數(shù)學(xué)派每日一題-3.23

2023-03-24 00:00 作者:ulsmallzhou 0人讀過 | 我要投稿

題目一如下圖：

解析：

本題考查的是復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，共軛與模。

由 $z%3D1%2Bi$ 可知 $%5Coverline%7Bz%7D%3D1-i$ ，進(jìn)而

$iz%2B3%5Coverline%7Bz%7D%3Di(1%2Bi)%2B3(1-i)%3Di-1%2B3-3i%3D2-2i$

于是

$%7C2-2i%7C%3D%5Csqrt%7B2%5E2%2B(-2)%5E2%7D%3D2%5Csqrt%7B2%7D%5Capprox2.828$ 即為所求。注意題目要求，保留兩位小數(shù)到 $2.83$ 。

題目二如下圖：

解析：

本題需要一些較為復(fù)雜的換元技巧。

首先，我們大致估計(jì)一下 $a_n$ 的范圍，保證后續(xù)換元的合理性（比如這里限定了 $a_n%5Cleq0$ ，如果你令 $a_n%3Db_n%5E2%2B1$ 那肯定是不合適的）。為了讓遞推式中的根號(hào)總是有意義的，我們可以得到一個(gè)粗略的范圍 $-2%5Cleq%20a_n%5Cleq0$ 。

然后，為了簡化遞推式中的常數(shù)，我們可以先令 $a_n%3D2r_n$ ，代入化簡后遞推式變成了 $%5Cfrac%7B2(r_%7Bn%2B1%7D%2B2)%5Csqrt%7Br_%7Bn%2B1%7D%2B1%7D%7D%7Br_%7Bn%2B1%7D%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B(r_n%2B1)(r_n%2B2)%7D$ ，其中 $-1%5Cleq%20r_n%5Cleq0$ ，稍微好看了一點(diǎn)。

接下來，我們的思路是消掉根號(hào)。一個(gè)最簡單的想法是：如果通過某種換元，使得 $r_n%2B1%3D(f(x_n))%5E2%2Cr_n%2B2%3D(g(x_n))%5E2$ ，而且這里的 $f%2Cg$ 不再出現(xiàn)根號(hào)，那簡直再好不過了。此時(shí)，有 $(f(x_n))%5E2%2B1%3D(g(x_n))%5E2$ ，根據(jù)這個(gè)等式，可以選擇的換元有三角函數(shù)換元（ $%5Ctan%5E2%7Bx%7D%2B1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos%5E2%7Bx%7D%7D$ ）以及雙曲函數(shù)換元（ $%5Csinh%5E2%7Bx%7D%2B1%3D%5Ccosh%5E2%7Bx%7D$ ）。根據(jù)上面的范圍約束，我們可以知道 $0%5Cleq%20r_n%2B1%5Cleq1%2C1%5Cleq%20r_n%2B2%5Cleq2$ ，所以上面的兩個(gè)換元都是可以的。

我們先試試三角函數(shù)換元，因?yàn)槲覀儗?duì)三角函數(shù)比雙曲函數(shù)要熟悉一些，當(dāng)然如果行不通的話也可以去試試雙曲換元。令 $r_n%2B1%3D%5Ctan%5E2%7Bx_n%7D$ （方便起見，令 $0%5Cleq%20x_n%3C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D$ ），則上述遞推式可化為

$%5Cfrac%7B2%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos%5E2%7Bx_%7Bn%2B1%7D%7D%7D%5Ctan%7Bx_%7Bn%2B1%7D%7D%7D%7B(%5Ctan%5E2%7Bx_%7Bn%2B1%7D-1%7D)%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B%5Ctan%7Bx_%7Bn%7D%7D%7D%7B%5Ccos%7Bx_%7Bn%7D%7D%7D$ ，即 $%5Cfrac%7B%5Csin%7B(2x_%7Bn%2B1%7D)%7D%7D%7B%5Ccos%5E2%7B(2x_%7Bn%2B1%7D)%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csin%7Bx_n%7D%7D%7B%5Ccos%5E2%7Bx_n%7D%7D$ 。

我們可以看到，左右兩側(cè)出現(xiàn)了 $f(2x_%7Bn%2B1%7D)%3Df(x_n)$ 的構(gòu)造，我們期望有 $2x_%7Bn%2B1%7D%3Dx_n$ 。而顯然 $f(t)%3D%5Cfrac%7B%5Csin%20x%7D%7B%5Ccos%5E2%20x%7D$ 在區(qū)間 $%5B0%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D)$ 上是單調(diào)遞增的，所以由 $f(2x_%7Bn%2B1%7D)%3Df(x_n)$ 我們確實(shí)可以得到 $2x_%7Bn%2B1%7D%3Dx_n$ 。

接下來就是計(jì)算。首先由 $a_1%3D0$ 可以知道 $x_1%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D$ ，因此 $x_9%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5E8%7Dx_1%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%5E%7B10%7D%7D$ ，進(jìn)而 $a_9%3D2r_9%3D2(%5Ctan%5E2%7Bx_9%7D-1)%3D2(%5Ctan%5E2%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%5E%7B10%7D%7D%7D-1)%5Capprox-1.999981175$ ，取絕對(duì)值并截取小數(shù)點(diǎn)后7位即1.9999811。