前言：和往年的大富翁相比，雖然印章收集的本質(zhì)也是一樣，靠花心獲得額外道具賺pt，但印章收集不論游戲性可玩性或收益，都遠(yuǎn)遠(yuǎn)不及大富翁，是個(gè)又臭又長(zhǎng)的屑活動(dòng)。

1.????? 什么是水族館印章收集活動(dòng)？

????????相信來看的都已經(jīng)大概知道了，詳細(xì)介紹可以看（https://tieba.baidu.com/p/7045560902），我簡(jiǎn)單介紹下。

????????活動(dòng)期間從2/9 15:00到2/28 24:00，共19又三分之一天，活動(dòng)界面總共有10個(gè)印章。每天下午三點(diǎn)系統(tǒng)會(huì)給你自動(dòng)更新三個(gè)免費(fèi)幣，每個(gè)免費(fèi)幣可以選一個(gè)印章，但每天送的三個(gè)免費(fèi)幣選的印章不能重復(fù)。每個(gè)印章都會(huì)附帶一定值的pt，選了該印章之后你就可以直接獲得這個(gè)pt。每個(gè)印章附帶的pt從10-15之中隨機(jī)生成，每天每8小時(shí)重新隨機(jī)一次，免費(fèi)幣刷新時(shí)候也重新隨機(jī)一次，一天總共更新4輪。免費(fèi)幣不能屯，每天下午三點(diǎn)更新前必須用完。

????????此外，每消耗愛心25個(gè)，可以額外獲得一個(gè)彩幣。彩幣可以屯，可以選擇任意的印章，可以重復(fù)，沒有限制。每天都會(huì)選出一個(gè)幸運(yùn)印章和一個(gè)人氣印章。幸運(yùn)印章是隨機(jī)生成的，如果前一天你選到了該印章，pt額外+5；人氣印章是上一天全服選的次數(shù)最多的印章，如果上一天選到了，同樣+5，兩者可疊加。全服的人氣印章收集滿一定數(shù)量后有全服獎(jiǎng)勵(lì)，所以務(wù)必讓全服的人氣印章在10個(gè)里面都要輪一遍，10個(gè)都要當(dāng)選過至少一次人氣印章，否則就拿不到了。

????????還有一種道具：沙漏。沙漏通過課題或登錄的方式獲取，估計(jì)不會(huì)太多。消耗一個(gè)沙漏，可以讓某一個(gè)指定的印章附帶的pt重新隨機(jī)。

?????? Pt是水族館活動(dòng)唯一的收益物。Pt到達(dá)固定的數(shù)值后可以直接兌換檔線獎(jiǎng)勵(lì)。超出檔線獎(jiǎng)勵(lì)最高值，即1420后，每32pt換一張機(jī)票，超過1740后，每62pt換一個(gè)等級(jí)突破寶石，上不封頂。

????????順著時(shí)間線整理一下，也就是說，每天15:00免費(fèi)幣會(huì)更新為3個(gè)，同時(shí)刷新印章的pt，然后16:00/24:00/次日8:00三個(gè)時(shí)間點(diǎn)也刷新印章的pt，第二天的15:00公布上一天的人氣印章和幸運(yùn)印章?；顒?dòng)期間從2/9 15:00到2/28 24:00，共19又三分之一天。最后一天的15:00會(huì)更新免費(fèi)幣，16:00刷新印章，24:00結(jié)束。最后一天不會(huì)產(chǎn)生人氣或幸運(yùn)印章。理應(yīng)是這樣的，實(shí)際上只有到了那時(shí)候才知道。

????????國(guó)際服免費(fèi)幣和印章刷新時(shí)間點(diǎn)是一致的，但國(guó)服有1小時(shí)時(shí)間差，每次更新免費(fèi)幣同時(shí)也會(huì)更新印章，所以總共是4輪，每天最多可以盯盤四次。目前不知道這個(gè)bug后續(xù)會(huì)不會(huì)修。不過盯四輪太極限了，本文還是按3輪來算。

2.???? 活動(dòng)道具分析及策略總覽

????????活動(dòng)總共只有三種道具：免費(fèi)幣，彩幣，沙漏；獲取pt只有兩種途徑：選印章直接獲取印章附帶的pt、每日猜中了人氣或幸運(yùn)的額外獎(jiǎng)勵(lì)。接下來我們具體考察，這三種道具可以獲得多少的pt，如何最大化利用這三種道具的價(jià)值。

????????彩幣：每消耗25心獲取1個(gè)。如果我們有多余的彩幣，是全部拿來懟15的印章，還是廣撒網(wǎng)，爭(zhēng)取吃到人氣或幸運(yùn)的額外獎(jiǎng)勵(lì)？對(duì)于前者，每天印章隨機(jī)刷三次，最后一天時(shí)候總會(huì)有一個(gè)+15的，然后全選那個(gè)即可，不放心的話可以早蹲一天，沒有實(shí)現(xiàn)難度。對(duì)于后者，每多選一個(gè)沒有選過的印章，有10%概率成為人氣或幸運(yùn)印章，期望上可以+0.5的幸運(yùn)pt，0.5的人氣pt。如果當(dāng)日人氣印章可預(yù)測(cè)，則僅加幸運(yùn)的部分0.5pt。所以，就算選了+14pt的未選印章，實(shí)際獲得的期望也不過是+15，不如留著全部懟15，廣撒網(wǎng)去選+14或更低的印章沒有意義。唯一有意義的是，廣撒網(wǎng)給同樣+15且未選的印章。每日更新3次，期望上會(huì)有4個(gè)多不重復(fù)的印章+15pt，三個(gè)用免費(fèi)選，剩余靠彩幣補(bǔ)刀，用于補(bǔ)刀的彩幣比用于復(fù)選的彩幣收益期望多1pt。

?????? 免費(fèi)幣：每日三個(gè)免費(fèi)幣，當(dāng)日必須用完。毋庸置疑，如果隨機(jī)出+15pt的章，直接優(yōu)先用免費(fèi)幣選掉。免費(fèi)幣每日必選三個(gè)不重復(fù)的，所以獲得的幸運(yùn)人氣pt加成是一致的。和彩幣不同的是，由于不能屯，如果某天的第二輪刷出了+14pt，我們需不需要選？還是跳過等下一輪？那第三輪一定會(huì)有+15pt嗎？一輪最大值的分布和期望是多少？這是個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量的問題，我們后面會(huì)論證。從結(jié)論而言，免費(fèi)幣除了當(dāng)日最后一輪外，全部?jī)H選+15pt的，+14的都不要選。最后一輪時(shí)，按從大到小的順序去選即可。

?????人氣印章：約一半的天數(shù)，人氣印章是可以預(yù)測(cè)的，這時(shí)我們需要主動(dòng)把它選掉吃+5pt的buff，即使章本身大概率不是+15的。從結(jié)論而言，若當(dāng)天的人氣印章可預(yù)測(cè)，我們建議優(yōu)先使用免費(fèi)幣來選人氣章，如果第一輪人氣章的pt為+14或15pt，則直接選掉，否則等下一輪；第二輪時(shí)，若人氣章pt為+13及以上，選掉，否則等最后一輪；最后一輪無論人氣章是多少，都把它選掉。這個(gè)策略的原理我們后文會(huì)論證。如果能盯盤四輪，則四輪的選章的閾值分別為≥14/≥14/≥13/≥10。

?????? 根據(jù)@Phosnoiiv大佬的國(guó)際服先行反映，目前總結(jié)的人氣印章規(guī)律如下：

????①??? 第一天一定是第一個(gè)當(dāng)選

????②??? 上一天的幸運(yùn)印章，如果之前沒有成為過人氣銀行，則必定成為下一天的人氣

????③??? 如果上一天的幸運(yùn)印章，在所有印章都成為過一次人氣之后，再次首次當(dāng)選幸運(yùn)，則也會(huì)成為下一天的人氣

????????目前國(guó)際服這三條規(guī)律沒有觀察到例外，所以說約一半的天數(shù)人氣印章可以預(yù)測(cè)。為什么會(huì)這樣，是官方暗箱還是絕大部分玩家順勢(shì)所為，目前不清楚。不論是前者還是后者，我們都沒必要逆勢(shì)而為，上述規(guī)律可以預(yù)測(cè)時(shí)按照上述規(guī)律來，沒規(guī)律時(shí)候再人為指定群發(fā)呼吁。

????????事實(shí)上，根據(jù)國(guó)服第一天的反饋來看，兩個(gè)大群一起呼吁玩家選海星，甚至有人大量粉幣全扔給海星，結(jié)果當(dāng)選的人氣反而是第一個(gè)企鵝。如果把看群看貼吧玩家稱為主力的話，還有大量散戶，國(guó)際服反映的規(guī)律可能就是散戶的心理，那作為主力為何要和散戶對(duì)著干呢，大家一起割游戲公司韭菜，又不是互相割，大家一致不好嗎……

????????沙漏：意義不大。如果當(dāng)日人氣印章可預(yù)測(cè)，且每天三次隨機(jī)中，不巧最后一次為10或11pt時(shí)，可以考慮使用沙漏來重新隨機(jī)，此時(shí)相當(dāng)于一個(gè)沙漏1.5或2.5pt，但用上的機(jī)會(huì)不多……

3.???? 多個(gè)隨機(jī)印章的順序統(tǒng)計(jì)量

????????總共十個(gè)印章，每個(gè)印章都是隨機(jī)從10-15中抽取。我們可以把問題簡(jiǎn)化為：同時(shí)扔十個(gè)骰子，求十個(gè)中最大值的概率分布。這種將樣本觀測(cè)值由小到大排列得到的統(tǒng)計(jì)量稱為順序統(tǒng)計(jì)量（order statistics）。

????????實(shí)際上，由于我們要求的不止是最大值，還要求第二大、第三大、第一+第二、第一+第三等各種值的分布，單個(gè)值的分布可以依賴統(tǒng)計(jì)相關(guān)理論計(jì)算，但相加的話這幾個(gè)分布都非獨(dú)立，不能簡(jiǎn)單卷積，所以這題我們直接使用程序暴力枚舉，如下圖所示。

?????? 于是我們就得到了各種分布。由于人氣印章的特殊性，我們用同樣方法還計(jì)算了9個(gè)骰子的模型，一并展示于下表。

????????我們將上述的原始數(shù)據(jù)進(jìn)一步整理，得到下表。E即指期望，也就是上表中的平均。

?????? 解釋一下。選的次數(shù)代表下一輪選幾個(gè)章，占位指之前幾個(gè)已經(jīng)選好了，下一輪不能復(fù)選。如果下一輪的最大值正好碰上了之前已經(jīng)選過的章，此時(shí)則不得不順延給后面的排位。公式即為下一輪已選過的和最大值碰上的概率，乘以相應(yīng)的期望。以“選兩次，占位為1”為例，某玩家目前是第二輪，之前已經(jīng)選了一個(gè)，還能選兩個(gè)。當(dāng)前最大和第二大的都是+14pt，他這一輪應(yīng)該是跳過還是就選+14？如果選擇跳過，則下一輪必須選兩個(gè)，此時(shí)期望就是“選兩次，占位為1”，查表得為29.07，大于本輪選14，下一輪“僅選一次，占位為2”；或是直接本輪+28的期望。因此該玩家應(yīng)該跳過本輪。

?????? 之所以計(jì)算對(duì)象還有9次，是因?yàn)槿绻?dāng)日的人氣印章如果可以預(yù)測(cè)，我們此時(shí)把十個(gè)章分為一個(gè)人氣章和9個(gè)其他章兩部分，人氣章單獨(dú)算，剩下的9個(gè)就需要9次的數(shù)據(jù)了。

?????? 縱觀全表，不存在任何一種情況，本輪選擇+14后的期望，比跳過本輪更高。最極限的是第二輪一個(gè)都沒選，比起第二輪+14，第三輪“選兩次，占位為1”，直接跳過本輪，下輪“選三次，無占位”的收益期望更高，高出0.01pt。這就是“免費(fèi)幣除了當(dāng)日最后一輪外，全部?jī)H選+15pt的，+14的都不要選”的理論依據(jù)。

4.???? 人氣印章最佳策略及收益期望

????????如果某一天人氣印章可以預(yù)測(cè)，則第一輪就知道了。我們需要計(jì)算的是，一個(gè)骰子，扔一次獲得的值的期望，和扔兩次，兩次取最大值的期望。我們把之前程序稍微魔改一下就能實(shí)現(xiàn)，整理得下表。

????????如果目前是第一輪，人氣印章pt為+14或更高，則下兩輪人氣印章隨機(jī)出來的最大值期望是13.47，大概率比14低，因此此時(shí)就直接選掉；如果第一輪人氣印章為+13或更低，后兩輪隨機(jī)出來的值大概率會(huì)更大，所以跳過，等下兩輪；如果第一輪跳過了，第二輪時(shí)候隨機(jī)出來是+12或更低，第三輪最大值期望為12.5，因此可以繼續(xù)等第三輪；如果超過13，就選掉。如果不幸的出現(xiàn)了“+13，+12，+10”這樣的組合，畢竟是小概率事件，就該輪到沙漏的出場(chǎng)了……所以表上我做到了第五次，以供參考。這就是“如果第一輪人氣章的pt為+14或15pt，則直接選掉，否則等下一輪；第二輪時(shí)，若人氣章pt為+13及以上，選掉，否則等最后一輪”的理論依據(jù)

????????由于玩家不能溯回到上一輪，因此人氣印章實(shí)際的pt期望會(huì)比上表三次重置的理論期望小（上表僅為三次取最大）。若玩家嚴(yán)格按照上述策略，則人氣印章實(shí)際的pt期望為13.4861。

5.???? 彩幣收益計(jì)算

????????我們已經(jīng)論證了彩幣的最佳使用方法，即若當(dāng)天三輪中，所有的+15pt的印章的數(shù)目超過三個(gè)時(shí)，用彩幣補(bǔ)刀，再多出的彩幣全部拿來復(fù)選任意的+15pt的印章。用于補(bǔ)刀的彩幣的收益是+15.75（人氣幣是否能預(yù)測(cè)的平均），用于復(fù)選的彩幣為+15。我們接下來做的是計(jì)算出到底每天需要補(bǔ)刀用掉多少彩幣。

????????由于三輪各自+15的印章，大概率會(huì)相互重復(fù)，只有不重復(fù)的印章才有額外收益，因此不能簡(jiǎn)單的按10/6*3=5來算。6的30次方已經(jīng)遠(yuǎn)超暴力枚舉的極限了，因此我們采用傳統(tǒng)藝能——蒙特卡洛方法，模擬次數(shù)為200w次。

????????整理得下表。我們最需要關(guān)注的是三輪10章下的+15印章情況，即收益最大化的理想情況，計(jì)算9章是為了人氣印章的特殊性，計(jì)算1輪和兩輪是因?yàn)椋?strong>畢竟不是所有人都有空21天每天盯盤三次的，這些數(shù)據(jù)供沒法盯盤的玩家參考。

????????可見，極限情況下，每天盯盤三次，平均每天需要1.22個(gè)彩幣，21天需要25個(gè)彩幣，就可以最大化利用彩幣收益了，剩下的彩幣只能復(fù)選+15pt了。如果你沒法每天盯盤三次，每少盯一次，彩幣這部分再外加免費(fèi)幣的部分，大概會(huì)損失1pt不到一點(diǎn)的額外收益。

????????同時(shí)，這個(gè)結(jié)論可以用于計(jì)算需要儲(chǔ)備的彩幣數(shù)量。每天需要1.22個(gè)彩幣，再額外加上3-4個(gè)做儲(chǔ)備就夠了，多余的可以直接大膽提前復(fù)選+15pt，沒必要留到最后一天。

6.???? 活動(dòng)總收益期望

????????我們已經(jīng)將印章收集個(gè)道具的最佳策略講完了，接下來就是計(jì)算活動(dòng)的總收益。我們假設(shè)可預(yù)測(cè)人氣印章與不可預(yù)測(cè)的天數(shù)各占一半。活動(dòng)時(shí)間是2/9的15:00到2/28的24:00，合計(jì)19又三分之一天。最后一天的15:00會(huì)更新免費(fèi)幣，但那天只會(huì)刷新一次印章，也不會(huì)選出人氣和幸運(yùn)。

????????彩幣：1.22*19+0.09=23.27。四舍五入取整，23個(gè)彩幣之前，每個(gè)彩幣折合收益15.75，之后，折15。

????????人氣印章：采用暴力枚舉方法，計(jì)算若玩家嚴(yán)格按上述策略，最終獲得的期望是多少。得13.48，代碼和過程略。

????????免費(fèi)印章：最難算的部分。嚴(yán)格來說，需要按照第五節(jié)中的概率表，+15pt三次及以上就是+45，兩次就是+30，再加上8個(gè)10-14隨機(jī)印章的最大值期望，一次就是+15，再加上9個(gè)10-14隨機(jī)印章的第一和第二大之和期望，以此類推，最后全部加起來，過于繁瑣。實(shí)際上我們把第三節(jié)中“僅選一次，無占位/占位為1/占位為2”加起來就有了44.3了，實(shí)際上若按照最佳策略會(huì)大于該數(shù)值，但最大也就45，為了每天0.7pt折騰不值得，所以我就直接人為按44.5pt（9章對(duì)應(yīng)29.6pt）算了。

?????? 如果當(dāng)天人氣印章可知，則免費(fèi)部分的收益為13.48+5+29.6+1.5=49.58pt；若人氣未知，則為44.5+3=47.5pt，兩者平均為48.54pt。彩幣部分23之前為每個(gè)加15.75，之后為15?；顒?dòng)總共19.3天，最后0.3天僅有一輪更新，且不會(huì)選出人氣或幸運(yùn)。沙漏應(yīng)該可以獲得至少一次10變12.5的機(jī)會(huì)，再額外+2.5，我們得到pt和彩幣數(shù)量的關(guān)系式：

?????? 然后，我們進(jìn)一步計(jì)算pt和收益之間的關(guān)系。本研究采用的價(jià)值體系為7.1以boxU為主的經(jīng)驗(yàn)本位制價(jià)值體系，具體詳見https://tieba.baidu.com/p/7112019333。本體系中，普U=彩貼=1355，經(jīng)驗(yàn)卡直接抵相應(yīng)數(shù)量的經(jīng)驗(yàn)，SSR=金貼=250，等級(jí)突破寶石=300，銀貼粉貼按機(jī)票-經(jīng)驗(yàn)的關(guān)系式換算。我們暫不計(jì)算活動(dòng)SR帶來的額外收益，個(gè)寶的收藏價(jià)值遠(yuǎn)大于強(qiáng)度價(jià)值，之前沒有準(zhǔn)確商榷過，本研究我們暫按每個(gè)1800算。。收益分為固定檔線獎(jiǎng)勵(lì)和穿獎(jiǎng)后額外獎(jiǎng)勵(lì)。我們先看固定檔線獎(jiǎng)勵(lì)：

擬合為函數(shù)：

????????穿獎(jiǎng)后，超過1420pt每32pt，可獲得一張機(jī)票；超過1740每62pt，可獲得一個(gè)等級(jí)突破寶石。于是，我們得到了具體收益和pt的關(guān)系。最后，我們把彩幣個(gè)數(shù)作為自變量，依靠excel的自動(dòng)公式計(jì)算出pt，再靠pt計(jì)算出收益，作圖，收益如圖所示，大致可以分為3段：

????????所以，本活動(dòng)穿獎(jiǎng)需要彩幣29個(gè)，目前國(guó)服會(huì)送9個(gè)，如果接下來不再送的話，代表需要氪心500個(gè)。我們根據(jù)每一段的斜率可以得出，印章收集期間每花1心，可以額外獲得收益16.77（穿獎(jiǎng)前），2.55（穿獎(jiǎng)后，領(lǐng)機(jī)票但領(lǐng)不到等級(jí)突破寶石），5.45（同時(shí)領(lǐng)機(jī)票和等級(jí)突破寶石）。如果需要同時(shí)領(lǐng)機(jī)票和等級(jí)突破寶石，大致需要彩幣51個(gè)，當(dāng)中一大段的額外收益非常的低。如果不是經(jīng)常買禮包的玩家，建議穿獎(jiǎng)后即可屯心留給下次大富翁，抽卡可以使用紅券，沒必要把心花完。

?????? 對(duì)比一下大富翁和印章收集。橫坐標(biāo)為指定紅包步數(shù)或彩幣數(shù)量，縱坐標(biāo)為收益，全程被大富翁近2倍碾壓。活動(dòng)不僅麻煩，每天盯盤3甚至4次，沒有策略沒有可玩性，收益還低，又臭又長(zhǎng)，所以屑，bxm爬。大富翁研究詳見https://tieba.baidu.com/p/6791249500 ，等下次復(fù)刻我再把它搬到b站來。

????????由于專欄重新編輯次數(shù)有限，國(guó)服活動(dòng)期間，我會(huì)發(fā)在評(píng)論區(qū)發(fā)當(dāng)日預(yù)測(cè)的人氣印章，供參考。

完結(jié)撒花~有錯(cuò)請(qǐng)指正，祝大家玩的開心~