這段筆記對不理解三角分解法復(fù)雜公式計算過程的同學(xué)會有一定幫助，根據(jù)需要往下看。

前言

????《數(shù)值分析與實驗》(黎健玲等 著)這本書的第二章節(jié)，將講述的內(nèi)容是解線性方程組的直接法（對應(yīng)的是迭代法，在本書的其他章節(jié)有講解）。本章節(jié)，按順序講述了Gauss消去法、列主元Gauss消去法、矩陣三角分解法，其中矩陣三角分解法又細分為Doolittle分解法和Crout分解法。筆者的作業(yè)主要有列主元的Doolittle分解法和Crout三角分解的追趕法，所以圍繞作業(yè)題面對的問題，展開思考和理解。歡迎各位同學(xué)針對這一主題進行討論。

基礎(chǔ)要求

????????理解Gauss列主元消去法的邏輯；

????????掌握Gauss列主元消去法；

????????了解三角分解法的基本概念；(所以不在此展開)

以Doolittle分解法為例

????????Doolittle分解法需要將A矩陣分解為L（單位下三角矩陣）和U（上三角矩陣）。

????但是書本介紹的分解方法和計算過程比較復(fù)雜，詳細過程可以看下圖。個人認為，前面一兩個步驟還是比較好理解的，到了第K步就顯得很抽象。另外，從下圖可以看到U和L是逐行遞進計算，這樣的計算步驟不好理解（個人認為）。既然話都說到這里了，肯定是有另一種更好理解的思路。

直接求出U上三角矩陣，你會發(fā)現(xiàn)新世界！

????這部分內(nèi)容直接上實例。下圖給出一道三角分解法的例題，計算過程是按照書本的計算步驟得來的。

給出了標(biāo)準答案和結(jié)題步驟，那就開始另一種理解題目的思路了。

第一步，先把線性方程組的系數(shù)矩陣提取出來（如下圖所示）。

第二步，使用高斯消去法（就是初等行變換），把A矩陣轉(zhuǎn)化為上三角矩陣，結(jié)果就是Doolittle三角分解法的U上三角矩陣。下圖是計算過程，結(jié)果可以翻上去對照標(biāo)準答案（結(jié)果一致。如果不知道為什么一致，評論區(qū)告訴你答案）

第三步，怎么得到L矩陣呢？答案就在上圖中的r2-2r1、r3-3r1、r3-8/5r2。r2-2r1表示L21=2，r3-3r1表示L31=3，r3-8/5r2表示L32=8/5，總結(jié)起來就是ri-nrj表示Lij的元素為n。

綜合以上三個步驟就可以得到Doolittle分解法分解系數(shù)矩陣A對應(yīng)L、U三角矩陣。有特殊例子把上面的思路駁倒嗎？理論上只要能用書里的解法，筆者的思路就不會被駁倒，其實就是一個方法的兩種理解思路。

關(guān)于解題步驟，考試可能會要求使用標(biāo)準的公式和步驟寫出解析過程，怎么根據(jù)這個方法又能快速結(jié)題，又能完整寫出結(jié)題步驟呢？以下內(nèi)容結(jié)合標(biāo)準解題過程，分析解題步驟。其實就是根據(jù)一般的計算過程反推計算過程使用到哪些元素，有些元素可以使用以計算出來的U或L的元素代替，整個過程其實是和書本上對應(yīng)的。

以上是使用Doolittle的三角分解法計算出A的LU三角矩陣，如何通過三角矩陣計算線性方程組的解這里不做陳述。有的同學(xué)會問如果是列主元的Doolittle三角分解法應(yīng)該如何得到LU三角矩陣。以下通過理解直接展示，本質(zhì)上就是多了比較大小選取主元的步驟。

以上講述了按列主元的Doolittle分解法解線性方程組過程中求LU三角矩陣的內(nèi)容。

Crout分解法和追趕法

Crout分解法到此還沒有展開講解，因為本質(zhì)上兩者區(qū)別不大。如果說Doolittle是用下面的行減去上面的行得到上三角矩陣U，那么Crout就是用右邊的列減去左邊的列得到下三角矩陣L。

下面舉個例子把Crout和追趕法都示例一遍，如果上面的內(nèi)容get到了點，下面的內(nèi)容也跟喝水一樣。

小結(jié)

????題目要求使用三角分解法求解線性方程組的解，可以通過初等行變化得到Doolittle分解的上三角矩陣U，單位下三角矩陣L通過行變化之間的系數(shù)可以得出；可以通過列變換得到Crout分解的下三角矩陣L，單位上三角矩陣U通過變化系數(shù)可以得出。

????列主元要注意元素的變換，否則結(jié)果會出現(xiàn)錯誤。

????筆者認為，該理解思路比書上的內(nèi)容更好理解，以由淺入深，由宏觀到細致的思路更容易被接受。以上整理的內(nèi)容比較粗糙，歡迎各位同學(xué)提出整改意見和知識看點。Thanks~