學會數(shù)量：需要1-2個月的時間才能學會小學奧數(shù)思維

小學奧數(shù)：學習如何思考數(shù)學

數(shù)學：理解原理→記憶深刻

適合備考時間在半年以上的同學

江蘇、廣東、吉林（這幾個地方好好學，目標是達到90%的正確率）

搞定50%的簡單題（做對5道題），剩下50%的題蒙一蒙（蒙對2-3道題）。

總目標：對7-8道題

數(shù)學運算課程安排：

• 解題技巧
• 經(jīng)典題型（高頻考點）考察占比70%
• 提高篇（非高頻考點）考察占比30%，不是難，而是考頻不高。

解析：四人年齡之乘積能被2700整除：該乘積中有27的倍數(shù)和100的倍數(shù)如，28×27×26×25中有27，約掉27，剩100；因為4×7=28，有4×25=100，所以約掉100，所以，該乘積滿足“能被2700整除”的條件：

再看另一個條件“不能被81整除”，

本題思路啟示：

• 問年齡，優(yōu)先想到代入；
• 問最年長者，優(yōu)先代最大數(shù)。

本題拓展：

• 素數(shù)：質(zhì)數(shù)；
• 代入的對象與條件要看清楚，“能”、“不能”、“結(jié)婚時”

“將它們平均分成三份后還剩下2封”→“將其中兩份平均三等分”

本題啟示：

• 錯誤思路：在分成三份后，用單獨一份計算時，沒注意到單獨一份要減少相應的比例。比如B項26=8×3+2，單獨一份就是8,8÷3=2……2，若忘記是單獨一份的話，可能會誤選；實際應該是兩份的16, 有16÷3=5……1，不符合。
• 7÷3=2……1→14÷3=4……2
• 用單獨一份計算時，費事。
• “至少”從最少的開始代入。

【題目對比】

【拓展】余同取余，和同加和，差同減差，最小公倍數(shù)作周期。

1. 余同取余
2. 余同：用一個數(shù)除以幾個不同的數(shù)，得到的余數(shù)相同此時該數(shù)可以選這個相同的余數(shù)
3. 舉例：“一個數(shù)除以4余1，除以5余1，除以6余1”，則取1，表示為60n+1
4. 和同加和
5. 用一個數(shù)除以幾個不同的數(shù)，得到的余數(shù)，與除數(shù)的和相同，此時反求的這個數(shù)，可以選除數(shù)的最小公倍數(shù)，加上這個相同的和數(shù)，稱“和同加和”。
6. 舉例，“一個數(shù)除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因為4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示為60n+7。
7. 差同減差
8. 差同減差：用一個數(shù)除以幾個不同的數(shù)，得到的余數(shù)，與除數(shù)的差相同，此時反求的這個數(shù)，可以選除數(shù)的最小公倍數(shù)，減去這個相同的差數(shù)，稱“差同減差”
9. 舉例，“一個數(shù)除以4余1，除以5余2，除以6余3”，則有“4-1=3,5-2=3,6-3=3”，所以取“-3”，表示為60n-3
10. 最小公倍數(shù)作周期
11. 所選取的數(shù)加上除數(shù)的最小公倍數(shù)的任意整數(shù)倍（如上述1、2、3中的60n），稱“最小公倍加”，也稱為“公倍數(shù)作周期”

本題啟示：

• 尾數(shù)法
• 正面解時，沒什么思路時，優(yōu)先代入。

做題啟示：

• 題目長的，一步一步來，不要想著一下子就全都弄明白，可以劃分層次
• 什么時候用代入排除？
• 找題目特征、確定解題思路
• 正面解：整理數(shù)據(jù)，找數(shù)據(jù)關系
• 尾數(shù)法，整理成加法

再過3年母親的年齡就是兒子年齡的2倍→人的年齡是整數(shù)，2倍，+3得到偶數(shù)，現(xiàn)在母親的年齡是奇數(shù)。

知道總和求差值，考慮奇偶特性，排除選項后，代入剩余選項。

x+y=50

x-y=偶數(shù)

如果列方程的話，3x-y=82,代入選項，AB得出y為負數(shù)，不符合，C得出y不是整數(shù)，選D。

題眼：平均分

平均分是平均分，相等是相等。

整理題干條件

已知差，求和→奇偶

口算速算↑

求一個數(shù)各個數(shù)位的和？3的倍數(shù)、9的倍數(shù)

解題思路：一個四位數(shù)分別被15、12、10除盡→則15、12、10的最小公倍數(shù)為60X——60X分別除以15、12、10，得到4x、5x\6x——根據(jù)題干條件有，4x+5x+6x=1365，解出x的值，代入60x得到這個四位數(shù)是多少。

做的題足夠多，對數(shù)學的理解更近一步時，會對題目有更深的了解。

【例9】某公司去年有員工830人，今年男員工人數(shù)比去年減少6%，女員工人數(shù)比去年增加5%，員工總數(shù)比去年增加3人，問今年男員工有多少人？

解題思路理解：

①今年男員工人數(shù)比去年減少6%

設今年男員工人數(shù)為A，去年男員工人數(shù)為B

則有（資料分析），（A-B）/B=-6%

即（A/B）-1=-6%

得A/B=1-6%

故A/B=94%

94%=94/100=47/50（約分化簡）

重量、錢、時間不一定是整數(shù)?。?！

最小公倍數(shù)設總量，配等式解未知數(shù)。

最小公倍數(shù)只看分母，不需要關注分子！！

濃度=鹽/鹽水總重量

一個不常用的小技巧 ↓

找倍數(shù)關系：找最大的倍數(shù)

非限制性不定方程

1. 整體替換法
2. 賦0法

一定要做對的題?。。?/p>

S一定，VT成反比

V一定，ST正比

T一定，SV正比

做行程題目時，要勤畫圖。

解析：找部分與部分之間的等量關系

前半程＝后半程

推理：

應用情境：

1. 上下坡
2. 往返
3. 前半程、后半程

【例3】小偉從家到學校去上學，先上坡后下坡。到學校后，小偉發(fā)現(xiàn)沒帶物理課本，他立即回家拿書（假設在學校耽誤時間忽略不計），往返共用時36分鐘，假設小偉上坡速度為80米/分鐘，下坡速度為100米/分鐘，小偉家到學校有多遠？（）

A.2400米 B.1720米 C.1600米 D.1200米

解析：

注意：用往返的時間，求單程時，要除以2

【例4】從甲地到乙地111千米，其中1/4是平路，1/2是上魄力，1/4是下坡路。假定一輛車在平路的速度是20千米/小時，上坡的速度是15千米/小時，下坡的速度是36千米/小時。則該車由甲地到乙地往返一趟的平均速度是多少千米/小時？

A.19 B.20 C.21 D.22

流水行船：V順、V逆為實際的行駛速度

V順=V船+V水

V逆=V船-V水

【例5】某船由甲地駛向乙地，逆水而行，若船速每小時8公里，3小時可到達；船速每小時5公里，5.25小時可到達。若船速為每小時6公里，則（）小時可到達。

A.4 B.4.2 C.4.6 D.5

解析：逆水而行，用“V逆=V船-V水”，有

（8-V水）×3=S

（5-V水）×5.25=S

解方程得出，V水=1

代入其中一個式子，得出S=21

若船速為6公里，則此時V逆=6-1=5，時間T=S/V=21/5=4.2

【例6】一艘輪船先順水航行40千米，再逆水航行24千米，共用了8小時。若該船先逆水航行20千米，再順水航行60千米，也用了8小時。則在靜水中這艘船每小時航行（）千米。

A.11 B.12 C.13 D.14

多個未知數(shù)的先消去一個未知數(shù)。

相遇追擊

相遇：

追及

【例7】已知大A、B兩地相距600千米。甲、乙兩車同時從A、B兩地相向而行，3小時相遇。若甲的速度是乙的1.5倍，則甲的速度是（）

A.80千米/小時 B.90千米/小時

C.100千米/小時 D.120千米/小時

【例8】某人走失了一只小狗，于是開車沿路尋找，突然發(fā)現(xiàn)小狗沿路邊往反方向走，車繼續(xù)行30秒后，他下車去追小狗，如果他的速度比小狗快3倍比車慢3/4，可追上小狗需要多長時間？

A.165秒 B.170秒 C.180秒 D.195秒

解析：

他的速度比小狗快3倍比車慢3/4

人比車慢3/4，車比人快3/4

人1/4，車4/4

假設狗的速度為1（賦值），則他的速度為4，車的速度是16

環(huán)形追及：

1、兩人相向出發(fā)，兩人速度之和乘以時間為一圈

2、兩人同向出發(fā)，兩人速度之差乘以時間為多出的一圈

解方程：等量關系、加減

兩端相遇：

第N次相遇，兩車走過的路程之和，即一共走了（2N-1）S

【例11】某高校兩個校區(qū)相距2760米，甲乙兩個同學從各自校區(qū)同時出發(fā)到對方校區(qū)，甲的速度為70米/分鐘，乙的速度為110米/分鐘，在路上二人第一次相遇后繼續(xù)前進，到達對方校區(qū)后馬上返回，那么兩人從出發(fā)到第二次相遇需要多少分鐘？

A.32 B.46 C.61 D.64

解析：給出全程，求總時間

概率建立在排列組合之上。

排列組合：

分類：加法（做一件事有不同的方法種類）

分步：乘法（做一件事有先后順序的小任務，小任務都完成之后才算這件事完成）

【例2】南陽中學有語文教師8名、數(shù)學教師7名、英語教師5名和體育教師2名。現(xiàn)在從以上四科教師中各選出1名教師去參加培訓，問共有幾種不同的選法？

A.96 B.124 C.382 D.560

解析：

任務：從以上四科教師中各選出1名教師去參加培訓

其中，

語文教師8名，選1名，有8種不同的結(jié)果；

數(shù)學教師7名，選1名，有7種不同的結(jié)果；

英語教師5名，選1名，有5種不同的結(jié)果；

體育教師2名，選1名，有2種不同的結(jié)果；

因此，要完成任務，需要將每一步的可選結(jié)果相乘，得到完成任務的選擇方法數(shù)量為8×7×5×2=56×10=560

【辨析】南陽中學有語文教師8名、數(shù)學教師7名、英語教師5名和體育教師2名。現(xiàn)在從以上四科教師中選出1名教師去參加培訓，問共有幾種不同的選法？

A.22 B.124 C.382 D.560

解析：從所有老師中選一個人，每個人都是不一樣的個體，那么可選擇的方法數(shù)量為從22個人中選1人，即選法為22種。

【例3】某單位組織職工參加周末培訓，其中英語培訓和財務培訓均在周六，公文寫作培訓和法律培訓均在周日。同一天舉辦的兩場培訓每人只能報名參加一場，但不在同一天的培訓可以都參加。則職工小劉有多少種不同的報名方式？

A.4 B.8 C.9 D.16

先確定可選擇的范圍數(shù)量，認真審題，

排列，有順序，6人中選出的第一個人排在第一位序，剩余5人選出的第一個人排在第二位序，依次類推，排隊打飯。

組合，沒有先后順序。即從6人中選出3人組團，此時是沒有順序的，即

再將選出的3個人進行排序之后就變成了排列，

可得出

總結(jié)：

排列：選人并排隊（有順序，每個人不一樣）

組合：選人（無順序，每個人都一樣）

排隊之后除去重復的得到組合

小知識：

【例4】“我是歌手”某場比賽由六名首發(fā)歌手和一名踢館歌手抽簽決定出場順序，且規(guī)定第一位和第七位出場歌手由踢館歌手和上一次比賽第一名歌手抽取，剩余出場順序由其他歌手抽取，則本場比賽出場順序的排列共有多少種情況？

A.10080 B.120 C.240 D.6000

解析：明確要求的先拿出來排，在將剩余的進行排序，最后將這兩個分步驟相乘，得到結(jié)果

【例5】甲、乙、丙三所學校的學生被安排在周一至周五參觀某革命紀念館。紀念館每天最多只能安排一所學校，其中甲學校連續(xù)參觀兩天，其余學校均只參觀一天，那么共有多少種安排方法？

A.12 B.24 C.36 D.60

解析：甲學校連續(xù)參觀兩天，那么共有4種可能性，剩下3天，乙學校有3天可以選擇，即3種可能性，丙剩下兩天可以選擇，即2種選擇性，即結(jié)果為4×3×2=24

注意：不要陷入重復計算的思維之中。不管甲選了哪兩天，乙丙的選擇天數(shù)都是一樣的。

思路正確，怎么算都是一樣的

【例6】某部門從8名員工中選派4人參加培訓，其中2人參加計算機培訓，1人參加英語培訓，1人參加財務培訓，問不同的選法有多少種？

A.256 B.840 C.1680 D.5040

【辨析】某部門從8名員工中選派2人參加計算機培訓，1人參加英語培訓，1人參加財務培訓，問不同的選法有多少種？

理解對題意，不同問法題意可能是一樣的，因此，理解對才能做對。

捆綁法——相鄰問題

誰要挨著，捆誰，當做一個人，和剩下的人一起排，然后捆綁里在排

【例7】為加強機關文化建設，某市直機關在系統(tǒng)內(nèi)舉辦演講比賽，3個部門分別派出3、2、4名選手參加比賽，要求每個部門的參賽選手比賽順序必須相連，問不同參賽順序的種數(shù)在以下哪個范圍之內(nèi)？

A.大于20000 B.5001~20000

C.1000~5000 D.小于1000

【例8】兩對夫婦各帶一個小孩乘坐有6個座位的游覽車，游覽車每排只有1個座位。為安全起見，車的首尾兩座一定要坐兩位爸爸；兩個小孩一定要排在一起。那么，這6人的排座方法有（）。

A.12種 B.24種 C.36種 D.48種

注意，兩位爸爸的位置，兩個小孩捆綁在一起要進行捆綁內(nèi)部排序，因此要乘兩次2

插空法——不相鄰問題

先排其他人，再將“不挨著”的人插到其他人的隊列中，保證“不挨著”。注意，空位置的數(shù)量。

注意：有沒有順序

【例9】把12棵同樣的松樹和6棵同樣的柏樹種植在道路兩側(cè)，每側(cè)種植9棵，要求每側(cè)的柏樹數(shù)量相等且不相鄰，且道路起點和終點處兩側(cè)種植的都必須是松樹。問有多少種不同的種植方法（）。

A.20 B. 50 C.100 D.400

注意：這里沒有順序，道路兩側(cè)是相乘不是相加。

插板法

注意：相同物品+至少分一個

【例10】將7個大小相同的橘子分給4個小朋友，要求每個小朋友至少得到1個橘子，一共有幾種分配方法？

A.14 B.18 C.20 D.22

錯位排列：

每個人不能涉及到跟自己有關的。

背，4個人的錯位排列等于9，5個人的錯位排列等于44。

【例11】相鄰的4個車位中停放了4輛不同的車，現(xiàn)將所有車開出后再重新停入這4個車位，要求所有車都不得停在原來的車位中，則一共有多少種不同的停放方式？

A.9 B.12 C.14 D.16

【例12】從1、2、3、4、5、6、7、8、9中選取2個數(shù)，讓他們的和是質(zhì)數(shù)，則共有多少種選法？

A.19 B.18 C.17 D.16

E.15 F.14 G.13 H.12

解題方法：

1. 公式法
2. 畫圖法

掌握：多練多總結(jié)

理解記憶

每個封閉區(qū)域只能標記一個數(shù)字來代表其面積。

使用情景：

1. 只滿足某一個條件
2. 公式解不了，難的

一定要規(guī)范標注好?。?！

第一節(jié)

統(tǒng)籌安排

常用方法：枚舉法、邏輯推斷

例題1：小明家里來了客人，媽媽讓他給客人燒水沏茶。燒開水需要 10 分:鐘，洗紫砂茶壺和茶杯需要 2 分鐘，洗開水壺需要 1 分鐘，買茶葉需要 5 分鐘，沏好茶需要 1 分鐘。小明初步估算了一下，完成這些事情要 19 分鐘。為了使客人早點喝上茶，你認為怎樣安排最合理，至少需要多少分鐘才能讓客人喝上茶水？

（）

A．11

B．12

C．13

D．15

例題2：某餐廳要用三個爐灶做出 9 道菜肴，做完各道菜肴需要的時間分別是 1、2、3、4、4、5、5、6、7 分鐘。每個爐灶在同一時間只能做一道菜肴。那么，最少經(jīng)過（）分鐘，該餐廳可以做完全部菜肴。

A.11

B.12

C.13

D.14

解析：三個爐灶要盡可能利用起來，即三個爐灶的做菜時間要盡可能平均

例題3：用一個餅鐺烙煎餅，每次餅鐺上最多只能同時放兩個煎餅，煎熟一個煎餅需要 2 分鐘的時間，其中每煎熟一面需要一分鐘。如果需要煎熟 15 個煎餅，至少需要多少分鐘：

A、14 B、15 C、16 D、30

例題4：某公園有一個周長為 1 千米的長方形花壇，計劃在其周圍每隔 100米放置一個垃圾桶?，F(xiàn)已將所需垃圾桶全部放在其中一個放置點(如圖所示)，接下來要用手推車將垃圾桶運到每一個放置點。假如該手推車每次最多能運 3 個垃圾桶，則將垃圾桶運到最后一個放置點時手推車行程最少為（ ）米。

A．1600 B．1800 C．1900 D．2200

追及問題

分針速度為 360°/60min=6°/min；

時針的速度 30°/60min=0.5°/min。

注：一整天分針走過 24 圈，時針走過 2 圈，所以時針追上分針 22 次，時針和分針重合 22次，垂直 44 次（每次重合前后都會呈現(xiàn)兩次垂直）

找到上一個整的時間，追及問題。

從鐘表的 12 點整開始，時針與分針的第一次垂直與再一次重疊中間相隔的時間約（）

A.43 分鐘

B.45 分鐘

C.49 分鐘

D.61 分鐘

解析：注意“垂直”

張某下午六時多外出買菜，出門時看手表，發(fā)現(xiàn)表的時針和分針的夾角為 110°，七時前回家時又看手表，發(fā)現(xiàn)時針和分針的夾角仍110°。那么張某外出買菜用時：

A．20 分鐘

B．30 分鐘

C．40 分鐘

D．50 分鐘

30°一個格，110°大約4個格，約6:13，七點前回家，約6:53——40min

追及：追了220,220÷（6-0.5）≈40

• 最小公倍數(shù)——不移動的間距為兩次間距的最小公倍數(shù)
• 最大公約數(shù)——不移動的段數(shù)/棵數(shù)為兩次段數(shù)的最大公約數(shù)

某條道路進行燈光增亮工程，原來間隔 35 米的路燈一共有 21 盞，現(xiàn)要將路燈的間隔縮短為 25 米，那么有（）盞路燈無需移動。

A.2

B.3

C.4

D.5

解析：推導出總長為700米，再確定間隔距離的最小公倍數(shù)為175，每個175的倍數(shù)的位置都不用動。

在長 581 米的道路兩側(cè)植樹，假設該路段僅兩端有路口，要求在道路路口 15 米范圍內(nèi)最多植 1 棵樹，并且相鄰了兩棵樹間的距離為 4 米，問最多能植多少棵樹？

A.137 B.139

C.278 D.280