模型十三? 倍長(zhǎng)中線

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[結(jié)論]如圖、AD是△ABC的中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)A',使得DA'=AD，連接CA'，則AB=A'C,AB∥A'C

拓展??? 中線題作輔助線

?△ABC中,AD是BC邊上的中線。

? 【作法1】延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使DE=AD,連接BE.

? 【作法2】作CF⊥AD于點(diǎn)F,作BE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

? 【作法3】點(diǎn)M（不與A,B重合）是AB上一點(diǎn),連接MD并延長(zhǎng)至點(diǎn)N,使DN=MD,連接CN.

模型十四? 平行線中點(diǎn)（沙漏模型）

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[結(jié)論]如圖所示,AB∥DE,C是BD的中點(diǎn),延長(zhǎng)AC交DE于點(diǎn)E,則△ABC≌△EDC.

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口訣：有中點(diǎn)、有平行,輕輕延長(zhǎng)就能行！

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模型十五? 雨傘模型（風(fēng)箏模型）

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[結(jié)論]如圖,AP是∠BAC的平分線,BO⊥AP,垂足為O,延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)D,則△ABO≌△ADO

口訣：角平分線+垂線，輕輕延長(zhǎng)等腰現(xiàn)

輔助線典例

【1】如圖,△ABC中,AB=AC,∠A=90°,∠ACB的角平分線CD交AB于點(diǎn)E,∠BDC=90°.求證：CE=2BD

【2】如圖,△ABC中,BE是∠ABC的平分線,AD⊥BE,垂足為D

求證：∠2=∠1+∠C

模型十六? 半角模型

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[結(jié)論]（正方形中的半角模型）如圖,在正方形ABCD中,∠MAN=45°,則

(1)MN=AM+DN

(2)△MCN的周長(zhǎng)等于正方形ABCD邊長(zhǎng)的2倍

(3)MA是∠BMN的角平分線,NA是∠DNM的平分線

輔助線典例??? 其他圖形中的半角模型

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【1.等腰三角形中的半角模型】

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如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為a的等邊三角形,△BCD是等腰三角形,且∠BDC=12°,以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°的角,使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交，AC于點(diǎn)N,連接MN,則

(1)MN=BM+CN

(2)△MAN的周長(zhǎng)等于△ABC邊長(zhǎng)的2倍

(3)MD是∠BMN的平分線,ND是∠CNM的平分線

【2.對(duì)角互補(bǔ)且一組鄰邊相等的半角模型】

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如圖，在四邊形ABCD中,∠B+∠D=180°,∠BAD=2∠EAF,AB=AD,則

(1)EF=BE+FD

(2)EA是∠BEF的平分線,FA是∠DFE的平分線

半角模型技巧：

1.找頂點(diǎn)（某角為大角的一般共頂點(diǎn)）

2.作輔助線（延長(zhǎng)使=半角另一側(cè)，三角形頂角的對(duì)邊）

3.證小△全等

4.證大△全等

5.找全等△關(guān)系

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模型十七 胖瘦模型

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[模型]如圖,在等腰△ABC中,AB=AC,點(diǎn)P在線段BC上且P不是BC的中點(diǎn)

[變胖]如圖，在BC上截取CQ=BP,連接AQ,△ABQ≌△ACP（SAS),AP=AQ

[變瘦]如圖，在BC上截取CQ=BP,連接AQ,△ABQ≌△ACP（SAS),AP=AQ

關(guān)鍵：找到合適的輔助線,讓模型變胖或變瘦,構(gòu)造全等三角形

模型十八 將軍飲馬 6種題型（求最短路線問(wèn)題）

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[題型1]如圖,定點(diǎn)A,B分布在定直線l的兩側(cè),在直線l上找一點(diǎn)P,使得PA+PB的值最小

[題型2]如圖,定點(diǎn)A,B分布在定直線l的同側(cè),在直線l上找一點(diǎn)P,使得PA+PB的值最小

[題型3]如圖,點(diǎn)P為角內(nèi)一點(diǎn).在射線l1,l2上分別找點(diǎn)M,N.使得△PMN的周長(zhǎng)最小

[題型4]如圖,P、Q為角內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn).在射線l1,l2上分別找點(diǎn)M,N.使得四邊形PQMN的周長(zhǎng)最小

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[題型5]如圖,直線m∥n,A,B分別為m上方和n下方的定點(diǎn)。（直線AB不與m垂直）,在m，n上分別求點(diǎn)M,N.使得MN⊥m,且AM+MN+BN的值最小.

[題型6]如圖,定點(diǎn)A,B分布在直線L的同側(cè).長(zhǎng)度為a（a為定值）的線段MN在L上移動(dòng)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊）,在直線L上求亮點(diǎn)M、N.使得MA=a.且AM+MN+NB的值最小.