【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會(huì)”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個(gè)世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊(cè)的基礎(chǔ)上又添加了1冊(cè)八五人教中學(xué)甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊(cè)、幾何5冊(cè)實(shí)在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認(rèn)為《微積分初步》這本書對(duì)“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個(gè)寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識(shí)，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個(gè)措手不及。

第六章比和比例?

§6-7成正比例的量

【】在算術(shù)里，我們學(xué)習(xí)過成正比例的量。現(xiàn)在我們來復(fù)習(xí)一下。

【】成正比例的量：兩種相關(guān)聯(lián)的量，在其他條件不變的時(shí)候，如果其中的一種量擴(kuò)大幾倍，另一種量也擴(kuò)大相同的倍數(shù)，一種量縮小幾倍，另一種量也縮小相同的倍數(shù)，那么這兩種量就叫做成正比例，它們之間的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。

例1.汽車 2 小時(shí)行 72 公里，用同樣的速度行 6 小時(shí)，可以行多少公里？如果要行 288 公里，需要多少小時(shí)？

【解】這里有兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種是時(shí)間，另一種是路程。這里有一個(gè)不變的條件，就是同樣的速度。

????????我們現(xiàn)在把三次行路的兩種量的數(shù)值，列表如下（要求的未知量，分別用字母心與則來表示）：

????????同一次里兩種量的數(shù)值，叫做一組對(duì)應(yīng)的值，例如 2 和 72，6 和 x，y 和 288，都是對(duì)應(yīng)值。

????????我們知道，如果速度不變，那么時(shí)間和路程這兩種量是成正比例的量，即第一種量擴(kuò)大或縮小幾倍，第二種量也擴(kuò)大或縮小同樣的倍數(shù)。

????????(1)拿時(shí)間來說，第二次對(duì)第二次擴(kuò)大的倍數(shù)是 6:2? 。拿路程來說，第二次對(duì)第一次擴(kuò)大的倍數(shù)是 x:72? 。因?yàn)楸稊?shù)相等，得比例 6:2＝x:72? 。

????????解比例，2x＝6×72，x＝6×72÷2，x＝216? 。

????????答：汽車在 6 小時(shí)內(nèi)行路 216 公里。

????????(2)拿時(shí)間來說，第三次對(duì)第一次擴(kuò)大的倍數(shù)是 y:2? 。拿路程來說，第三次對(duì)第一次擴(kuò)大的倍數(shù)是 288:72? 。因?yàn)楸稊?shù)相等，得比例 y:2＝288:72? 。

????????解比例，72y＝2×288，y＝2×288÷72，y＝8? 。

答：汽車行 288 公里需要 8 小時(shí)。

【注意】在判定成正比例的量時(shí)，必須注意兩點(diǎn)：

????????(1)其他條件不變。如在這里必須速度不變.如果速度有變化，那末時(shí)間和路程就不是成正比例的量了。

????????(2)倍數(shù)相同。如果只知道一種量擴(kuò)大時(shí)另一種量也擴(kuò)大，而倍數(shù)不同，那末這兩種量也不是成正比例的量。

【】因?yàn)閮蓚€(gè)同類的量的倍數(shù)就是它們的比，所以我們對(duì)成正比例的量，也可以作這樣的敘述：

【】兩種相關(guān)聯(lián)的量，在其他條件不變的時(shí)候，如果一種量的任意兩個(gè)數(shù)值的比總等于另一種量的兩個(gè)對(duì)應(yīng)的數(shù)值的比，那么這兩種量就叫做成正比例的量。

【】如果我們把一種量的一些數(shù)值用字母 a?，a?，a?…來表示，把另一種量的對(duì)應(yīng)的數(shù)值用字母?b?，b?，b?…來表示，如下表：

【注】a?，a?，a?…；b?，b?，b?…都表示不同的數(shù)。

【】那么如果這兩種量成正比例關(guān)系，就有比例：a?:a?＝b?:b?，a?:a?＝b?:b?，…。

【】現(xiàn)在我們?cè)賮砜纯催@些量里有負(fù)值時(shí)的情況。

例2.在東西向的公路上，甲、乙、丙、丁四人同時(shí)經(jīng)過一車站，甲、乙分別以每小時(shí) 9 公里和 12 公里的速度向東，丙以每小時(shí) 18 公里的速度向西。當(dāng)甲到達(dá)這個(gè)車站以東 30 公里的時(shí)候，乙和丙各到達(dá)了哪里？如果這時(shí)丁到達(dá)了車站以西 20 公里處，丁的速度和方向怎樣？

【解】我們把向東方向作為正方向，那末速度和路程，都以向東的取正值，向西的取負(fù)值。把這四個(gè)人的速度和路程，列表如下（未知的量分別用字母 x，y，z 表示）：

????????如果時(shí)間不變，那末速度和路程這兩種量是成正比例的量，即這兩種量的對(duì)應(yīng)值之間的比應(yīng)該相等。得比例：(1) 9:12＝30:x，(2) 9:(－18)＝30:y，(3) 9:8＝30:(－20)? 。

????????解這些比例：

????????(1) 9x＝12×30，x＝12×30÷9＝40；

????????(2) 9y＝－18×30，y＝－18×30÷9＝－60；

????????(3) 30z＝9×(－20)，z＝9×(－20)÷30＝－6? 。

答：乙這時(shí)在車站東面40公里處，丙這時(shí)在車站西面60公里處，丁的速度是向西每小時(shí)6公里。

【注】在算術(shù)里，我們說的倍數(shù)關(guān)系總只講正數(shù)倍數(shù)，在代數(shù)里，我們也講負(fù)數(shù)倍數(shù)，如 9 是－18 的倍，－18 是 9 的－2倍。