手機(jī)站首頁散文詩歌雜文隨筆日記小小說

散文網(wǎng) » 科技 »學(xué)習(xí) » A-2-2張力與摩擦角

A-2-2張力與摩擦角

2023-08-29 21:22 作者:夏莉家的魯魯 0人讀過 | 我要投稿

2.2.1 張力

張力求解

彈性繩或彈簧在伸長時(shí)，其中處處存在彈力，我們稱其為張力。由于張力是彈性體內(nèi)部的作用力，我們在分析時(shí)，往往采用微元法，隔離一小段物體進(jìn)行分析。

例1.如圖所示，一長為L、質(zhì)量均勻?yàn)镸的鏈條套在一表面光滑，頂角為\alpha的圓錐上，當(dāng)鏈條在圓錐面上靜止時(shí)，鏈條中的張力是多少？

解：空間的受力分析問題，我們往往需要利用視圖，化為平面圖分析。

我們在鏈條上取圓心角 $d%5Ctheta$ 對(duì)應(yīng)的小微元，其質(zhì)量為：

$dm%3D%5Cdfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7B2%5Cpi%7DM$
畫出小微元的受力分析：

其中兩張力T對(duì)稱，作出俯視圖求其合力：

由上圖得合力為

$2T%5Csin%5Cdfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7B2%7D%3DTd%5Ctheta$
再看主視圖：

由受力分析及其矢量圖易知：

$Td%5Ctheta%5Ctan%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D%3Ddmg%3D%5Cdfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7B2%5Cpi%7DMg$
故：
$T%3D%5Cdfrac%7BMg%7D%7B2%5Cpi%7D%5Ccot%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D$

彈簧伸長量

我們已經(jīng)知道n個(gè)彈簧的串并聯(lián)公式：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20k_%E4%B8%B2%3D(%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5En%20k_i%5E%7B-1%7D)%5E%7B-1%7D%5C%5C%20k_%E5%B9%B6%3D%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5En%20k_i%20%5Cend%7Bcases%7D$

下面我們考慮一下非輕彈簧的情況

例2.一質(zhì)量為m的彈簧，勁度系數(shù)為k，將其豎直懸掛時(shí)，求其伸長量（未超過彈性限度）。

解：我們將彈簧n等分，則每一份質(zhì)量為 $%5Cdfrac%7Bm%7D%7Bn%7D$ ，勁度系數(shù)為nk，從上往下數(shù)，第i個(gè)彈簧下方懸掛了(n-i)份彈簧，伸長量

$%5CDelta%20x_i%3D%5Cdfrac%7B(n-i)%5Cdfrac%7Bm%7D%7Bn%7Dg%7D%7Bnk%7D%3D%5Cdfrac%7Bmg%7D%7Bn%5E2k%7D(n-i)$
則總伸長量

$%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%5CDelta%20x_i%3D%5Cdfrac%7Bmg%7D%7Bn%5E2k%7D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D(n-i)%3D%5Cdfrac%7B(n-1)mg%7D%7B2nk%7D$
當(dāng) $n%5Crightarrow%5Cinfty$ 時(shí)，總伸長量為 $%5Cdfrac%7Bmg%7D%7B2k%7D$

摩擦力作用下的張力

在河邊泊船時(shí)，我們可以看到，船夫會(huì)將繩子繞在岸上的樁上，繞了好幾圈之后打結(jié)，防止繩子松動(dòng)。這里其實(shí)也應(yīng)用了摩擦力的知識(shí)。

例3.如下圖所示，當(dāng)船舶拋錨時(shí)，要把纜繩在系錨樁上繞好幾圈（N圈），這樣做時(shí)，錨樁抓住纜繩必需的力，比船作用于纜繩的力小得多，以避免在船舶遭到突然沖擊時(shí)拉斷纜繩，這兩力之比 $F_1%3AF_2$ ，與纜繩繞系錨樁的圈數(shù)有關(guān)。設(shè)泊船時(shí)將纜繩在系錨樁上繞了5圈，纜繩與錨樁間的摩擦因數(shù) $%5Cmu%3D0.2$ ，求比值 $F_1%3AF_2$ ．

解：取繩上圓心角 $d%5Ctheta$ 對(duì)應(yīng)的小微元，假設(shè)纜繩逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，畫出受力分析的俯視圖：

錨樁以最小力拉住纜繩時(shí)，纜繩剛好滑動(dòng)。沿切向和法向列平衡方程得：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20(T%2BdT)%5Ccos%5Cdfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7B2%7D%3DT%5Ccos%5Cdfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7B2%7D%2Bf%5C%5C%20F_N%3D(T%2BdT)%5Csin%5Cdfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7B2%7D%2BT%5Csin%5Cdfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7B2%7D%5C%5C%20f%3D%5Cmu%20F_N%20%5Cend%7Bcases%7D$
利用小量近似化簡得
$%5Cdfrac%7BdT%7D%7BT%7D%3D%5Cmu%20d%5Ctheta$
解得

$%5Cdfrac%7BT_2%7D%7BT_1%7D%3De%5E%7B%5Cmu%5Ctheta%7D$
代入數(shù)據(jù)

$F_1%3AF_2%3De%5E%7B-2%5Cpi%7D$

可見利用摩擦力，可以實(shí)現(xiàn)"四兩撥千斤"的效果。

2.2.2 虛功原理

對(duì)于一個(gè)靜態(tài)平衡的系統(tǒng)，所有外力的作用，經(jīng)過虛位移所作的虛功，總和等于零，這就是虛功原理。

其中虛位移指的是系統(tǒng)滿足約束條件的無限小可能位移。"虛"字表示它與系統(tǒng)的真實(shí)位移無關(guān)，且位移無限小，不改變原來的力的方向與大小。

而虛功指的是真實(shí)力在虛位移上做的功。

利用虛功原理，可以很快的解決一些靜力學(xué)的"難題"。

例4.一條均勻繩子兩端懸掛在A和B兩點(diǎn)上，A、B兩點(diǎn)的高度差為h，如圖所示，繩子在A點(diǎn)的張力等于 $T_A$ .求繩子在B點(diǎn)的張力。知整條繩子的質(zhì)量為m，長度為l.

解：假設(shè)繩子在沿著繩子自身方向有一個(gè)虛位移，A處繩子縮短 $%5Cdelta%20x$ ?,則B處繩子伸長 $%5Cdelta%20x$ 。重力做功等于 $%5Cdelta%20x$ 長度的繩子從A點(diǎn)直接上升到B點(diǎn)重力做的功。則合力做功：

$T_B%5Cdelta%20x-T_A%5Cdelta%20x-%5Cdfrac%7Bm%7D%7Bl%7D%5Cdelta%20xgh%3D0$
故

$T_B%3DT_A%2B%5Cdfrac%7Bh%7D%7Bl%7Dmg$

2.2.3 摩擦角

正交分解法算是受力平衡的代數(shù)方法。力作為矢量，畫矢量圖的幾何方法往往會(huì)更加直觀、快捷。在研究滑動(dòng)問題時(shí)，我們需要比較f和 $F_N$ 之間的大小關(guān)系，不滑動(dòng)的條件為：

$%5Cdfrac%7Bf%7D%7BF_N%7D%5Cle%5Cmu$

如上圖，我們發(fā)現(xiàn)， $%5Cdfrac%7Bf%7D%7BF_N%7D$ 可以表示為 $%5Ctan%5Ctheta$ ，其中 $%5Ctheta$ 是摩擦力與支持力的合力與接觸面法線方向的夾角，如果我們定義 $%5Cmu%3D%5Ctan%5Cvarphi$ ，那么不滑動(dòng)時(shí)

$%5Ctan%5Ctheta%5Cle%5Ctan%5Cvarphi$

即

$%5Ctheta%5Cle%5Cvarphi$

我們將 $%5Cvarphi%3D%5Carctan%5Cmu$ 稱為摩擦角，f和 $F_N$ 的合力稱為全反力，不滑動(dòng)時(shí)，只要全反力與法線的夾角小于摩擦角就可以了。

例5.粗糙水平面上有一重為G的小木塊，用一個(gè)斜向右上方的作用力F去拉這個(gè)木塊，求將其拉動(dòng)的F最小值。已知木塊和水平面的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為 $%5Cmu$ ，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。

解：受力分析如下圖，

小木塊受3個(gè)作用力，重力G，拉力F以及全反力。剛好滑動(dòng)時(shí)，全反力與法線的夾角等于摩擦角 $%5Cvarphi$ ，三力畫成閉合矢量圖如右圖，其中全反力方向已知，大小未知，易得

$F_%7Bmin%7D%3DG%5Csin%5Cvarphi%3D%5Cdfrac%7B%5Cmu%7D%7B%5Csqrt%7B1%2B%5Cmu%5E2%7D%7DG$

在上例中，如果F斜向右下方，且與法線夾角小于摩擦角 $%5Cvarphi$ ，此時(shí)全反力與法線夾角永遠(yuǎn)小于摩擦角，就是說物塊永遠(yuǎn)不可能滑動(dòng)，這就是自鎖現(xiàn)象。

2.2.4 練習(xí)

練1.如圖，在一個(gè)置于水平面上的表面光滑的半徑為R的半圓柱面上，置有一條長為 $%5Cpi%20R$ 的均勻鏈條，鏈條的質(zhì)量為m，其兩端剛好分別與兩側(cè)的水平面相接觸，求此鏈中張力的最大值為多少？

答案： $%5Cdfrac%7Bmg%7D%7B%5Cpi%7D$

練2.由4根長為2l，質(zhì)量為2m的均質(zhì)桿和4根長為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)桿構(gòu)成合頁構(gòu)件，構(gòu)件共有10個(gè)輕質(zhì)的光滑鉸鏈，將鉸鏈 $O_1$ 懸掛于水平軸上，并在鉸鏈 $O_3$ 、 $O_4$ 間連一根繩，繩長為 $%5Csqrt%7B2%7Dl$ .構(gòu)件平衡時(shí)，各鉸鏈處兩桿的夾角均為90°，如圖所示。試求平衡時(shí)繩中的張力。