『數(shù)學』幾何例題精講1("12345"模型)
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上期傳送門:『數(shù)學』二次函數(shù)難題精講3
『幾何』系列傳送門:
第一期:幾何難題精講1(隱圓)
第二期:幾何難題精講2(瓜豆＆胡不歸)
第三期:幾何例題精講1("12345"模型)(你現(xiàn)在所在的位置)
讀前須知:
? ? ? ? 這周好像雙更了誒!
? ? ? ? 本期專欄建議備戰(zhàn)中考的同學們觀看.
正文:
? ? ? ? 別問我這周為什么兩更,問就是以后因為學業(yè)原因可能更新不了了,想現(xiàn)在先把想更新的給更了,免得以后不想更新它了(悲.
一.例題
? ? ? ? 那就來看看這一期的題吧.
例.在Rt△ABC中,AC=BC,∠CB=90°,D為BC上一點.
? ? ? ? (1)如圖1,過點C作于點E,連接AD,DE.若AD平分∠BAC,CD=2,求DE的長;
? ? ? ??(2)如圖2,以CD為直角邊,點C為直角頂點,向右作等腰Rt△DCM,將△DCM繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α°(0<α<45),連接AM,BD,取線段AM的中點N,連接CN.求證:BD=2CN;
? ? ? ??(3)如圖3,點E,F在邊AB上,連接CE,CF,且CE=CF,點D為BC的中點,連接DE,交CF于點P.將△BDE沿著DE翻折,點B的對應點為點G,連接CG.若CE=DE,,請直接寫出△CEG的面積.
? ? ? ? 說實話,(1,2)問確實不難.
? ? ? ? 像幾何壓軸的話(3)問才是含金量最高的.
? ? ? ? ? 那么你們再看看題,如果要去學"12345"模型的同學們的話就直接跳過講解去學習吧.
二.講解
? ? ? ? (1)問的話,我們一看到角平分線就想到作垂線,有角平分線上的點到角兩邊的距離相等.
? ? ? ? 那我們就過D作于F.如圖4:
? ? ? ? 易得CD=DF=2,則FB=2,.
? ? ? ? 由于,可得
.
? ? ? ? 由勾股定理,可得.
? ? ? ? (2)問感覺有點考爛了,做題都遇到幾次這種樣子的題了(惱.
? ? ? ? 如圖5,延長AC至E,使CE=AC,連接EM.
? ? ? ? 根據(jù)"手拉手"模型可知,可得DB=ME.
? ? ? ? 根據(jù)C,N分別是AE,AM中點,可得CN為△AEM的中位線,那么就有DB=2CN.
? ? ? ? 而(3)問,如果你知道"12345"模型的話,會對作這題有一定的幫助,不然我考試的時候也做不完這個題了(確實.
? ? ? ? 根據(jù)翻折,有CD=BD=GD,這一看就應該把BG給連起來,這樣我們就可以得到一個Rt△了.
? ? ? ? 而B,G正好又是翻折的對應點,所以我們把ED延長出去交BG于H,就有∠EHG=∠CGB=90°了,這不就證明到CG平行于EH了嗎?如圖6
? ? ? ? 這樣一來呢,就有S△CEG=S△CDG=?S△CGB了.換言之,現(xiàn)在我們我們的目標就是解直角三角形CGB力.
? ? ? ? ?要解直角三角形呢,我們至少要知道一邊和一個角是某一個三角函數(shù)值,對吧?那么接下來我們就從三角函數(shù)的思路來解決這個幾何題.
? ? ? ? ?這里我們連接AD,作于Q,
于S,
于T.如圖7:
? ? ? ? 在這個題里,F和T正好重合了(嚴格來說,就是同一個點),所以這里就在F后打個括號,代表這里也是T點.
? ? ? ? 不妨設(shè)AC=4a,則CD=BD=2a,CH=DH=a,記HB=HE=3a.
? ? ? ? 易得tan∠CAD=tanα=?,tan∠HEC=tan∠HED=tanβ=?.
? ? ? ? 因為,則tan∠TAD=?.
? ? ? ? 這樣我們就可以得到α+β=45°的結(jié)論.
? ? ? ? 可得∠PEF=α,∠PFE=α+2β=45°+β.可以推出∠EPF=90°,可得CF平行于BG,可得∠CGB=β.
? ? ? ? 那么.
? ? ? ? 又可得,可推出BC=4.
? ? ? ? 那么.
? ? ? ? 所以S△CGB=,可得S△CEG=
.
? ? ? ? 這里我補充一下角的標注,方便復盤(密集恐懼癥應該不會怕吧).如圖8:
? ? ? ? 那么這個題就講到這里為止.
三.方法講解:"12345"模型
? ? ? ? 所謂"12345"模型,就是指"若tanα=?,tanβ=?,則有α+β=45°"的命題成立.
? ? ? ? 那么該怎么證明呢?其實剛剛的題目已經(jīng)證明過了,但我這個證明可以順便證明一些推論.
??? ? ? 如圖9,有.且有2α+2β=90°,即α+β=45°.
? ? ? ? 而90°-α=45°+β,90°-β=45°+α,又根據(jù)則可得tan(45°+β)=2,tan(45°+α)=3.
? ? ? ? 這些結(jié)論同學們可以記一下,萬一哪些題就可以用呢?對吧,這樣你也正好撿了個漏,完全不虧o(￣▽￣)ｄ.
? ? ? ? 這期就不給下一期的題目的,也不知道下一期什么時候更新,就別說下期寫什么了(悲.
后記
? ? ? ? 看在up主在這周給你們更新兩個作品的份上,那個東西可以給一個吧?
? ? ? ? 也許這應該是現(xiàn)階段的最后一次更新了吧(悲,但我還是盡力抽時間給你們更新.
? ? ? ? 工程鏈接:
? ? (1,2)問:?https://www.desmos.com/geometry/aowk1rnsqh?lang=zh-CN ;
? ? (3)問:?https://www.desmos.com/geometry/votqaulc7l?lang=zh-CN .
? ? ? ? 那我們有緣下一期專欄再見咯,ヾ(￣▽￣)Bye~Bye~.
