概率密度：

若存在非負(fù)可積函數(shù)?f(x), 使隨機(jī)變量X取值于任一區(qū)間 (a,?b] 的概率可表示成

則稱?X為連續(xù)型隨機(jī)變量，?f(x)為?X?的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度。

對?f(x)的進(jìn)一步理解：

X的概率密度函數(shù)f(x)在?x?這一點(diǎn)的值, 恰好是X?落在區(qū)間 [x?,?x?+△x]上的概率與區(qū)間長度△x?之比的極限。

如果把概率理解為質(zhì)量，f?(x)相當(dāng)于物理學(xué)中的線密度。

從以上分析可以得出結(jié)論：

1：概率密度是概率的變化率；

2：概率密度在一個(gè)時(shí)間段中的積分就可以得出概率。

那么，現(xiàn)實(shí)中能不能找到一個(gè)具體例子用來理解概率密度這個(gè)概念呢？

以打靶為例：

從圖4可以看出，分布函數(shù)是一個(gè)概率，那么，概率密度到底是什么呢？

我們假設(shè)，現(xiàn)在有很多人對著同一塊靶進(jìn)行射擊，每過一段時(shí)間統(tǒng)計(jì)射中了多少次，那么，這個(gè)隨著時(shí)間變化的射中的次數(shù)就是分布函數(shù)F（x）;為了與概率密度函數(shù)f（x）相對應(yīng)，我們假設(shè)每個(gè)時(shí)刻進(jìn)行射擊的人數(shù)是隨著時(shí)間的變化而變化的，從而每個(gè)時(shí)刻擊中靶的次數(shù)也是變化的，那么，這個(gè)次數(shù)就應(yīng)該相當(dāng)于概率密度函數(shù)f（x）。由此可以看出，一段時(shí)間內(nèi)，總的射中次數(shù),也就是概率F(x)，是和這段時(shí)間內(nèi)每個(gè)時(shí)刻的射中次數(shù)，也就是概率密度函數(shù)f（x）有關(guān)的。

上面的例子還說明，F(xiàn)（x）本來是用來表示概率的，是一種不確定性事件，但在這個(gè)例子里面，它卻具有了某種確定性的性質(zhì)：它會(huì)隨著時(shí)間的增加而增加（對f(t)積分）。比如，經(jīng)過一段時(shí)間以后，F(xiàn)（x）=0.8，那就表示隨著一段時(shí)間內(nèi)不同的人數(shù)進(jìn)行射擊以后，假設(shè)總共射擊了1萬次，其中射中了8000次。

同時(shí)，因?yàn)楦怕拭芏群瘮?shù)必須滿足條件

這就意味著，每個(gè)射擊者，其射擊的命中率不能為0，要不然上圖的積分永遠(yuǎn)也不會(huì)為1；而且這個(gè)命中率也不是f(x),因?yàn)閒(x)表示的是某個(gè)時(shí)刻射中的次數(shù)；也不是F（x），因?yàn)镕（x）表示的是一段時(shí)間內(nèi)所有進(jìn)行射擊的人員總的命中率。因此，我們只能認(rèn)為，進(jìn)行射擊的每一個(gè)人都有一個(gè)我們不知道的命中率，而且這個(gè)命中率應(yīng)該相同，因?yàn)閒(x)只能表示某個(gè)時(shí)刻所有人變化的射中次數(shù)，無法再表示每個(gè)人變化的命中率。

從上述分析可以看出，因?yàn)槊總€(gè)人的每次射擊可以看作是一次隨機(jī)試驗(yàn)，因此

概率密度函數(shù)f（x）似乎可以認(rèn)為是進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)的次數(shù)，這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)是有一個(gè)出現(xiàn)目標(biāo)樣本的概率的。

因?yàn)楦怕拭芏群瘮?shù)是對于連續(xù)型隨機(jī)變量來說的，為了模擬這個(gè)實(shí)數(shù)，我們可以假設(shè)那塊目標(biāo)靶位于銀河系的中心，所有參加射擊的人可以在太空中任何位置站立，以一個(gè)相同的命中率對著目標(biāo)靶進(jìn)行射擊，并且那些人數(shù)隨時(shí)間變化而變化。因?yàn)榭臻g的無限性導(dǎo)致人數(shù)可以無限，這樣大概就相當(dāng)于連續(xù)的實(shí)數(shù)了。

f(x)能不能認(rèn)為是同一個(gè)人在進(jìn)行射擊，但這個(gè)人的命中率是隨著時(shí)間而變化的，也就是f(x)?從而F(x)表示的是這個(gè)人射擊了一段時(shí)間以后的總的命中率？似乎也是可以的，但我們知道，概率不能大于1，但概率密度可以無窮大（對應(yīng)積分區(qū)間無窮?。腋怕适且粋€(gè)測度，也就是這個(gè)命中率 f(x) 是包括有理數(shù)和無理數(shù)的，但命中率似乎只能是一個(gè)有理數(shù)。前面例子中的人數(shù)似乎也是有理數(shù)，但由于空間的無限性，似乎我們可以認(rèn)為這個(gè)人數(shù)可以包括無理數(shù)，因?yàn)槟硞€(gè)時(shí)刻的人數(shù)可能沒人算得清。

至于圖3中最后一句話是什么意思，本人不理解，歡迎討論。