樣條插值比較復(fù)雜，用得也最普遍，網(wǎng)上很多課件都沒有完全說清楚，這里把本人認(rèn)為說得比較清楚的一個課件轉(zhuǎn)載如下:

樣條插值產(chǎn)生的原因：

從這里看出，與hermite插值相比，樣條插值要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，而前者只要求一階導(dǎo)數(shù)存在。二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)也就是曲率連續(xù)，表示這條曲線是光滑的。再看下面一個介紹：

這里S(x)的導(dǎo)數(shù)只有n-1個點，是因為第一個點沒有左值（x0-0）,最后一個點沒有右值

（xn+0）。

這里是假設(shè)S的二階導(dǎo)數(shù)是一條曲線，然后利用拉格朗日插值法得出的表達(dá)式。

上圖中最后一個表達(dá)式將相關(guān)數(shù)值代入后即得到所求的三次多項式。

注意上面的討論，先是在區(qū)間[xi,xi+1]上討論，然后在[xi-1,xi]區(qū)間是討論，也就是一共三個點參加了討論：xi-1,xi,xi+1。討論的過程是通過一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)而進(jìn)行的。

接下來通過邊界條件補(bǔ)充缺失的兩個條件：

這個三彎矩方程用到了三個點的二階導(dǎo)數(shù)。通過上圖可以求出來。

舉例如下：

最后與hermite插值相對比：

由上述過程可以看出，hermite插值多項式的求解過程只用到了兩個點的數(shù)值及它們的導(dǎo)數(shù)值，而樣條插值則用到了三個點的二階導(dǎo)數(shù)值。

下圖是兩者程序?qū)崿F(xiàn)：

簡單總結(jié)兩者的區(qū)別：

1：樣條插值要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，而hermite插值只需要一階導(dǎo)數(shù)存在。

2：樣條插值用到三個點，而hermite是兩個。

3：樣條函數(shù)計算一次得出兩個三次多項式，而hermite則是一個。