歐幾里得45、元、素、元素，數(shù)學符號和語言的關(guān)系，人類對“簡潔”的喜愛

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【戴德金分割】

假設(shè)給定某種方法，把所有的有理數(shù)分為兩個集合，A和B。A中的每一個元素都小于B中的每一個元素。任何一種分類方法稱為有理數(shù)的一個分割。

…戴德金：德國數(shù)學家。見《歐幾里得35》…

…集、合、集合：見《歐幾里得31》…

…元：“元”在商代金文中寫作圖1。圖1的金文實際上就是一個側(cè)立的人形而突出強調(diào)其頭部。它與甲骨文、金文的“人”字構(gòu)形區(qū)別就在于突出代表頭部的填實的圓點。它與金文的“天”字構(gòu)形相似，所不同的是，“天”是正面而立的人形而突出強調(diào)其頭部，以示其最高處。“元”與“天”二字的構(gòu)形，僅僅是依靠人形正面而立與側(cè)面而立的不同來分別指人的頭部（首）與人的頭頂（頂），這恐怕就只是一種習慣或者說“約定俗成”了。“元”的甲骨文寫作圖2、3，表示人的頭部的圓實點虛化為一橫，西周金文就甲骨文之形寫成圖4?！霸弊值倪@種字形演變，與“天”字是一致的。至于后來，再上加一橫，特指其頭部所在，便是甲骨文、金文常見的各種“元”形了。再加一橫之后的便成了“元”的基本結(jié)構(gòu)，一直沿用至今，隸（lì）變時只是將側(cè)立的人形變成“兒”而已。未加一橫的字形隸變后就成“?！保c“元”分立為二字。

始見于商代甲骨文及商代金文，其古字形像頭部突出的側(cè)立的人形，本義即人頭。頭位居人體最高處，而且功能非常重要，因此引申表示首要的、第一的。也用來表示天地萬物的本源，含有根本的意思?！霸弊鳛轭^的用法后來逐漸被“首”取代，“元”在語言使用當中更多的是使用它的引申義。此外，在現(xiàn)代漢語里，“元”還作為貨幣單位使用，它是人民幣的基本單位之一?！霸币彩侵袊糯某?/p>

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會意。從一，從兀。甲骨文字形。象人形。上面一橫指明頭的部位。上一短橫是后加上去的，依漢字造字規(guī)律，頂端是一橫的，其上可加一短橫。本義：頭…

（…會：理解；懂得：體～。誤～。心領(lǐng)神～。只可意～，不可言傳…

…意：意思：來～…

…會意：造字法之一。會意是說字的整體的意義由部分的意義合成，如“信”字。“人言為信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人說的話有信用…）

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…素：見《歐幾里得24》…

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…元素：代數(shù)中，指組成聯(lián)合的各個部分，如723和312中的7，2，3，1。

幾何中，指構(gòu)成圖形的各個部分，如構(gòu)成三角形的邊和角。

化學上指具有相同核電荷數(shù)（即相同質(zhì)子數(shù)）的同一類原子的總稱，如氧元素、鐵元素。

現(xiàn)代數(shù)學集合論中，元素是組成集的每個對象。集合由元素組成，組成集合的每個對象也稱為元素…

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“集合由元素組成，如集合{1，2，3}中，1、2、3都是集合的一個元素?！敝袑W生說。

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…A中的每一個元素都小于B中的每一個元素：？？？…

“A中的元素可以用a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7…表示，B中的元素可以用b1、b2、b3、b4、b5、b6、b7…表示，”中學生說，“‘A中的每一個元素都小于B中的每一個元素’指的是，在‘a(chǎn)1、a2、a3、a4、a5、a6、a7…’這些元素中，隨便挑一個元素，讓它和B中的元素去比較，它必須小于B中的元素?！?/p>

“這里，‘B中的元素’，也是隨便挑的?！敝袑W生最后說。

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【戴德金分割】2

對于任一分割，必有3種可能，其中有且只有1種成立。

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【戴德金分割】3

分割的3種可能：

第1種：A有一個最大元素a，B沒有最小元素。例如A是所有≤1的有理數(shù)，B是所有>1的有理數(shù)。

“‘A有一個最大元素a’，怎么理解呢？”中學生接著說。

“‘最大’的英語單詞是‘maximum’，”中學生繼續(xù)說，“數(shù)學家為了簡潔的表示‘最大’，常用‘max’…”

（“‘max’這個符號，就來源于英語單詞‘maximum’?！敝袑W生說。）

“‘A有一個最大元素a’，可以寫作a（max）。”中學生最后說。

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“a（max）的寫法是我發(fā)明的，”中學生說，“按說應該寫的a大一點，max小一點。但是這樣的話，發(fā)到網(wǎng)上就會變成‘a(chǎn)max’。”

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“由于發(fā)明數(shù)學符號的人常用英語，所以他們用英文單詞簡潔的表達數(shù)學知識，”另一位中學生說，“我們作為漢藏語系的人，將來要是有出息了，可以發(fā)明一些漢語符號，簡潔的表示自然科學中，新發(fā)現(xiàn)的知識、規(guī)律?！?/p>

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“即便我們發(fā)現(xiàn)新知識了，我們很可能還是用英文字母表示它們，”又一位中學生說，“因為英文字母更簡潔?！?/p>

“人類都在用阿拉伯數(shù)字，而不是自己語言中的數(shù)字，也是這個道理?！敝袑W生接著說。

…

“人類喜歡簡潔?！敝袑W生最后說。

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“A有一個最大元素a，這個‘最大元素a’，可以寫作‘a(chǎn)（max）’，”第一位中學生說，“B沒有最小元素…”

“就是說，集合A包含a（max）及所有小于a（max）的有理數(shù)，集合B包含所有大于a（max）的有理數(shù)，”中學生接著說，“例如A是所有≤1的有理數(shù)，B是所有>1的有理數(shù)?！?/p>

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““這里我們發(fā)散一下思維（讓思維自由飛翔一下）：比1稍大的有理數(shù)，可以寫作‘1.000…1’，”中學生說，“這樣的話，有理數(shù)就可以分為兩個集合：≤1的有理數(shù)和≥‘1.000…1’的有理數(shù)?！?/p>

請看下集《歐幾里得46、戴德金分割》”

若不知曉歷史，便看不清未來

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