range(d1$y, d3$y), type = "n",

9. ylab = "Density", xlab = "Returns", main = "Comparison of Achieved Densities")

10. lines(d1, col = "black", lwd = 1)

11. lines(d2, col = "red", lty = 2)

12. lines(d3, col = "blue", lty = 3)

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顯然，我們看到PGBM函數(shù)（藍(lán)線）在產(chǎn)生接近經(jīng)驗(yàn)回報(bào)分布（黑線）的回報(bào)時(shí)優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)GBM函數(shù)（紅線）。同樣，關(guān)鍵（或視覺上無能）的讀者可以查看KS測試的結(jié)果。

1. ks.test(attr, attPGBMr)

3. ks.test(attr, attGBMr)

我們再次看到PGBM函數(shù)（p值= 0.41）遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于GBM函數(shù)（p值= 0.02）。

高級(jí)示例

正如所承諾的那樣，我們的第二個(gè)例子將展示當(dāng)一個(gè)人在不能代表基礎(chǔ)數(shù)據(jù)時(shí)錯(cuò)誤地假設(shè)正態(tài)分布時(shí)，在線上有多少錢。自從金融黑暗時(shí)代醒來以來，歐洲特別表現(xiàn)出對(duì)結(jié)構(gòu)性金融產(chǎn)品的渴望，這些產(chǎn)品可以參與股票市場，同時(shí)限制或消除下行風(fēng)險(xiǎn)。此類證券通常依賴于路徑，因此通常使用GBM進(jìn)行建模。

我們將使用Generali Germany提供的一種特定產(chǎn)品 - Rente Chance Plus - 這是我開發(fā)PGBM功能的最初原因。當(dāng)我在私人銀行工作時(shí)，我的任務(wù)是評(píng)估這個(gè)特定的安全性，從基于GBM的標(biāo)準(zhǔn)蒙特卡羅模擬開始，但很快意識(shí)到這還不夠。Rente Chance Plus提供20％參與EUROSTOXX 50指數(shù)上限至15％的上限，初始投資和實(shí)現(xiàn)收益均無下行。安全性在每年年底評(píng)估。盡管Generali可以在20年的投資期內(nèi)自由改變參與率和資本化率，但為了論證，我們將假設(shè)這些因素保持不變。

從上面反映我們的程序，我們首先從雅虎財(cái)經(jīng)下載EUROSTOXX 50價(jià)格信息。

eu <- getSymbols("^STOXX50E", from = "1990-01-01", to = "2015-12-31", auto.assign = FALSE)

接下來，我們看看數(shù)據(jù)與正態(tài)分布的擬合程度如何，或者說多么糟糕。

1. plot(density(eur), main ibution of EUROSTOXX 50 Returns")

3. ks.tst(eu.r, rnm(n = length(eu.r), mean = mean(eu.r), sd = sd(eu.r)))

從嚴(yán)格的視角來看，這看起來比AT＆T分布更糟糕。EUROSTOXX的回報(bào)顯然是負(fù)面偏差，有點(diǎn)leptokurtic。KS測試返回p值為0.06，確認(rèn)視覺不匹配?，F(xiàn)在我們已經(jīng)確定正態(tài)分布不是最合適的，我們可以看看錯(cuò)誤地假設(shè)它的后果。我們將使用標(biāo)準(zhǔn)GBM和我的PGBM函數(shù)運(yùn)行10,000次迭代的模擬并比較結(jié)果（如果您正在復(fù)制以下代碼，請(qǐng)?jiān)诘却龝r(shí)給自己喝杯咖啡。這將花費(fèi)一些時(shí)間來運(yùn)行）。

1. x <- as.numer

3. SIM1 <- as.data.frame(matrix(replicate(10000, {eu.GBM <- myGBM(x=x, mu = mean(eu.r), sigma = sd(

5. SIM2 <- as.data.frame(matrix(replicate(10000, {eu.PGBM <- pseudoGBM(x = x, n = 240, rets = eu.r)}), ncol = 1000, 10000), SIM1[seq(0, 240, 12), ])), start = c(2016), frequency = 1)

7. sim2 <- ts(as.matrix(rbind(rep(x, 10000), SIM2[seq(0, 240, 12), ])), start = c(2016), frequency = 1)

當(dāng)然，我們對(duì)EUROSTOXX 50的價(jià)格水平不感興趣，而是在參與率和上限率的約束下評(píng)估的回報(bào)。好消息是最困難的部分就在我們身后。計(jì)算回報(bào)和應(yīng)用約束非常簡單。對(duì)結(jié)果進(jìn)行調(diào)整并不容易。

1. s1.r <-(sim2))

3. , s2.r*0.2, 0.15*0.20)

5. S1<-colSums(s1.r)

7. S2<-colSumS1,arkred")

9. rug(jitter(S2), side = 1, col = "darkblue")

11. ks.test(S1, S2)

我們可以清楚地看到，PGBM函數(shù)（藍(lán)色）模擬的累積回報(bào)表現(xiàn)出負(fù)偏差，并且范圍比標(biāo)準(zhǔn)GBM函數(shù)（紅色）模擬的回報(bào)更寬。請(qǐng)注意，由于安全性沒有下行限制，分布在下尾區(qū)看起來并不相同。KS測試以極其確定的方式證實(shí)兩種分布是不同的（然而，小的p值主要是由大樣本量引起的）?，F(xiàn)在回答這個(gè)百萬美元的問題（實(shí)際上非常字面）。線路上有多少錢？好吧，如果Generali使用正態(tài)分布來預(yù)測回報(bào)并相應(yīng)地重新投保，他們會(huì)......

均值（S1）-mean（S2）

...低估了累計(jì)回報(bào)率約0.6％。這可能看起來并不多，但如果我們假設(shè)安全數(shù)量為10億歐元，那么Generali就達(dá)不到600萬歐元 - 相當(dāng)多的錢只是假設(shè)錯(cuò)誤的分配。

結(jié)論和局限

那么我們從中學(xué)到了什么呢？用于對(duì)任何依賴路徑的安全定價(jià)模型中的創(chuàng)新進(jìn)行建模的分布可能會(huì)產(chǎn)生重大影響。雖然這個(gè)陳述本身就很明顯，但分布差異的程度令人驚訝。當(dāng)然，在Generali和其他機(jī)構(gòu)工作的人可能比我更聰明，他們非常清楚正常分布并不總是最佳選擇。但是，大多數(shù)人會(huì)使用更正式的（但可能只是不準(zhǔn)確的）分布，如t分布或Cauchy分布。使用核密度分布是一種聞所未聞的方法。這是有原因的。

首先，不能保證核密度估計(jì)比未回避的正態(tài)分布更準(zhǔn)確地表示未知的基礎(chǔ)分布。使用過去的數(shù)據(jù)預(yù)測未來總是讓任何數(shù)據(jù)科學(xué)家的口味都不好，但不幸的是我們別無選擇。然而，標(biāo)準(zhǔn)GBM固有的正態(tài)分布確實(shí)過于依賴過去的信息（即歷史均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差），但在形式化解決方案方面具有巨大的優(yōu)勢，因?yàn)槠浜诵淖饔茫p關(guān)語僅用于后見之明）概率論。

其次，內(nèi)核密度估計(jì)對(duì)使用的帶寬非常敏感。如果帶寬太大，您將獲得平滑的分布，但是，與正態(tài)分布沒有區(qū)別。如果帶寬太小，您將獲得一個(gè)非常強(qiáng)調(diào)極值的分布，特別是如果您估計(jì)內(nèi)核密度的數(shù)據(jù)樣本相當(dāng)小。在上面的例子中，我們使用了密度函數(shù)中固有的自動(dòng)帶寬選擇器，但幾乎沒有辦法知道最佳帶寬是什么。

上述方法還有其他局限性，因?yàn)槲覀冏隽嗽S多非常不切實(shí)際的假設(shè)。在Generali的例子中，我們假設(shè)Generali沒有改變參與率和上限率，這是不太可能的。然而，更一般地說，我們對(duì)金融市場做出了一些基本假設(shè)。知情（希望）我們假設(shè)資本市場是有效的。因此，我們假設(shè)回報(bào)中沒有自相關(guān)，這是維納過程的第二個(gè)條件，但這是否代表了基礎(chǔ)數(shù)據(jù)？

acf（eu.r，main =“EUROSTOXX 50返回的自相關(guān)”）

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