如何用數(shù)學(xué)歸納法解決2023北京高考數(shù)學(xué)壓軸？

2023-06-30 00:18 作者:UTF-0_ 0人讀過 | 我要投稿

第三問的等價(jià)形式：

當(dāng)? $m%3D1$ ?時(shí)，顯然成立

假設(shè)當(dāng)? $m%3Dk-1$ ?時(shí)成立

則當(dāng)? $m%3Dk$ ?時(shí)：

若? $a_%7Bn%7D%2C%20b_%7Bn%7D$ ?中都有? $k$ ?，則只取兩個(gè)? $k$ ?即可

若? $b_%7Bn%7D$ ?中沒有? $k$ ? ，設(shè)? $a_%7Bn%7D$ ?中? $k$ ?的個(gè)為? $f$ ?

當(dāng)? $f%3D0$ ?時(shí)，由于? $b_%7Bn%7D$ ?中也沒有? $k$ ?，于是取子數(shù)列可退化到? $k-1$ ?時(shí)的情形，顯然成立

假設(shè)當(dāng)? $f%3Dw-1$ ?時(shí)成立，此時(shí)

$%5Cleft%5C%7B%20a_%7Bn%7D%20%5Cright%5C%7D%20%3Da_%7B1%7D%2Ca_%7B2%7D%2C...%2Ca_%7Bp%7D%2C...%2Ca_%7Bq%7D%2C...%2Ca_%7Bk%7D$

$%5Cleft%5C%7B%20b_%7Bn%7D%20%5Cright%5C%7D%20%3Db_%7B1%7D%2Cb_%7B2%7D%2C...%2Cb_%7Bs%7D%2C...%2Cb_%7Bt%7D%2C...%2Cb_%7Bk%7D$

則當(dāng)? $f%3Dw$ ?時(shí)：

考慮將? $%5Cleft%5C%7B%20a_%7Bn%7D%20%5Cright%5C%7D$ ?中的某一項(xiàng)? $a_%7Br%7D$ ?換為? $k$ ?

若? $r%5Cnotin%20%5Bp%2Cq%5D$ ?，則顯然成立

若? $r%5Cin%20%5Bp%2Cq%5D$ ?，則將? $%5Cleft%5C%7B%20a_%7Bn%7D%20%5Cright%5C%7D%20%3Da_%7B1%7D%2Ca_%7B2%7D%2C...%2Ca_%7Bp%7D%2C...%2Ca_%7Br%7D...%2Ca_%7Bq%7D%2C...%2Ca_%7Bk%7D$

中的? $a_%7Br%7D$ ?換為? $k$ ?后，“? $a$ 和”? $%5Csum_%7Bi%3Dp%7D%5Eqa_%7Bi%7D%20$ 增大了? $k-a_%7Br%7D%5Cin%20%5Cleft%5C%7B%201%2C2%2C...%2Ck-1%20%5Cright%5C%7D%20$ ?

若? $%5Cleft%5C%7B%20b_%7Bn%7D%20%5Cright%5C%7D$ ?不取“? $b$ ?所有和”? $%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ekb_%7Bi%7D%20$ ?，則再向前或向后取一項(xiàng)，此時(shí)“? $b$ ?和”增大了? $u%2Cu%5Cin%20%5Cleft%5C%7B%201%2C2%2C...%2Ck-1%20%5Cright%5C%7D%20$ ?

取? $a_%7Br%7D%3Dk-u%5Cin%20%5Cleft%5C%7B%201%2C2%2C...%2Ck-1%20%5Cright%5C%7D%20$ ?，成立

若? $%5Cleft%5C%7B%20b_%7Bn%7D%20%5Cright%5C%7D$ ?取“? $b$ ?所有和”，因?yàn)? $a_%7Br%7D%5Cleq%20m-1%3Cm%5Cleq%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Ekb_%7Bi%7D%20$ ?，所以“? $a$ ?和”至少是兩項(xiàng)的和，