運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：每個(gè)大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和

崔坤

中國(guó)青島即墨，266200，E-mail:cwkzq@126.com

摘要:

數(shù)學(xué)家劉建亞在《哥德巴赫猜想與潘承洞》中說(shuō)：“我們可以把這個(gè)問(wèn)題反過(guò)來(lái)思考, 已知奇數(shù)N可以表成三個(gè)素?cái)?shù)之和， 假如又能證明

這三個(gè)素?cái)?shù)中有一個(gè)非常小，譬如說(shuō)第一個(gè)素?cái)?shù)可以總?cè)?， 那么我們也就證明了偶數(shù)的哥德巴赫猜想?！保?/span>

直到2013年才有秘魯數(shù)學(xué)家哈羅德賀歐夫格特徹底證明了三素?cái)?shù)定理。

關(guān)鍵詞:三素?cái)?shù)定理，奇素?cái)?shù)，加法交換律結(jié)合律

中圖分類號(hào)：O156 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

Mathematical induction proves that every odd number greater than or equal to 9 is the sum of 3 + two odd prime numbers

abstract：Mathematician Liu Jianya said in "Goldbach Conjecture and Pan Chengdong": "We can think about this problem in

reverse. Knowing that the odd number N can be expressed as the sum of three prime numbers, if it can be proved that one of

the three prime numbers is very Small, for example, the first prime number can always be 3, then we have proved

Goldbach’s conjecture for even numbers.” It was not until 2013 that Peruvian mathematician Harold Hoofgert completely

proved the three prime number theorem.

keywords：Triple Prime Theorem, Odd Prime Numbers, Commutative Law of Addition, Associative Law

證明：

根據(jù)2013年秘魯數(shù)學(xué)家哈羅德·賀歐夫格特已經(jīng)徹底地證明了的三素?cái)?shù)定理：

每個(gè)大于等于9的奇數(shù)都是三個(gè)奇素?cái)?shù)之和，每個(gè)奇素?cái)?shù)都可以重復(fù)使用。

它用下列公式表示：Q是每個(gè)≥9的奇數(shù)，奇素?cái)?shù)：q1≥3，q2≥3，q3≥3，

則Q=q1+q2+q3 根據(jù)加法交換律結(jié)合律，不妨設(shè)：q1≥q2≥q3≥3，

則Q-3=q1+q2+q3-3 顯見(jiàn)：有且僅有q3=3時(shí)，Q-3=q1+q2，

否則，奇數(shù)9，11，13都是三素?cái)?shù)定理的反例。

即每個(gè)大于等于6的偶數(shù)都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和

推論Q=3+q1+q2，即每個(gè)大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。

我們運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法做如下證明：

給出首項(xiàng)為9，公差為2的等差數(shù)列：Qn=7+2n：{9,11,13,15,17,.....}

Q1= 9

Q2= 11

Q3= 13

Q4= 15

.......

Qn=7+2n=3+q1+q2,(其中奇素?cái)?shù)q1≥q2≥3，奇數(shù)Qn≥9，n為正整數(shù)）

數(shù)學(xué)歸納法：

第一步：當(dāng)n=1時(shí) ，Q1=9 時(shí) ，Q1=9=3+q1+q2=3+3+3成立

第二步：假設(shè) ：n=k時(shí)，Qk=3+qk1+qk2，奇素?cái)?shù)：qk1≥3，qk2≥3,成立。

第三步：當(dāng)n=k+1時(shí),Q（k+1）=Qk+2=3+qk1+qk2+2=5+qk1+qk2

即：Qk+2=Q（k+1）=5+qk1+qk2

即每個(gè)大于等于11的奇數(shù)都是5+兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和，

從而每個(gè)大于等于6的偶數(shù)都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。

而這個(gè)結(jié)論與“每個(gè)大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和”是等價(jià)的

即：Qk+2=3+qk1+qk2+2=5+qk1+qk2=3+qk3+qk4,奇素?cái)?shù)：qk3≥3，qk4≥3

故：Qk+2=3+qk3+qk4,奇素?cái)?shù)：qk3≥3，qk4≥3

綜上所述，對(duì)于任意正整數(shù)n命題均成立，

即：每個(gè)大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和

同時(shí)，每個(gè)大于等于11的奇數(shù)Q=3+p1+p2=5+p3+p4,(p1,p2,p3,p4均為奇素?cái)?shù)）

結(jié)論：每個(gè)大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和，

Q=3+q1+q2，（奇素?cái)?shù)q1≥q2≥3，奇數(shù)Q≥9）

參考文獻(xiàn)：

[1]Major Arcs for Goldbach's Theorem. Arxiv [Reference date 2013-12-18]

[2] Minor arcs for Goldbach's problem．Arxiv [Reference date 2013-12-18]

r2(N)≥[N/(lnN)^2]的推導(dǎo)：

根據(jù)雙篩法及素?cái)?shù)定理可進(jìn)一步推得：

r2（N）=（N/2)∏mr≥[ N/(lnN)^2 ]≥1

對(duì)于共軛互逆數(shù)列A、B:

A:｛1,3,5,7,9,……,（N-1）｝

B:｛（N-1）,……,9,7,5,3,1｝

顯然N=A+B

根據(jù)埃氏篩法獲得奇素?cái)?shù)集合{Pr}：｛1，3，5，…，Pr｝,Pr<√N(yùn)、

為了獲得偶數(shù)N的(1+1)表法數(shù)，按照雙篩法進(jìn)行分步操作：

第1步：將互逆數(shù)列用3雙篩后得到真實(shí)剩余比m1

第2步：將余下的互逆數(shù)列再用5雙篩后得到真實(shí)剩余比m2

第3步：將余下的互逆數(shù)列再用7雙篩后得到真實(shí)剩余比m3

…

依次類推到：

第r步：將余下的互逆數(shù)列再用Pr雙篩后得到真實(shí)剩余比mr

這樣就完成了對(duì)偶數(shù)N的求雙篩法（1+1）表法數(shù)，根據(jù)乘法原理有：

r2(N)=（N/2）*m1*m2*m3*…*mr

即r2(N)=(N/2)∏mr

分析雙篩法r2(N)的下限值：

雙篩法本質(zhì)上：

第一步:先對(duì)A數(shù)列篩選，根據(jù)素?cái)?shù)定理，A中至少有[N/lnN ]≥1個(gè)奇素?cái)?shù)，

即此時(shí)的共軛互逆數(shù)列AB中至少有[ N/lnN ]個(gè)奇素?cái)?shù)

第二步:再對(duì)B數(shù)列進(jìn)行篩選，篩子是相同的 1/lnN ，

則根據(jù)乘法原理由此推得共軛數(shù)列AB中至少有:r2(N)≥[N/(lnN)^2]≥1個(gè)奇素?cái)?shù)

這里是邏輯分析給出的：r2(N)≥[N/(lnN)^2]

【解析】

第一步：得出真值公式：r2(N)=（N/2）*m1*m2*m3*…*mr

第二步：對(duì)真值公式進(jìn)行邏輯分析得到：r2(N)≥[N/(lnN)^2]