? ? 在上次的文章中我們討論了如何從邏輯學(xué)的角度理解芝諾悖論，文章的結(jié)尾提到了在現(xiàn)實(shí)意義上，由于理論最小可測(cè)量長(zhǎng)度普朗克長(zhǎng)度的存在，阿喀琉斯無(wú)法無(wú)限小地落后于烏龜，因此芝諾悖論在現(xiàn)實(shí)意義上來(lái)說(shuō)是不成立的。這次就來(lái)細(xì)說(shuō)一下，量子力學(xué)到底是怎樣在物理意義上打敗了芝諾的烏龜。

前車(chē)之鑒

? ? 人類(lèi)探索無(wú)限小的歷史已經(jīng)不可細(xì)考。古印度教的勝論派主張世界由不可分割的極微組合而成；中國(guó)《莊子·雜篇》中“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)事不竭”的論斷則認(rèn)為不存在最小的不可分割的尺度；古希臘愛(ài)麗亞學(xué)派的代表人物芝諾多羅斯提出的芝諾悖論思考了時(shí)間與空間的分割和連續(xù)問(wèn)題。芝諾悖論中最為有名的阿喀琉斯悖論的主要內(nèi)容是：喀琉斯是古希臘最有名的運(yùn)動(dòng)員，他將和一只起跑時(shí)領(lǐng)先他一段路的烏龜賽跑，當(dāng)阿喀琉斯跑完起跑時(shí)二者相差的路徑時(shí)烏龜也前進(jìn)了一段距離；當(dāng)阿喀琉斯再次追完二者相差路程，烏龜就又前進(jìn)了下一段更小的距離……如此循環(huán)，阿喀琉斯只會(huì)不斷接近但卻始終追不上烏龜。

? ??阿喀琉斯的問(wèn)題引起了人們對(duì)于“空間的最小可分割尺度”的問(wèn)題的思考。十七世紀(jì)，隨著微積分的創(chuàng)立和經(jīng)典物理學(xué)的蓬勃發(fā)展，人們開(kāi)始系統(tǒng)科學(xué)地討論“最小尺度”的問(wèn)題。對(duì)于數(shù)學(xué)上無(wú)窮小是否存在、如何理解的爭(zhēng)辯逐漸有了結(jié)果。物理學(xué)的進(jìn)步也為測(cè)量手段的改進(jìn)提供了先決條件。但最小尺度問(wèn)題的真正解決，要等到現(xiàn)代量子力學(xué)的出現(xiàn)。

測(cè)不準(zhǔn)和絕對(duì)的小

? ??邁克爾·菲爾在著作《啤酒與肥皂》中稱(chēng)量子力學(xué)為“研究絕對(duì)的小的物理學(xué)”。我們知道在經(jīng)典物理學(xué)中，只要采取正確的測(cè)量手段就不會(huì)對(duì)測(cè)量對(duì)象造成影響。比如測(cè)量一輛車(chē)的位置和速度（或者說(shuō)動(dòng)量），只要用合適的器具正確測(cè)量，車(chē)的位置和速度總是確定的，不會(huì)因?yàn)槲覝y(cè)量的行為而改變。但是在量子力學(xué)的領(lǐng)域中，測(cè)量的對(duì)象是“絕對(duì)小的東西”。什么是絕對(duì)小的東西？比如要測(cè)量一個(gè)電子的位置和動(dòng)量，我們總是需要用其他的微觀粒子來(lái)碰撞這個(gè)電子，然后觀察粒子在碰撞前后的變化來(lái)判斷電子的狀態(tài)。但是對(duì)于電子這樣小的粒子來(lái)說(shuō)，要準(zhǔn)確測(cè)量位置就必須選用波長(zhǎng)足夠短的光子才能測(cè)得更為精確；而光子波長(zhǎng)越短能量越大，碰撞中對(duì)電子速度的影響也會(huì)越大，于是就無(wú)法準(zhǔn)確測(cè)量電子的動(dòng)量。如此以至于測(cè)量的動(dòng)作改變了每一個(gè)被測(cè)量的電子的狀態(tài)從而產(chǎn)生了不可忽略的偏差，這時(shí)就可以說(shuō)我們測(cè)量的對(duì)象是絕對(duì)小的東西，所做的研究也就歸屬量子力學(xué)。而所謂“不可忽略的偏差”的存在，被人們稱(chēng)為“測(cè)不準(zhǔn)原理”。

? ? 測(cè)不準(zhǔn)原理由物理學(xué)家維爾納·卡爾·海森堡在1927年的索爾維會(huì)議上正式提出，其主要內(nèi)容簡(jiǎn)而言之就是粒子的位置和動(dòng)量不可能同時(shí)確定，二者的偏差的乘積總是大于等于某個(gè)值。測(cè)不準(zhǔn)原理揭示的是物理學(xué)的內(nèi)稟屬性，并不會(huì)因?yàn)闇y(cè)量器具的改進(jìn)而改變。通過(guò)測(cè)不準(zhǔn)原理，我們也能?chē)L試?yán)斫馕锢韺W(xué)上“測(cè)量”的意義：通過(guò)觀察粒子在碰撞時(shí)產(chǎn)生的變化判斷被測(cè)物的狀態(tài)。測(cè)量的最終精度取決于所取測(cè)量粒子的性質(zhì)，始終不會(huì)超出測(cè)不準(zhǔn)原理所限定的范圍。

?小小的黑洞

? ? 測(cè)不準(zhǔn)原理為測(cè)量最小尺度做出了限制，要測(cè)得準(zhǔn)確的位置信息就必須增大測(cè)量用光子的波長(zhǎng)，或者說(shuō)能量。而這個(gè)能量的增加是有上限的，上限之一就是史瓦西半徑（另一個(gè)上限是康普頓波長(zhǎng)）。

? ? 1916年卡爾·史瓦西在研究重力場(chǎng)的時(shí)候解出了史瓦西半徑。簡(jiǎn)言之，有質(zhì)量的物體的半徑小于它的史瓦西半徑時(shí)就會(huì)變成黑洞。黑洞質(zhì)量很大光子也無(wú)法逃出。而在量子力學(xué)當(dāng)中能量與質(zhì)量在本質(zhì)上是相同的。所以當(dāng)我們測(cè)量的尺度足夠小，所用的光子波長(zhǎng)必須足夠短、能量足夠大的時(shí)候，光子與被測(cè)物碰撞所傳遞的能量可能會(huì)使被測(cè)物坍縮成一個(gè)黑洞。這時(shí)就連測(cè)量用的光子也無(wú)法逃逸，測(cè)量也就無(wú)法進(jìn)行了。通過(guò)史瓦西半徑公式，我們又得到了求出最小尺度的另一半條件。

普朗克長(zhǎng)度

? ? 由以上我們知道，測(cè)量長(zhǎng)度信息時(shí)我們選用的粒子要滿(mǎn)足測(cè)不準(zhǔn)原理和史瓦西半徑兩個(gè)條件。由這兩個(gè)條件可以列出以下公式，借助質(zhì)量M來(lái)求解。因?yàn)樗鶞y(cè)長(zhǎng)度總是要大于粒子的史瓦西半徑，所以將公式中的史瓦西半徑Rs替換為最小尺度lp，就得到了宇宙的最小可測(cè)尺度普朗克長(zhǎng)度。

? ? 因?yàn)槠绽士碎L(zhǎng)度是可以測(cè)量的最小尺度，光速是宇宙中最快的速度。最快的速度走過(guò)最小的尺度的時(shí)間也就是我們可以測(cè)量的最小的時(shí)間，即普朗克時(shí)間。一普朗克秒約為5.39×10^-44s.

? ? 要注意的是，普朗克長(zhǎng)度指的是最小的可測(cè)量長(zhǎng)度，是物理意義上有意義的最小長(zhǎng)度。假如說(shuō)：“我取普朗克長(zhǎng)度的一半，不是比普朗克長(zhǎng)度更小嗎？”這種假設(shè)在思想上是可行的，但是在實(shí)際的物理學(xué)實(shí)踐上是毫無(wú)意義的。同樣的想法的辨析可以參看筆者上一篇文章。至于在普朗克長(zhǎng)度限制之下的世界是如何運(yùn)行的，究竟是像動(dòng)畫(huà)一樣逐幀播放、時(shí)間空間同時(shí)前進(jìn)，還是粒子以最小單位先進(jìn)行空間位移再進(jìn)行時(shí)間軸的移動(dòng)，我們?nèi)匀徊坏枚?/span>

? ? 總之，追逐烏龜?shù)陌⒖α鹚宫F(xiàn)在終于可以確定地追上烏龜了，因?yàn)樗麄冎g的距離決定對(duì)不可能小于一個(gè)普朗克長(zhǎng)度；莊子的木棒也終于不能再分；現(xiàn)代物理學(xué)的極限也到此為止，普朗克長(zhǎng)度之下成為了絕對(duì)黑暗的領(lǐng)域。但是，就像當(dāng)年量子力學(xué)和相對(duì)論拆除了“已經(jīng)落成的物理學(xué)大廈”一樣，沒(méi)人有資格斷言在遙遠(yuǎn)的未來(lái)不會(huì)誕生另一種更為精確巧妙、更接近宇宙真理的科學(xué)體系。說(shuō)不定在普朗克長(zhǎng)度之下，真的是上帝所處的地方呢？

? ? 其實(shí)挺難理解的，畢竟玻爾說(shuō)過(guò)，“誰(shuí)要是不對(duì)量子力學(xué)有疑問(wèn)，誰(shuí)就不懂量子力學(xué)”。誰(shuí)也無(wú)法篤定量子力學(xué)就是揭示宇宙本質(zhì)的終極工具，也沒(méi)人敢說(shuō)普朗克長(zhǎng)度之下的世界人類(lèi)無(wú)法窺探。誰(shuí)知道在遙遠(yuǎn)的未來(lái)會(huì)發(fā)生什么呢~