Quantum Physics I, Lecture Note 4?| Quantum Physics I | Physics | MIT OpenCourseWare

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1 de Broglie wavelength and Galilean transformations?德布羅意波長和伽利略變換

我們已經(jīng)看到，對于任何具有動量p的自由粒子，我們可以關(guān)聯(lián)一個平面波，或者稱為“物質(zhì)波”，其德布羅意波長為λ = h/p，其中p = |p|。問題是，什么樣的波？嗯，這個波最終被認(rèn)為是所謂的波函數(shù)的一個例子。正如我們將會看到的，波函數(shù)受Schr?dinger方程的支配。正如我們所暗示的，波函數(shù)為我們提供了關(guān)于概率的信息，我們將會詳細(xì)發(fā)展這個想法。

? 這個波是否具有類似電磁波中電場和磁場的方向或偏振特性呢？是的，存在這樣的類比，盡管我們現(xiàn)在不會深入探討。偏振的類比對應(yīng)于自旋！在許多情況下，自旋效應(yīng)是可以忽略的（例如，小速度、無磁場），因此我們只使用一個標(biāo)量波，一個復(fù)數(shù)。

這取決于時間和空間。腦海中浮現(xiàn)出幾個顯而易見的問題。波函數(shù)是否可測量？它是什么樣的物體？它描述了什么？為了試圖對此有所直觀理解，讓我們考慮不同觀察者如何感知一個粒子的德布羅意波長，這應(yīng)該有助于我們理解我們正在談?wù)撌裁礃拥牟?。回想一下?span id="s0sssss00s" class="font-size-16">

其中k是波數(shù)。在坐標(biāo)系變換下，這個波將如何表現(xiàn)？

??因此，我們考慮兩個參考系S和S'，其中x軸和x'軸對齊，且S‘相對于S'沿著S的+x方向以恒定速度v向右移動。在時間等于零時，這兩個參考系的原點重合。

??這兩個參考系的時間和空間坐標(biāo)之間存在著伽利略變換關(guān)系，該變換關(guān)系表明：

的確，在所有伽利略參考系中，時間的流逝速度都是相同的，而x和x之間的關(guān)系可以從圖1所示的排列中清楚地看出。

現(xiàn)在假設(shè)兩個觀察者都專注于以非相對論速度運動的質(zhì)量為m的粒子。在S參考系中稱速度為v*，動量為p = mv*。通過對(1.3)中的第一個方程式關(guān)于t = t'進(jìn)行微分，可以得出以下結(jié)論：

這意味著在S’參考系中，粒子的速度v*'可以由以下方式給出：

將其乘以質(zhì)量m，我們可以得出兩個參考系中動量之間的關(guān)系。

S參考系中的動量p可能與S'參考系中的動量p'相差很大。因此，S參考系和S'參考系中的觀察者將得到相當(dāng)不同的德布羅意波長λ和λ'！實際上，

這非常奇怪！正如我們現(xiàn)在回顧的那樣，對于在介質(zhì)的靜止參考系中傳播的普通波（如聲波或水波），伽利略觀察者會發(fā)現(xiàn)頻率變化，但波長不會改變。這在直觀上是清楚的：要找到波長，只需要在某個給定的時間拍攝波的圖像，兩個觀察者觀看該圖像時將會同意波長的值。另一方面，要測量頻率，每個觀察者必須等待一段時間，以看到波經(jīng)過他們的一個完整周期。這對不同的觀察者來說需要不同的時間。

??讓我們定量地證明這些論斷。我們從這樣一個陳述開始，即波的相位φ = kx ? ωt 是伽利略不變量。波本身可以是cos φ、sin φ或一些組合，但事實是，在任何點和時間上，波的物理值必須由兩個觀察者共同認(rèn)定。波是可觀測量。由于波的所有特征（峰值、零點等等）都受相位的控制，兩個觀察者必須就相位的值達(dá)成一致。

其中V = ω/k是波速。請注意，波長可以從x的系數(shù)讀?。?pi/λ)，而ω是負(fù)的t的系數(shù)(-w)。兩個觀察者應(yīng)該就φ的值達(dá)成一致。也就是說，我們應(yīng)該有：

其中坐標(biāo)和時間由伽利略變換相聯(lián)系。因此，

由于右側(cè)是用撇號變量表示的，我們可以從x'的系數(shù)中獲取λ'，將ω’視為t'的系數(shù)的負(fù)數(shù)：

這證實了我們所聲稱的，在介質(zhì)中傳播的物理波中，波長是伽利略不變量，而頻率會發(fā)生變換。

??那么，在伽利略變換下物質(zhì)波的波長發(fā)生變化意味著什么呢？這意味著Ψ波是不能直接測量的！它們的值不對應(yīng)于一個所有伽利略觀察者必須達(dá)成一致的可測量數(shù)量。因此，波函數(shù)在伽利略變換下不必是不變的：

其中（x，t）和（x'，t'）由伽利略變換相聯(lián)系，因此表示相同的點和時間。您將在作業(yè)中找出Ψ(x, t)和Ψ'(x'，t')之間的正確關(guān)系。、

具有動量p的德布羅意波的頻率ω是多少？我們有...

這確定了波長與動量之間的關(guān)系。波的頻率ω由以下關(guān)系確定：

這也是德布羅意所假設(shè)的，并將ω與粒子的能量E相關(guān)聯(lián)。請注意，對于我們關(guān)注的非相對論粒子，能量E由動量通過以下關(guān)系確定

我們可以提供三個證據(jù)表明（1.15）是一個合理的關(guān)系。

1 如果我們將物質(zhì)波疊加在一起形成代表粒子的波包，這個波包將以所謂的群速度vg移動，實際上與粒子的速度一致。群速度是通過對ω關(guān)于k進(jìn)行微分找到的，我們將很快回顧：

2?這個關(guān)系也受到了特殊相對論的啟示。一個粒子的能量和動量分量構(gòu)成了一個四維矢量

同樣地，對于相位是相對論不變的波，我們有另一個四維矢量

將兩個四維矢量設(shè)置為相等是一種一致的選擇：它在所有洛倫茲參考系中都是有效的。正如您所看到的，德布羅意關(guān)系都可以從

3?對于光子，（1.15）與愛因斯坦的能量量子一致，因為E = hν =hω。總之，我們有...

這些被稱為德布羅意關(guān)系式，對于所有粒子都是有效的。

2 Phase and Group Velocities 相位和群速度

為了理解群速度，我們形成波包并研究它們移動的速度。為此，我們將簡單地假設(shè)ω(k)是k的某個任意函數(shù)?？紤]由平面波e^[i(kx?ω(k)t)]的疊加給出的...

我們假設(shè)函數(shù)Φ(k)在某個波數(shù)k = k0附近呈峰值，如圖2所示。

為了引導(dǎo)接下來的討論，考慮當(dāng)Φ(k)不僅在k0附近呈峰值，而且還是實數(shù)（我們將稍后放棄這個假設(shè)）的情況。在這種情況下，被積函數(shù)的相位?僅來自指數(shù)部分：

我們希望了解波包ψ(x, t)在哪些x和t取值時會變大。我們使用穩(wěn)相原理：由于只有在k ～ k0的情況下，對k的積分才有可能給出非零貢獻(xiàn)，相位因子在k = k0處必須穩(wěn)定。這個想法很簡單：如果一個函數(shù)乘以一個快速變化的相位，積分會被抹去。因此，相位在k0處必須有零導(dǎo)數(shù)。將這個想法應(yīng)用到我們的相位上，我們找到導(dǎo)數(shù)并在k0處將其設(shè)為零：

這意味著在 k0 處 ψ(x, t) 是可觀的，其中 x 和 t 有以下關(guān)系：

表明波包以群速度移動，

練習(xí)? 如果Φ(k)不是實數(shù)，寫成Φ(k) = |Φ(k)| * e^(iφ(k))。找出（2.25）的新版本，并展示波的速度沒有改變。

??現(xiàn)在讓我們進(jìn)行更詳細(xì)的計算，以確認(rèn)上述分析并提供一些額外的見解。首先注意到：

我們在k = k0附近對ω(k)進(jìn)行泰勒展開：

然后我們找到，忽略O(shè)((k - k?)2)項：

將所有與k無關(guān)的因子從積分中提取出來是方便的：

與（2.27）進(jìn)行比較，我們意識到上述表達(dá)式中的積分可以用波函數(shù)在零時刻的形式來寫：

表達(dá)式前面的相位因子在追蹤波包所在位置時并不重要。特別地，我們可以對方程兩邊取模，從而找到：

如果ψ(x, 0)在某個值x?處達(dá)到峰值，從上述方程可知|ψ(x, t)|會在以下值處達(dá)到峰值：

這表明波包的峰值隨速度vgr = dω/dk在k0處的值而移動。

3?選擇自由粒子的波函數(shù)

與能量E和動量p相關(guān)聯(lián)的粒子的波的數(shù)學(xué)形式是什么？我們知道ω和k是由E = ?ω和p = ?k確定的。假設(shè)我們希望我們的波在+x?方向傳播。以下所有內(nèi)容都是可能作為粒子波函數(shù)候選的示例。

1. sin (kx ? ωt)

2. cos (kx ? ωt)

3. e^i(kx?ωt) = e^(ikx)e^(?iωt) - time dependence e^(?iωt)

4. e^?i(kx?ωt) = e^(?ikx)e^(iωt) - time dependence e^(+iωt)

在第三和第四個選項中，我們已經(jīng)指出時間依賴性可以具有任何符號。我們將使用疊加原理來決定哪個是正確的！我們正在尋找一個在所有x值上都非零的波函數(shù)。

讓我們逐一來看一下。

從式(1)開始，我們構(gòu)建一個疊加態(tài)，其中粒子在+x和-x方向上具有相等的被發(fā)現(xiàn)運動的概率。

展開三角函數(shù)，這可以簡化為：

但這個結(jié)果是不合理的。在某些特定的時刻，波函數(shù)在所有 x 處都會恒等于零。

波函數(shù)為零的情況不能表示一個粒子。

從（2）構(gòu)建一個波函數(shù)，其中包含x左行和x右行余弦波的疊加。

這個選擇也不合適，當(dāng)ωt =?(π/2,3π/2,5π/2,…)時，它也會完全消失。

讓我們嘗試從（3）中進(jìn)行類似的指數(shù)疊加位置，兩者都具有相同的時間依賴性。

這個波函數(shù)符合我們的標(biāo)準(zhǔn)！它在所有x的值上永遠(yuǎn)不會為零，因為e^ ?iωt從未為零。

從（4）中疊加態(tài)的指數(shù)也符合我們的標(biāo)準(zhǔn)。

這在所有的x值上都不會為零。

既然選項（3）和（4）似乎都能起作用，我們問：我們是否可以同時使用（3）和（4）來表示一個向右移動（在+x?方向上）的粒子？讓我們假設(shè)我們可以。然后，由于將一個狀態(tài)加到自身上不應(yīng)改變狀態(tài)，我們可以使用（3）和（4）的和來表示向右移動的粒子。

然而，這與（2）相同，而我們已經(jīng)展示了這會導(dǎo)致困難。因此，我們必須在（3）和（4）之間進(jìn)行選擇。

這個選擇是一種慣例，所有物理學(xué)家都使用相同的慣例。我們選擇自由粒子的波函數(shù)為：

表示一個粒子的

在三維空間中，相應(yīng)的波函數(shù)將是。

表示一個粒子的