運用數(shù)學歸納法證明：每個大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個奇素數(shù)之和

崔坤

中國青島即墨，266200，E-mail:cwkzq@126.com

摘要:

數(shù)學家劉建亞在《哥德巴赫猜想與潘承洞》中說：

“我們可以把這個問題反過來思考, 已知奇數(shù)N可以表成三個素數(shù)之和， 假如又能證明

這三個素數(shù)中有一個非常小，譬如說第一個素數(shù)可以總取3， 那么我們也就證明了偶數(shù)的哥德巴赫猜想。”，

直到2013年才有秘魯數(shù)學家哈羅德賀歐夫格特徹底證明了三素數(shù)定理。

關鍵詞:三素數(shù)定理，奇素數(shù)，加法交換律結合律

中圖分類號：O156 文獻標識碼： A

Mathematical induction proves that every odd number greater than or equal to 9 is the sum of 3 + two odd prime numbers

abstract：Mathematician Liu Jianya said in "Goldbach Conjecture and Pan Chengdong": "We can think about this problem in

reverse. Knowing that the odd number N can be expressed as the sum of three prime numbers, if it can be proved that one of

the three prime numbers is very Small, for example, the first prime number can always be 3, then we have proved

Goldbach’s conjecture for even numbers.” It was not until 2013 that Peruvian mathematician Harold Hoofgert completely

proved the three prime number theorem.

keywords：Triple Prime Theorem, Odd Prime Numbers, Commutative Law of Addition, Associative Law

證明：

根據(jù)2013年秘魯數(shù)學家哈羅德·賀歐夫格特已經(jīng)徹底地證明了的三素數(shù)定理：

每個大于等于9的奇數(shù)都是三個奇素數(shù)之和，每個奇素數(shù)都可以重復使用。

它用下列公式表示：Q是每個≥9的奇數(shù)，奇素數(shù)：q1≥3，q2≥3，q3≥3，

則Q=q1+q2+q3 根據(jù)加法交換律結合律，不妨設：q1≥q2≥q3≥3，

則Q-3=q1+q2+q3-3 顯見：有且僅有q3=3時，Q-3=q1+q2，

否則，奇數(shù)9，11，13都是三素數(shù)定理的反例。

即每個大于等于6的偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)之和

推論Q=3+q1+q2，即每個大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個奇素數(shù)之和。

我們運用數(shù)學歸納法做如下證明：

給出首項為9，公差為2的等差數(shù)列：Qn=7+2n：{9,11,13,15,17,.....}

Q1= 9

Q2= 11

Q3= 13

Q4= 15

.......

Qn=7+2n=3+q1+q2,(其中奇素數(shù)q1≥q2≥3，奇數(shù)Qn≥9，n為正整數(shù)）

數(shù)學歸納法：

第一步：當n=1時 ，Q1=9 時 ，Q1=9=3+q1+q2=3+3+3成立

第二步：假設 ：n=k時，Qk=3+qk1+qk2，奇素數(shù)：qk1≥3，qk2≥3,成立。

第三步：當n=k+1時,Q（k+1）=Qk+2=3+qk1+qk2+2=5+qk1+qk2

即：Qk+2=Q（k+1）=5+qk1+qk2

即每個大于等于11的奇數(shù)都是5+兩個奇素數(shù)之和，

從而每個大于等于6的偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)之和。

而這個結論與“每個大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個奇素數(shù)之和”是等價的

即：Qk+2=3+qk1+qk2+2=5+qk1+qk2=3+qk3+qk4,奇素數(shù)：qk3≥3，qk4≥3

故：Qk+2=3+qk3+qk4,奇素數(shù)：qk3≥3，qk4≥3

綜上所述，對于任意正整數(shù)n命題均成立，

即：每個大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個奇素數(shù)之和

同時，每個大于等于11的奇數(shù)Q=3+p1+p2=5+p3+p4,(p1,p2,p3,p4均為奇素數(shù)）

結論：每個大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個奇素數(shù)之和，

Q=3+q1+q2，（奇素數(shù)q1≥q2≥3，奇數(shù)Q≥9）

參考文獻：

[1]Major Arcs for Goldbach's Theorem. Arxiv [Reference date 2013-12-18]

[2] Minor arcs for Goldbach's problem．Arxiv [Reference date 2013-12-18]

哥猜數(shù)r2(N)≥[N/(lnN)^2]個

r2(N)≥[N/(lnN)^2]的推導：

根據(jù)雙篩法及素數(shù)定理可進一步推得：r2（N）=（N/2)∏mr≥[ N/(lnN)^2 ]≥1

對于共軛互逆數(shù)列A、B:

A:｛1,3,5,7,9,……,（N-1）｝

B:｛（N-1）,……,9,7,5,3,1｝

顯然N=A+B

根據(jù)埃氏篩法獲得奇素數(shù)集合{Pr}：｛1，3，5，…，Pr｝,Pr<√N，

為了獲得偶數(shù)N的(1+1)表法數(shù)，按照雙篩法進行分步操作：

第1步：將互逆數(shù)列用3雙篩后得到真實剩余比m1

第2步：將余下的互逆數(shù)列再用5雙篩后得到真實剩余比m2

第3步：將余下的互逆數(shù)列再用7雙篩后得到真實剩余比m3

…

依次類推到：第r步：將余下的互逆數(shù)列再用Pr雙篩后得到真實剩余比mr

這樣就完成了對偶數(shù)N的求雙篩法（1+1）表法數(shù)，

根據(jù)乘法原理有：r2(N)=（N/2）*m1*m2*m3*…*mr

即r2(N)=(N/2)∏mr

分析雙篩法r2(N)的下限值：

第一步:先對A數(shù)列篩選，根據(jù)素數(shù)定理，

A中至少有[N/lnN ]≥1個奇素數(shù)，即此時的共軛互逆數(shù)列AB中至少有[ N/lnN ]個奇素數(shù)

第二步:再對B數(shù)列進行篩選，篩子是相同的 1/lnN ，

則根據(jù)乘法原理由此推得共軛數(shù)列AB中至少有:r2(N)≥[N/(lnN)^2]≥1個共軛奇素數(shù)

這里是邏輯分析給出的：r2(N)≥[N/(lnN)^2]

【解析】

第一步：得出真值公式：r2(N)=（N/2）*m1*m2*m3*…*mr

第二步：對真值公式進行邏輯分析得到：r2(N)≥[N/(lnN)^2]