我們現(xiàn)在要對(duì)先前留下的“更精確”進(jìn)行深入研究。研究的過程中，我們發(fā)現(xiàn)，僅僅求一次導(dǎo)就只能得到這樣的公式，無法再進(jìn)行下去。事實(shí)上，結(jié)果是：多次求導(dǎo)正好可以解決這樣的問題。

第九期? 高階差分與導(dǎo)數(shù)（1）

需要注意的是，本期的內(nèi)容并未依照教材敘述，而是與高階導(dǎo)數(shù)相結(jié)合地?cái)U(kuò)充了一些組合、級(jí)數(shù)方面的知識(shí)，滲透一些無窮級(jí)數(shù)的思想。

首先，引入“差分”的概念：

定義? 若是的函數(shù)，則稱作的差分，記作。的差分的差分稱作的階差分，記作。

經(jīng)過計(jì)算，又發(fā)現(xiàn)：

事實(shí)上，我們通過數(shù)學(xué)歸納法容易證明，

這個(gè)式子非常重要，直接關(guān)系到此后的高階導(dǎo)數(shù)。仔細(xì)觀察這個(gè)式子，其實(shí)公式中每一項(xiàng)的系數(shù)與展開后的各項(xiàng)系數(shù)是對(duì)應(yīng)相等的，這可以作為該公式的一個(gè)記憶方法。設(shè)

則的次項(xiàng)為；次項(xiàng)為，不為0.這告訴我們，次多項(xiàng)式的差分是一個(gè)次多項(xiàng)式。于是，有推論：次多項(xiàng)式的階差分為常數(shù)，而其階差分為零。

下面考察這個(gè)常數(shù)究竟是什么。設(shè)據(jù)同上，求。由于的階差分為零，故

此時(shí)，被差分函數(shù)的次項(xiàng)被抵消，次項(xiàng)為，其余項(xiàng)的階差分為零。故而

于是其又等于，得到了答案。

差分可以幫助我們解決一類重要的問題：整值多項(xiàng)式。這就是說，什么樣的多項(xiàng)式函數(shù)，當(dāng)自變量為整數(shù)時(shí)，因變量也必然為整數(shù)？我們需要一個(gè)充要條件，顯然它不可能是各項(xiàng)系數(shù)均為整數(shù)。于是，我們不由得想到了這樣一類函數(shù)：組合數(shù)。我們是這樣定義的：

如果我們采取后一種表達(dá)，即定義域?yàn)槿w整數(shù)的函數(shù)，那情況就明朗得多了：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，中必有一個(gè)為零，因而。

當(dāng)時(shí)，，

其符號(hào)與相同。由于，故。綜上，我們發(fā)現(xiàn)是整值多項(xiàng)式。由于為整值多項(xiàng)式，則顯然也為整值多項(xiàng)式。事實(shí)上，經(jīng)過計(jì)算，

繼續(xù)寫出幾個(gè)整值多項(xiàng)式：

于是，我們猜想：

任一整值多項(xiàng)式均可以表示為，其中的形式。

證明：

先證任一多項(xiàng)式均可表示為上述形式，其中未必為整數(shù)。這一點(diǎn)可以使用數(shù)學(xué)歸納法說明。當(dāng)其為一次多項(xiàng)式時(shí)，取即可；設(shè)命題對(duì)次多項(xiàng)式成立，則對(duì)于，顯然是一個(gè)次多項(xiàng)式，設(shè)它是。令，即得引理。

此時(shí)，在此基礎(chǔ)上，設(shè)是整值多項(xiàng)式。令，則，因而，于是也為整值多項(xiàng)式。再令，則，因而，于是也為整值多項(xiàng)式……由于，因此我們可以不斷地重復(fù)上述的操作，直到的結(jié)論。

在這些知識(shí)的鋪墊下，我們可以進(jìn)一步研究“高階等差數(shù)列”的問題：一階等差數(shù)列就是中學(xué)階段的等差數(shù)列；又定義階等差數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之差順次構(gòu)成一個(gè)階等差數(shù)列。對(duì)于它，我會(huì)出一期雜談敘述（不能扯太遠(yuǎn)）

參考文獻(xiàn)：

[1]數(shù)學(xué)小叢書（合訂本1）.科學(xué)出版社.2018年7月第1版.P20-23