參考系的形變【彈性應(yīng)變在彎曲時空下的推廣】

2023-07-28 23:05 作者:Schlichting 0人讀過 | 我要投稿

在彈性力學(xué)中，應(yīng)變是一個非常重要的幾何概念，我們通過胡克定律可以直接將其與應(yīng)力建立聯(lián)系，從而發(fā)展連續(xù)介質(zhì)的彈性理論。而一般彈性力學(xué)是建立在三維歐氏空間中的，因此這種應(yīng)變也是歐氏空間中的幾何概念，自然我們希望能將其推廣到一般的流形上去。這里介紹在廣義相對論背景下的應(yīng)變。

參考資料：《張量分析與彈性力學(xué)》- 申文斌，張朝玉

《The large?scale structure of space-time》- Stephen Hawking, George Ellis

*注：此處不涉及Fermi導(dǎo)數(shù)的概念，只需要了解基本的張量分析和黎曼幾何即可。

一：引入 Introduction

在四維時空中，取一個向量場 $u$ ，它給出了一個全等測地線集，稱為Congurence of geodesics，這些測地線的切矢場均為 $u$ ，仿射參數(shù)為間隔 $s$ 。從物理角度，測地線是在引力場中做自由運動的粒子的世界線，因此這些測地線給出的四維速度也均為 $u$ ，在局部標(biāo)架下分量記為 $u%5E%7B%5Cmu%7D$ 。

同時，這些測地線可以用一個連續(xù)參數(shù) $a$ 來區(qū)分，因此生成了一個單參變化群，它對應(yīng)了一個向量場 $%7B%5Ceta%7D$ ，具體參數(shù)值由其積分曲線與測地線的交點確定。

利用Levi-Civita聯(lián)絡(luò)，在局部標(biāo)架下可以得到著名的Jacobi方程或測地偏離方程：

$%5Cfrac%7BD%5E2%7D%7Bds%5E2%7D%7B%5Ceta%7D%5E%7B%5Cmu%7D%3DR%5E%7B%5Cmu%7D_%7B%5C%20%5Cnu%20%5Crho%20%5Csigma%7Du%5E%7B%5Cnu%7D%20u%5E%7B%5Crho%7D%20%7B%5Ceta%7D%5E%7B%5Csigma%7D$ ，其中 $%5Cfrac%7BD%5E2%7D%7Bds%5E2%7D$ 是沿測地線的二階協(xié)變導(dǎo)數(shù)， $R%5E%7B%5Cmu%7D_%7B%5C%20%5Cnu%20%5Crho%20%5Csigma%7D$ 為黎曼曲率張量。

并且由定義，向量場 $u$ 在向量場 $%7B%5Ceta%7D$ 的單參變化群下保持不變，也就是 $L_%7B%5Ceta%7D%7Bu%7D%3D0%3D%5B%7B%5Ceta%7D%2Cu%5D$ ，利用無撓性定義得 $%5B%7B%5Ceta%7D%2Cu%5D%3D%7B%5Cnabla%7D_%7B%5Ceta%7D%7Bu%7D-%7B%5Cnabla%7D_%7Bu%7D%7B%5Ceta%7D%3D0$ ，在局部標(biāo)架下為無撓性方程?： $%7Bu%7D%5E%7B%5Cnu%7D%7B%5Ceta%7D%5E%7B%5Cmu%7D_%7B%5C%20%3B%7B%5Cnu%7D%7D%3D%5Cfrac%7BD%7D%7Bds%7D%7B%5Ceta%7D%5E%7B%5Cmu%7D%3D%7Bu%7D%5E%7B%5Cmu%7D_%7B%5C%20%3B%7B%5Cnu%7D%7D%7B%5Ceta%7D%5E%7B%5Cnu%7D$ 。

現(xiàn)在考慮單個自由粒子在測地線集中的狀態(tài)。從曲線系的角度出發(fā)，在時空中的每一點，該粒子所觀察到周圍的測地線都是不同的，時而遠(yuǎn)離時而扭曲，這些都可以反映到向量場 $%7B%5Ceta%7D$ 在各點的值上。而且很容易觀察到，沿著測地線切矢，也就是在速度的方向，是觀察不到這些變化的，因為向量場 $%7B%5Ceta%7D$ 在向量場 $u$ 上同樣是不變的。

因此，總結(jié)可知，向量場 $%7B%5Ceta%7D$ 的變化發(fā)生在垂直于四維速度 $u$ 的超曲面上。由此可以選擇這樣的一個四維正交標(biāo)架，以 $u$ 為其中一個基，和超曲面 $s%3D0$ 的交點 $p$ 處的，垂直于 $u$ 的三個基為初始基向量，以它們沿曲線的平移為另三個基，記作 $%5Cleft%5C%7B%20E_1%2CE_2%2CE_3%20%5Cright%5C%7D%20%0A$ ，稱為無自轉(zhuǎn)參考系。由度規(guī)的平行性易知 $g(E_i%2Cu)%3D0%2Ci%3D1%2C2%2C3%0A$ ，滿足正交要求，是一個正交子空間。于是，向量場 $%7B%5Ceta%7D$ 在垂直面上的分量為 $%7B%5Ceta%7D_%5Cbot%20%3D%7B%5Ceta%7D%5Ei%20E_i$ ，通過上文可見其分量會發(fā)生變化，滿足無撓性方程。下文中以 $i%EF%BC%8Cj%EF%BC%8Ck...%3D1%2C2%2C3%0A$ 代表垂直分量， $%5Cmu%EF%BC%8C%5Cnu%3D0%2C1%2C2%2C3%0A$ 代表四維分量。

根據(jù)Cauchy-Lipchitz定理，這樣的一階系統(tǒng)在確定初始條件后存在唯一解，寫作 $%7B%5Ceta%7D%5Ei(s)%3DA%5E%7Bi%7D_%7B%5C%20j%7D%7B%5Ceta%7D%5E%7Bj%7D%5Cvert%20_p$ ，其中 $A%5E%7Bi%7D_%7B%5C%20j%7D$ 是一個3x3的單位矩陣滿足方程 $%5Cfrac%7Bd%7D%7Bds%7DA%5E%7Bi%7D_%7B%5C%20j%7D%3D%7Bu%7D%5E%7Bi%7D_%7B%5C%20%3Bk%7DA%5E%7Bk%7D_%7B%5C%20j%7D(s)$ 。

可見向量場 $%7B%5Ceta%7D$ 的變化完全被矢量的變化 $%7Bu%7D%5E%7Bi%7D_%7B%5C%20%3Bj%7D$ 控制，解出這個量就等于解出了相應(yīng)的變化。

二：三維歐氏空間分析?Analysis in 3D Euclidien Space

現(xiàn)在我們從彈性力學(xué)中應(yīng)變(strain)的角度來分析一下三維歐氏空間中 $%7Bu%7D%5E%7Bi%7D_%7B%5C%20%3Bj%7D$ 的表達(dá)式。

首先在三維歐氏空間中，聯(lián)絡(luò)系數(shù)為0，則 $%7Bu%7D%5E%7Bi%7D_%7B%5C%20%3Bj%7D%3D%7Bu%7D%5E%7Bi%7D_%7B%5C%20%2Cj%7D%3D%5Cpartial%20_ju%5Ei$ ，并且不區(qū)分逆/協(xié)變指標(biāo)，但啞標(biāo)體系和愛因斯坦求和約定依舊成立。

其次，我們將位移矢量記為 $%7Bu%7D$ ，這里僅代表位置的移動，并不表示速度。當(dāng)然也可以表示速度，這樣能更好的適配流體力學(xué)中的粘性力項。

最后，三維歐氏空間下的坐標(biāo)系記為 $(%7Bx%7D%5E%7B1%7D%2C%7Bx%7D%5E%7B2%7D%2C%7Bx%7D%5E%7B3%7D)$ 。

現(xiàn)取歐氏空間中的體積微元 $d%7Bx%7D%5E%7B1%7Dd%7Bx%7D%5E%7B2%7Dd%7Bx%7D%5E%7B3%7D$ ， $%7Bx%7D%5Ei%7Bx%7D%5Ej$ 在平面上，稱沿軸方向的應(yīng)變?yōu)?strong>線應(yīng)變/正應(yīng)變，記為 $e_i$ ，稱角度變化的應(yīng)變?yōu)?strong>角應(yīng)變/剪應(yīng)變，記為 $%7B%5Comega%7D_%7Bij%7D$ ，則對形變量近似到一階有：

$e_i%3D%5Cpartial_iu%5Ei%EF%BC%8C%7B%5Comega%7D_%7Bij%7D%3D%7B%5Calpha%7D_%7Bij%7D%2B%7B%5Calpha%7D_%7Bji%7D%3D%5Cpartial_iu_j%2B%5Cpartial_ju_i$ ，具體計算可查看參考資料。

引入應(yīng)變張量(strain tensor)： $%7B%5Cepsilon%7D_%7Bij%7D%3D%5Cleft%5C%7Be_i%EF%BC%8Ci%3Dj%20%5Cright%5C%7D%2F%20%5Cleft%5C%7B%20%7B%5Comega%7D_%7Bij%7D%2Ci%5Cneq%20j%20%5Cright%5C%7D%20%0A%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(%5Cpartial_iu_j%2B%5Cpartial_ju_i)%20$ ，

容易證明在歐式空間下這是一個對稱的雙線性型，同時稱這六個獨立分量與三個位移量的關(guān)系方程為Cauchy方程。

同時，在應(yīng)變前后體積也會發(fā)生變化，算上所有的線應(yīng)變和角應(yīng)變，展開到一階后可以得到體積膨脹系數(shù)/體積應(yīng)變： $%5Ctheta%3D%7B%5Cepsilon%7D%5Ei%5C%20_i%3De_1%2Be_2%2Be_3%3D%5Ctheta_1$ ，可以看到它是應(yīng)變張量的跡，因此是一個應(yīng)變不變量。具體計算是以混合積表示體積展開即可。

對于一個對稱雙線性型，從矩陣的角度可以表示為有跡與無跡部分之和，以張量實體表示為 $%7B%5Cepsilon%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%7B%5Cepsilon%7D%5Ek_kI%2B%7B%5Csigma%7D$ ，其中 $%7B%5Csigma%7D$ 稱為偏斜張量/應(yīng)變偏量，是應(yīng)變張量的無跡部分，其分量形式為 $%7B%5Csigma%7D_%7Bij%7D%3D%7B%5Cepsilon%7D_%7Bij%7D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7B%5Cdelta%7D_%7Bij%7D%20%7B%5Cepsilon%7D%5Ek_k%EF%BC%8C%7B%5Csigma%7D%5Ei_i%5Cequiv%200$ 。

最后，考慮到在歐氏空間下偏導(dǎo)數(shù)是一個二階張量的分量，應(yīng)變張量是其對稱部分，定義其反對稱部分為轉(zhuǎn)動張量 $%7B%5COmega%7D_%7Bij%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(%5Cpartial_iu_j-%5Cpartial_ju_i)%20$ ，于是根據(jù)二階張量分解定理有 $%5Cpartial%20_iu_j%3D%7B%5Cepsilon%7D_%7Bij%7D%2B%7B%5COmega%7D_%7Bij%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%7B%5Cepsilon%7D%5Ek_k%7B%5Cdelta%7D_%7Bij%7D%2B%7B%5Csigma%7D_%7Bij%7D%20%2B%7B%5COmega%7D_%7Bij%7D$ 。

還可定義相應(yīng)的角速度 $%7B%5Comega%7D%5E%7Bi%7D%3D%5Cstar(%20%7B%5COmega%7D_%7Bij%7D)%3D%7B%5Cepsilon%7D%5E%7Bijk%7D%7B%5COmega%7D_%7Bjk%7D$ ，為轉(zhuǎn)動張量的對偶矢量，星號為Hodge星算子。

至此三維歐氏空間中的位移變化就解完了，其余內(nèi)容在書中都有介紹，這里就不寫了。

三：四維廣義黎曼流形分析?Analysis in?4D Riemannian Manifold

現(xiàn)在考慮引力場下的情形，我們將二中的內(nèi)容推廣至任意廣義黎曼流形上。

首先，在彎曲時空中聯(lián)絡(luò)系數(shù)不為0，因此偏導(dǎo)數(shù) $%5Cpartial%20_ju%5Ei$ 不再代表一個二階張量，同時逆/協(xié)變指標(biāo)也需要認(rèn)真的區(qū)分。

其次，根據(jù)一中的四維正交標(biāo)架 $%5Cleft%5C%7B%20u%3DE_0%2CE_1%2CE_2%2CE_3%20%5Cright%5C%7D%20$ ，這里我們主要研究在子空間 $H_0%3DSpan%5Cleft%5C%7BE_1%2CE_2%2CE_3%20%5Cright%5C%7D%20$ 上的分量變化，而其上的度規(guī)是對應(yīng)的超曲面 $s%3Ds_0$ 上的誘導(dǎo)度規(guī)，因此下文中均默認(rèn)使用誘導(dǎo)度規(guī)做英文字母指標(biāo)的升降。

最后，對二階張量的張量指標(biāo)簡化記號，以圓括號表示對稱化： $A_%7B(%7Bij%7D)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(A_%7Bij%7D%2BA_%7Bji%7D)%20$ ，以對易子表示反對稱化： $A_%7B%5B%7Bij%7D%5D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(A_%7Bij%7D-A_%7Bji%7D)%20$ 。

引入投影映射張量 $b%5E%7B%5Cmu%7D_%7B%5Cnu%7D%3D%5Cdelta%5E%7B%5Cmu%7D_%7B%5Cnu%7D%5Cpm%20n%5E%7B%5Cmu%7Dn_%7B%5Cnu%7D$ ，其中 $n%3Du%2F%5Cvert%20%5Cvert%20u%20%5Cvert%20%20%5Cvert%20$ 是超曲面的單位法向量，利用該張量，垂直部分可以寫作 $%7B%5Ceta%7D%5Ei%3D(%7B%5Ceta%7D_%5Cbot)%5Ei%3D(%7B%5Ceta%7D-g(%7B%5Ceta%7D%2Cn)n)%5Ei%3Db%5Ei_%7B%5Cmu%7D%7B%5Ceta%7D%5E%7B%5Cmu%7D$ ，這里本質(zhì)上是施密特正交化定理， $%5Cpm$ 是考慮到超曲面的性質(zhì)，類時取正號。考慮到 $n$ 在標(biāo)架內(nèi)的指標(biāo)只可以是0，因此上述投影只是將四維指標(biāo)換為三維值。

由二中的名稱和定義，給出在流形中的情形：

應(yīng)變張量 Expansion Tensor ： $%5Ctheta_%7Bij%7D%3Db%5E%7B%5Cmu%7D_ib%5E%7B%5Cnu%7D_ju_%7B(%7B%5Cmu%7D%20%20%3B%7B%5Cnu%7D%20)%7D$ ;?

轉(zhuǎn)動張量 Vorticity Tensor ： $%5Comega_%7Bij%7D%3Db%5E%7B%5Cmu%7D_ib%5E%7B%5Cnu%7D_ju_%7B%5B%7B%5Cmu%7D%20%20%3B%7B%5Cnu%7D%20%5D%7D$ ，角速度 $%7B%5Comega%7D%5E%7Bi%7D%3D%5Cstar(%20%7B%5Comega%7D_%7Bij%7D)%3D%7B%5Cepsilon%7D%5E%7Bijkl%7Du_j%7B%5Comega%7D_%7Bkl%7D$ ;

體積系數(shù) Volume expansion ： $%5Ctheta%3D%5Ctheta%5Ei_%7Bi%7D%3Db%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%7Du_%7B(%7B%5Cmu%3B%20%5Cnu%7D)%7D%3Du%5El_%7B%3Bl%7D%3Ddiv(u_%5Cbot%20)$ ;

偏斜張量 Shear Tensor ： $%7B%5Csigma%7D_%7Bij%7D%3D%7B%5Ctheta%7D_%7Bij%7D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7B%5Cdelta%7D_%7Bij%7D%20%7B%5Ctheta%7D%EF%BC%8C%7B%5Csigma%7D%5Ei_i%5Cequiv%200$ 。

于是在測地線下可得到 $%7Bu%7D_%7Bi%5C%20%3Bj%7D%3D%7B%5Ctheta%7D_%7Bij%7D%2B%5Comega_%7Bij%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7B%5Cdelta%7D_%7Bij%7D%20%7B%5Ctheta%7D%2B%7B%5Csigma%7D_%7Bij%7D%2B%5Comega_%7Bij%7D$ 。

若定義測地線簇之間的相對速度為 $v%5E%7B%5Cmu%7D%3D%5Cfrac%7BD%7D%7Bds%7D%7B%5Ceta%7D%5E%7B%5Cmu%7D$ ，則根據(jù)無撓性方程易知 $v%5Ei%3D%7Bu%7D%5Ei_%7B%5C%20%3Bj%7D%7B%5Ceta%7D%5Ej%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7B%5Ceta%7D%5Ei%20%7B%5Ctheta%7D%2B%7B%5Csigma%7D%5Ei_%7Bj%7D%7B%5Ceta%7D%5Ej%2B%5Comega%5Ei_%7Bj%7D%7B%5Ceta%7D%5Ej$ 。

現(xiàn)在考慮這三項的物理意義，我們記 $%7B%5Ceta%7D%2F%5Cvert%20%5Cvert%20%7B%5Ceta%7D%20%5Cvert%20%5Cvert%20%3Dx$ 為 $%7B%5Ceta%7D$ 上的單位向量，則：

$1.%5C%20%20v%5Ei%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7B%5Ceta%7D%5Ei%20%7B%5Ctheta%7D%EF%BC%8Cg(v%5Ei%2C%7B%5Ceta%7D_i%20)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7B%5Ceta%7D%5Ei%20%7B%5Ceta%7D_i%7B%5Ctheta%7D%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7B%5Ctheta%7D%5Cvert%20%5Cvert%20%7B%5Ceta%7D_%5Cbot%20%20%5Cvert%20%5Cvert%20%5E2%5Cimplies%20v%5Eix_i%20%3Dv_%7B%5Ceta%7D%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7B%5Ctheta%7D%5Cvert%20%5Cvert%20%20%7B%5Ceta%7D_%5Cbot%20%20%5Cvert%20%5Cvert%20$ ，說明此時測地線上各點的相對速度在相對間隔上的投影為一個定值，且無其他分量，代表了體積的膨脹效應(yīng)；

$2.%5C%20%20v%5Ei%3D%5Comega%5Ei_%7Bj%7D%7B%5Ceta%7D%5Ej%EF%BC%8Cg(v%5Ei%2C%7B%5Ceta%7D_i%20)%3D%5Comega%5Ei_%7Bj%7D%7B%5Ceta%7D_i%7B%5Ceta%7D%5Ej%3D%20u_%7B%5Bi%20%20%3Bj%5D%7D%7B%5Ceta%7D%5Ei%7B%5Ceta%7D%5Ej%5Cequiv%200%5Cimplies%20v%5Cbot%20%7B%5Ceta%7D_%5Cbot%20$ ，說明此時測地線上各點的相對速度與相對間隔垂直，根據(jù)圓周運動模型，此時代表了旋轉(zhuǎn)效應(yīng)；

$3.%5C%20%20v%5Ei%3D%7B%5Csigma%7D%5Ei_%7Bj%7D%7B%5Ceta%7D%5Ej%EF%BC%8Cg(v%5Ei%2C%7B%5Ceta%7D_i%20)%3D%7B%5Csigma%7D%5Ei_%7Bj%7D%7B%5Ceta%7D%5Ej%7B%5Ceta%7D_i%3D%20u_%7B(i%20%20%3Bj)%7D%7B%5Ceta%7D%5Ei%7B%5Ceta%7D%5Ej-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7B%5Ctheta%7D%5Cvert%20%5Cvert%20%20%7B%5Ceta%7D_%5Cbot%20%20%5Cvert%20%5Cvert%20%5E2$ $%5Cimplies%20v%5Eix_i%2F%5Cvert%20%5Cvert%20%20%7B%5Ceta%7D_%5Cbot%20%20%5Cvert%20%5Cvert%20%20%3Du_%7Bi%20%20%3Bj%7Dx%5Eix%5Ej-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7B%5Ctheta%7D$ ，說明此時測地線上各點的相對速度在相對間隔上的投影分量不唯一，但保持體積不變，代表了剪切效應(yīng)。

或者也可以取法坐標(biāo)系，或者測地坐標(biāo)系，結(jié)合二中的內(nèi)容也能得出一樣的結(jié)論。

四：進(jìn)一步的計算 Further Calculation

現(xiàn)在我們來考慮用 $A%5E%7Bi%7D_%7B%5C%20j%7D$ 來表示上述的所有張量，記號依舊不變，記 $A_%7Bi%20j%7D$ 的逆為 $A%5E%7B-1%7D_%7Bi%20j%7D$ 。

應(yīng)變張量 Expansion Tensor ： $%5Ctheta_%7Bij%7D%3DA%5E%7B-1%7D_%7B%5C%20%5C%20%5C%20k(i%7D%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bds%7DA%5E%7B%20%5C%20%7D%20_%7Bj)%7D%7B%5Ek%7D$ ;?

轉(zhuǎn)動張量 Vorticity Tensor ： $%5Comega_%7Bij%7D%3D-A%5E%7B-1%7D_%7B%5C%20%5C%20%5C%20k%5Bi%7D%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bds%7DA%5E%7B%20%5C%20%7D%20_%7Bj%5D%7D%7B%5Ek%7D$ ;

體積系數(shù) Volume expansion ： $%5Ctheta%3Ddet(A)%5E%7B-1%7D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bds%7Ddet(A)$ 。

偏斜張量 Shear Tensor ： $%7B%5Csigma%7D_%7Bij%7D%3D%7B%5Ctheta%7D_%7Bij%7D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7B%5Cdelta%7D_%7Bij%7D%20%7B%5Ctheta%7D%EF%BC%8C%7B%5Csigma%7D%5Ei_i%5Cequiv%200$ 。

利用Jacobi方程可以求出 $%5Cfrac%7Bd%5E2%7D%7Bds%5E2%7DA_%7Bi%20j%7D%3D-R_%7Bi0k0%7DA%5E%7Bk%7D_%7B%5C%20j%7D$ ，同時由這個方程做進(jìn)一步的變化可以得到在測地線下的情況：

$%5Cfrac%7Bd%7D%7Bds%7D%5Ctheta_%7Bij%7D%3D-R_%7Bi0j0%7D-%5Comega_%7Bik%7D%5Comega%5Ek_%7B%5C%20j%7D-%5Ctheta_%7Bik%7D%5Ctheta%5Ek_%7B%5C%20j%7D$ ?;? $%5Cfrac%7Bd%7D%7Bds%7D%5Comega_%7Bij%7D%3D%5Comega_%7Bk%5Bi%7D%5Ctheta_%7Bj%5D%7D%7B%5Ek%7D$ ?;?

以及Raychaudhuri-Landau方程 $%5Cfrac%7Bd%7D%7Bds%7D%5Ctheta%3D-R_%7Bij%7Du%5Eiu%5Ej%2B2%5Comega%5E2-2%5Csigma%5E2-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7B%5Ctheta%7D$ ，其中 $%5Comega%5E2%3D%5Comega_%7Bij%7D%5Comega%5E%7Bij%7D%5Cgeq%200%EF%BC%8C%5Csigma%5E2%3D%5Csigma_%7Bij%7D%5Csigma%5E%7Bij%7D%5Cgeq%200$ 。

于是在知道了曲率張量之后，我們就可以通過上述方程計算具體張量在場中的傳播速度，這對與研究引力波對時空的擾動效應(yīng)由重要的啟示。

最后提一下，這里的內(nèi)容對于理想牛頓粘性流體也一樣有效，考慮到平面牛頓粘性力方程 $%7B%5Ctau%7D_%7Bxy%7D%3D%7B%5Cmu%7D%5Cfrac%7Bdu_x%7D%7Bdy%7D$ ，這里切應(yīng)力與速度的梯度有關(guān)，在三維中是 $%7B%5Ctau%7D_%7Bxy%7D%3D%7B%5Cmu%7D%5Cpartial_yu_x%3D%7B%5Cmu%7D%5Cpartial_2u_1$ ，

自然會想到，對于引力場中的粘性流體，其粘性張量項自然為 $%7B%5Ctau%7D_%7Bij%7D%3D2%7B%5Cmu%7D%5Ctheta_%7B(ij)%7D$ 。并且，對于速度梯度的分解也和流體力學(xué)中關(guān)于流場旋度的描述一致，是微分幾何在流體力學(xué)中的應(yīng)用的另一個有力的證明。

此處我們完全是從測地線的角度出發(fā)的，對于任意的積分曲線簇，還應(yīng)加上對應(yīng)的加速度項，即 $a%5E%7B%5Cmu%7D%3D%5Cfrac%7BD%7D%7Bds%7D%7Bu%7D%5E%7B%5Cmu%7D$ ，這樣就可以得到Jacobi方程，以及各張量的傳播速度了。

標(biāo)簽：

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參考系的形變【彈性應(yīng)變在彎曲時空下的推廣】

一：引入 Introduction

二：三維歐氏空間分析?Analysis in 3D Euclidien Space

三：四維廣義黎曼流形分析?Analysis in?4D Riemannian Manifold

四：進(jìn)一步的計算 Further Calculation