A-1-5運(yùn)動關(guān)聯(lián)

2023-08-29 16:44 作者:夏莉家的魯魯 0人讀過 | 我要投稿

1.5.1 轉(zhuǎn)動參考系

令S為靜止參考系，S'為相對S的以 $%5Cvec%5Comega$ 轉(zhuǎn)動的參考系，先不考慮S'相對S的平動，令兩參考系原點(diǎn)始終重合。物體的位置，速度，加速度在S系中為 $%5Cvec%20r%2C%5Cvec%20v%2C%5Cvec%20a$ ，而在S'系中為 $%5Cvec%20r'%2C%5Cvec%20v'%2C%5Cvec%20a'$ .

任何一個矢量在兩坐標(biāo)系中相同，但是由于基矢的轉(zhuǎn)動，其對時間的導(dǎo)數(shù)并不相同。另外，不同參考系中標(biāo)量的導(dǎo)數(shù)都是相同的，故無需標(biāo)明參考系。

S系中的基矢為 $%5Chat%20i%2Ci%3Dx%2Cy%2Cz$ ，S'系中的基矢為 $%5Chat%20i'%2Ci'%3Dx'%2Cy'%2Cz'$ .在各自參考系中，對應(yīng)的基矢是不變的。定義 $(%5Cdfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D)_S$ 為在S系中求導(dǎo)， $(%5Cdfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D)_%7BS'%7D$ 為在S'系中求導(dǎo)。

故有：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Cvec%20r%3D%5Csum%20r_i%5Chat%20i%3D%5Cvec%20r'%3D%5Csum%20r_i'%5Chat%20i'%5C%5C%20(%5Cdfrac%7Bd%5Chat%20i%7D%7Bdt%7D)_S%3D(%5Cdfrac%7Bd%5Chat%20i'%7D%7Bdt%7D)_%7BS'%7D%3D0%20%5Cend%7Bcases%7D$

另外有：

$(%5Cdfrac%7Bd%5Chat%20i'%7D%7Bdt%7D)_S%3D%5Cvec%5Comega%5Ctimes%5Chat%20i'$

代入以上式子得

$%0A(%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20r%7D%7Bdt%7D)_S%3D(%5Cdfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%5Csum%20r_i'%5Chat%20i')_S%0A%0A%3D%5Csum%20%5Cdfrac%7Bdr_i'%7D%7Bdt%7D%5Chat%20i'%2B%5Csum%20r_i'(%5Cdfrac%7Bd%5Chat%20i'%7D%7Bdt%7D)_S%0A%0A%3D(%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20r%7D%7Bdt%7D)_%7BS'%7D%2B%5Cvec%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20r$

此即轉(zhuǎn)動參考系中的速度變換關(guān)系：

$%5Cvec%20v%3D%5Cvec%20v'%2B%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20r$

上述推導(dǎo)過程中， $%5Cvec%20r$ 具有一般性，故任意矢量 $%5Cvec%20A$ 在S,S'系中都有：

$(%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20A%7D%7Bdt%7D)_S%3D(%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20A%7D%7Bdt%7D)_%7BS'%7D%2B%5Cvec%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20A$

上式中代入速度矢量 $%5Cvec%20v$ ，得：

$(%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20v%7D%7Bdt%7D)_S%3D(%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20v%7D%7Bdt%7D)_%7BS'%7D%2B%5Cvec%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20v%20%3D%5Cleft(%5Cdfrac%7Bd(%5Cvec%20v'%2B%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20r)%7D%7Bdt%7D%5Cright)_%7BS'%7D%2B%5Cvec%5Comega%5Ctimes(%5Cvec%20v'%2B%5Cvec%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20r)$

$%3D(%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20v'%7D%7Bdt%7D)_%7BS'%7D%2B(%5Cdfrac%7Bd%5Comega%7D%7Bdt%7D)_%7BS'%7D%5Ctimes%5Cvec%20r%2B%5Comega%5Ctimes(%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20r%7D%7Bdt%7D)_%7BS'%7D%2B%5Cvec%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20v'%2B%5Cvec%5Comega%5Ctimes%5Cvec(%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20v)$

其中用到：

$(%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20%5Comega%7D%7Bdt%7D)_S%20%3D(%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20%5Comega%7D%7Bdt%7D)_%7BS'%7D%20%2B%5Cvec%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20%5Comega%20%3D(%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20%5Comega%7D%7Bdt%7D)_%7BS'%7D$

故轉(zhuǎn)動參考系中的加速度變換為：

$%5Cvec%20a%3D%5Cvec%20a'%2B%5Cvec%5Cbeta%5Ctimes%5Cvec%20r%20%2B2%5Cvec%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20v'-%5Comega%5E2%5Cvec%20r$

其中右邊后三項分別為轉(zhuǎn)動加速度，科里奧利加速度和向心加速度，三者統(tǒng)稱為轉(zhuǎn)動參考系中的牽連加速度。

如果S'系相對S系既有轉(zhuǎn)動又有平動，只需要再加上參考系之間的相對速度和相對加速度即可。

1.5.2 常見約束條件

我們常常會遇到一些限制物體位置和運(yùn)動的條件，稱為約束，每多一個約束，都會降低物體的自由度，減少未知數(shù)的數(shù)目。比如3個質(zhì)點(diǎn)的位置，本來有9個自由度，如果限制兩兩間距離一定，多了3個約束，這時候就只剩6個自由度了。

下面我們討論一下常見約束的運(yùn)動學(xué)表示。

距離固定

兩質(zhì)點(diǎn)A,B距離一定時，常見于剛體，如桿狀，繩狀物體。

此時選B為參考點(diǎn)，則A相對B做圓周運(yùn)動，此時A相對B的徑向速度

$v_%7BABr%7D%3D0$

或者說AB的徑向分速度相等：

$v_%7BAr%7D%3Dv_%7BBr%7D$

但是，此時A,B的徑向加速度不一定相等，在極坐標(biāo)系中我們知道，徑向加速度有兩項：

$a_r%3D%5Cddot%20r-r%5Cdot%5Ctheta%5E2$

兩點(diǎn)間距離一定，只能說明 $%5Cddot%20r%3D0$ ，還有另一項向心加速度存在。

例1.長為l的桿一端靠在豎直墻上，另一端擱在水平地板上。桿下端（下圖上A點(diǎn)）在水平面上以勻速 $v_0$ 離墻運(yùn)動。問：當(dāng)與水平面成角 $%5Calpha$ 時，求B點(diǎn)加速度 $a_B$ 與角 $%5Calpha$ 的關(guān)系。

解：由于向心加速度由切向速度和曲率半徑表示。要求加速度，一般必須先求速度。

如圖，我們以A為參考系，將B的速度和加速度進(jìn)行分解：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Cvec%20v_B%3D%5Cvec%20v_%7BBA%7D%2B%5Cvec%20v_A%5C%5C%20%5Cvec%20a_B%3D%5Cvec%20a_%7BBAn%7D%2B%5Cvec%20a_%7BBA%5Ctau%7D%2B%5Cvec%20a_A%20%5Cend%7Bcases%7D$
由于B的實際速度沿著豎直方向，其加速度也沿著豎直方向，可以在圖中作出矢量圖。其中
$a_A%3D0%2Ca_%7BBAn%7D%3D%5Cdfrac%7Bv_%7BBA%7D%5E2%7D%7Bl%7D$
解得

$v_%7BBA%7D%3D%5Cdfrac%7Bv_0%7D%7B%5Csin%5Calpha%7D%2Ca_B%3D%5Cdfrac%7Ba_%7BBAn%7D%7D%7B%5Csin%5Calpha%7D%20%3D%5Cdfrac%7Bv_0%5E2%7D%7Bl%5Csin%5E3%5Calpha%7D$

上述求B的加速度時，我們依然采用了算兩次的方法，分別以地面和A作為參考系，表示出B的角速度，再利用幾何關(guān)系求解。

不分離

考慮A,B兩物體運(yùn)動時始終保持接觸的情況，選B為參考系，則A在B的表面滑動，故A相對B的法向速度為0，或者說AB在法向速度相等：

$v_%7BAn%7D%3Dv_%7BBn%7D$

1.如果接觸面為平面，且B不發(fā)生轉(zhuǎn)動，此時法向加速度也相等：

$a_%7BAn%7D%3Da_%7BBn%7D$

例2.如圖所示，一個傾角為 $%5Ctheta$ 的半斜劈B沿水平方向向右運(yùn)動。在半圓柱體上放置一根豎直桿A，A只能沿豎直方向運(yùn)動，如圖所示。斜劈的速度為 $v_B$ ，加速度為 $a_B$ ，求此時A的速度和加速度。

解：我們畫出二者加速度的矢量圖，由矢量圖得：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20v_A%3Dv_B%5Ctan%5Ctheta%5C%5C%20a_A%3Da_B%5Ctan%5Ctheta%5C%5C%20%5Cend%7Bcases%7D$

2.如果接觸面為曲面，A相對B發(fā)生了轉(zhuǎn)動，此時法向加速度不相等，還需要考慮相對轉(zhuǎn)動引起的向心加速度。

例3.一個半徑為R的半圓柱體沿水平方向向右做加速度為a的勻加速運(yùn)動.在半圓柱體上放置一根豎直桿，此桿只能沿豎直方向運(yùn)動，如圖所示。當(dāng)半圓柱體的速度為v時，桿與半圓柱體的接觸點(diǎn)P和柱心的連線與豎直方向的夾角為 $%5Ctheta$ ，求此時豎直桿運(yùn)動的加速度。

解：我們畫出二者速度和加速度關(guān)系的矢量圖：

由矢量關(guān)系：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20v_A%3Dv_B%5Ctan%5Ctheta%5C%5C%20v_%7BAB%7D%3Dv_B%5Csec%5Ctheta%20%5Cend%7Bcases%7D$
另外，由于A相對地面的加速度在豎直方向，可以分解為：

$%5Cvec%20a_A%3D%5Cvec%20a_%7BABn%7D%2B%5Cvec%20a_%7BAB%5Ctau%7D%2B%5Cvec%20a_B$
其中 $a_%7BAB%5Ctau%7D$ 不方便計算，將上式沿n方向投影得：

$a_%7BA%7D%5Ccos%5Ctheta%3Da_%7BABn%7D-a_B%5Csin%5Ctheta$
故

$a_A%3D%5Cdfrac%7Bv_%7BAB%7D%5E2%7D%7BR%5Ccos%5Ctheta%7D-a_B%5Ctan%5Ctheta%20%3D%5Cdfrac%7Bv_B%5E2%7D%7BR%5Ccos%5E3%5Ctheta%7D-a_B%5Ctan%5Ctheta$
當(dāng)上式中 $a_A$ 為負(fù)值時，方向豎直向上。

3.如果兩物體保持接觸的同時，B還發(fā)生了轉(zhuǎn)動，選B為參考系時還需要考慮由于B的轉(zhuǎn)動導(dǎo)致的切向加速度以及科里奧利加速度。

例4.頂桿AB可在豎直滑槽K內(nèi)滑動，其下端由凸輪M推動，凸輪繞O軸以勻角速 $%5Comega$ 轉(zhuǎn)動，如圖所示的瞬時，OA=r，凸輪輪緣與A接觸處法線n與OA之間的夾角為 $%5Calpha$ ，此時A點(diǎn)曲率半徑為R。試求此時瞬時頂桿AB的速度和加速度。

解：依舊畫出二者速度和加速度的矢量圖：

由矢量關(guān)系：

$v_A%3D%5Comega%20r%5Ctan%5Calpha$
而加速度滿足：

$%5Cvec%20a%3D%5Cvec%20a_%7BAM%5Ctau%7D%2B%5Cvec%20a_%7BAMn%7D-%5Comega%5E2%5Cvec%20r%20%2B2%5Cvec%20%5Comega%5Ctimes%5Cvec%20v_%7BAM%7D%2B%5Cvec%20%5Cbeta%5Ctimes%5Cvec%20r$
將上式沿著n方向分解：

$a_A%5Ccos%5Calpha%3Da_%7BAMn%7D%2Ba_M%5Ccos%5Calpha-2%5Comega%20v_%7BAM%7D$
故

$a_A%3D%5Comega%5E2%20r%5B1%2B%5Cdfrac%7Br%7D%7BR%5Ccos%5E3%5Calpha%7D%20-%5Cdfrac%7B2%7D%7B%5Ccos%5E2%5Calpha%7D%5D$

滑輪

涉及到到滑輪和繩子的問題，其對應(yīng)的約束也是總繩長不變，但是此時兩段繩子不共線。假設(shè)繩子兩自由端分別為A,B，滑輪為O.我們可以把約束寫成標(biāo)量式：

$v_%7BAO%7D%3Dv_%7BBO%7D$

即繩子的伸長速度等于縮短速度。

1.在討論加速度時，如果繩子沒有轉(zhuǎn)動，只需要考慮沿繩子方向的徑向加速度：

$a_%7BAO%7D%3Da_%7BBO%7D$

例5.如圖所示，在與水平地面成 $%5Calpha$ 角的靜止的劈面上放一根不可伸長的輕繩，繩的一端系在墻上A點(diǎn)，小物體系在繩子B點(diǎn)上。某一時刻劈開始以恒定加速度 $a_1$ 向右運(yùn)動，求物體在劈上時所具有的加速度 $a_2$ 大小？

解：此時接觸面為平面，m相對劈只有平動，可以直接考慮加速度。

畫出m加速度矢量關(guān)系圖：

其中 $a_%7B21%7D$ 為斜面上繩子縮短的加速度，等于BA段繩子伸長的加速度 $a_%7BBA%7D$ ，而

$a_%7BBA%7D%3Da_1$
即

$a_%7B21%7D%3Da_1$
故

$a_2%3D2a_1%5Csin(%5Cdfrac%7B%5Calpha%7D%7B2%7D)$

2.如果繩子有轉(zhuǎn)動，計算兩自由端加速度時，還需要考慮轉(zhuǎn)動引起的向心加速度。

例6.一半徑為R的半圓柱面在水平面上向右做加速度為a的勻加速運(yùn)動，在柱面上有一系在水平繩子自由端的小球P，繩子的另一端固定在墻面上。如圖所示，當(dāng)小球相對于半圓柱面的角位置為 $%5Ctheta$ 時，半圓柱面的速度為v，求

（1）此時小球的速率；（2）小球此時加速度的大小。

解：畫出小球的速度和加速度矢量圖：

$v_P'$ 和 $a_P'$ 為相對速度和加速度，同上一題，易知

$v_P'%3Dv%2Ca_%7BP%5Ctau%7D'%3Da$
故

$v_P%3D2v%5Csin%5Cdfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%2Ca_%7BPn%7D'%3D%5Cdfrac%7Bv%5E2%7D%7BR%7D$
加速度

$a_P%3D%5Csqrt%7B(a%2Ba%5Ccos%5Ctheta)%5E2%2B(%5Cdfrac%7Bv%5E2%7D%7BR%7D%2Ba%5Csin%5Ctheta)%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B4a%5E2%5Csin%5E2%5Cdfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%2B%5Cdfrac%7Bv%5E4%7D%7BR%5E2%7D%7D$

交點(diǎn)

兩直線的交點(diǎn)并不是一個質(zhì)點(diǎn)，而是一個幾何點(diǎn)。但我們可以假設(shè)在P點(diǎn)套一個光滑小圓環(huán)，將交點(diǎn)的運(yùn)動轉(zhuǎn)化為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動。

例7.如圖所示，一平面內(nèi)有兩直線AB和CD，相交 $%5Cvarphi$ 角。若直線AB以速度 $v_1$ 在平面內(nèi)沿垂直于AB的方向移動，而直線CD以速度 $v_2$ 在平面內(nèi)沿垂直于CD的方向移動。求兩線交點(diǎn)P的速度 $v_p$ .

解：我們先假設(shè)CD靜止，AB運(yùn)動?？梢钥闯觯珹B如果有一個沿著自身方向的速度，并不會引起交點(diǎn)的位置變化，所以此類問題中，有影響的是垂直直線的速度。

CD靜止時，P點(diǎn)實際的速度方向沿著CD，其速度垂直AB的分量為 $v_1$ ，此時P的速度大小

$v_%7BP1%7D%3D%5Cdfrac%7Bv_1%7D%7B%5Csin%5Cvarphi%7D$
同理，假設(shè)AB靜止，CD運(yùn)動，可以得到：

$v_%7BP2%7D%3D%5Cdfrac%7Bv_2%7D%7B%5Csin%5Cvarphi%7D$
當(dāng)AB，CD同時運(yùn)動，P點(diǎn)實際速度為2個速度的合成：

$v_P%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7Bv_1%5E2%2Bv_2%5E2-2v_1v_2%5Ccos%5Cvarphi%7D%7D%7B%5Csin%5Cvarphi%7D$

如果上題中AB桿繞著A點(diǎn)轉(zhuǎn)動，則可以將P點(diǎn)放在轉(zhuǎn)動參考系中研究。

另外，當(dāng)我們遇到的是兩個曲線的交點(diǎn)時，可以在交點(diǎn)附近用切線替代曲線進(jìn)行研究。

其他幾何關(guān)系

有些幾何關(guān)系，選取不同的描述方法，能夠簡化計算。有些能直接確定速度，加速度分量大小。比如下圖中4根桿鉸接成的框架，A固定，某時刻C的速度為v，加速度為a，由于B點(diǎn)的水平位移恒為C的一半，可知B的水平速度和加速度也為C的一半。

有些能確定速度或者加速度的方向，比如例1中，易知AB中點(diǎn)的軌跡為圓，速度沿切線。

1.5.3 練習(xí)

練1.由四根長為2l和四根長為l的細(xì)桿構(gòu)成合頁構(gòu)件，各交叉點(diǎn)均由鉸鏈鉸接，如圖所示?，F(xiàn)鉸接點(diǎn) $O_3$ 以速度v勻速地沿x方向運(yùn)動。當(dāng)各桿與x軸成 $%5Ctheta$ 角時，求： $B_3$ 的加速度大小。

答案： $%5Cdfrac%7Bv%5E2%7D%7B36l%5Csin%5E3%5Ctheta%7D$ .

練2.如圖所示，AB長為l，滑塊A可沿?fù)u桿OC的長槽滑動。搖桿OC以角速度 $%5Comega$ 繞軸O勻速轉(zhuǎn)動，滑塊B以勻速 $v%20%3D%5Comega%20l$ 沿水平導(dǎo)軌滑動。圖示瞬時OC豎直，AB與水平線OB夾角為30°。求：此瞬時AB桿的角速度及角加速度。

答案： $%5Comega_%7BAB%7D%3D%5Comega%2C%5Cbeta_%7BAB%7D%3D3%5Csqrt%7B3%7D%5Comega%5E2$ ，方向均為逆時針。

標(biāo)簽：物理競賽高中物理競賽

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