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1 引言?

問題是數(shù)學(xué)的心臟——P.R.Halmos

數(shù)學(xué)一直是一門在解決無(wú)數(shù)問題的學(xué)科，而這篇文章，我們要討論問題很有趣，是關(guān)于圓內(nèi)周長(zhǎng)，面積最大的多邊形為正多邊形純粹幾何的證明，這是一個(gè)很少有人討論的問題，但他其實(shí)很有趣，很優(yōu)美。

本篇論文是我們?nèi)齻€(gè)中學(xué)生研究出來(lái)的，在暑假正好有時(shí)間在網(wǎng)上寫 下自己的第一篇文章。在我們研究圓時(shí)，我們突然想到了一個(gè)很有意思的 問題——圓內(nèi)接多邊形中面積最大的多邊形是什么？我們沒有學(xué)過三角函 數(shù)，所以我們發(fā)現(xiàn)了一種不需三角函數(shù)暴力表示的方法，這是一種很純粹，很有趣的幾何方法 。

注：推薦看定理九與定理十，定理一，二，四，七可不看?

2 證明部分?

定理 1. 在一個(gè)三角形中，較大角所對(duì)邊比較小角所對(duì)邊大

證明：

即證明在三角形 ABC 中，若 ∠A>∠C，則 a>c?

假設(shè) ∠A>∠C 時(shí)，a≤ c 則一定可以在 c 上截取 BH=BC 連接 HC 設(shè) ∠A=α，∠C=β?

情況 1.1. 當(dāng) A 不與 H 重合時(shí)?

在 △ABC 中 ∠A+∠B+∠C=180°?

∴ ∠B=180°-α-β ∵ BH=BC?

∴ ∠HBC=∠BHC?

在 △ABC 中 ∠B+∠HBC+∠BHC=180°?

∴ ∠BHC=(180° ??∠A)/2= α+β)/2

∵∠BHC>∠A?

∴ α+β 2 >α?

∴ β>α?

由題：α>β?

矛盾！?

情況 1.2. 當(dāng) H 與 A 重合

同理：∠BHC= (α+β)/2

∵ ∠BHC=∠BAC?

∴ (α+β)/2=α?

∴ β=α

由題：α>β?

矛盾！

∴ 假設(shè) ∠A>∠C 時(shí)，a≤ c 不成立?

故 ∠A>∠C 時(shí)，a>c?

QED?

定理 2. 對(duì)于圓內(nèi)任意一個(gè)弦，這個(gè)弦把圓切割成的兩部分，在圓上任意取 一點(diǎn)向這個(gè)弦做垂線，當(dāng)這一點(diǎn)在這一條弦的中垂線上時(shí)，這條垂線分別 在這個(gè)弦切割成的兩部分內(nèi)最長(zhǎng)

證明：

即證當(dāng) C 在 AB 中垂線上時(shí)，CN 分別在這個(gè)弦切割成的兩部分內(nèi) 最長(zhǎng)取得最大值?

過圓心 O 作直線 l 平行于 AB 過 C 作 CM⊥l 交 l 于 M，AB 于 N?

情況 2.1. C 在 AB 上方?

設(shè) MO=y，NM=X，CM=z，CO=k?

在 Rt△CMO 中，∠CMO=90°

∴ CO2?+ CM2?= MO2

即 y2?+ (z + x) 2?= k 2

∴ (z + x) 2?= k2?? y 2

∵ x 為定值 (即 AB 與 l 間的距離)?

∴ 求 z 的最大值

∴ 即求 (z+x) 的最大值?

∴ 即求 (z + x)2?的最大值

∵ k 為定值 (k 為半徑)?

又 k2≥0?

∴ 0≤k2?? y2≤k2

∴ 當(dāng) y=0 時(shí)，取等，k2?? y2?取得最大值?

∴ 即當(dāng) M 與 O 重合時(shí)，z 取得最大值?

下面來(lái)證明此時(shí) C 在 AB 中垂線上 (以下討論是在 M 與 O 重合的情況下)：

此時(shí) CO⊥l 又 AB 平行于 l 可得 ∠ANO=∠BNO=90°?

又 AO=BO=k(即為半徑)?

又 NO=NO?

∴Rt△ANO≌Rt△BNO?

∴ AN=BN?

又 CN⊥AB?

∴ 此時(shí) C 在 AB 中垂線上?

情況 2.2. C 在 AB 下方?

設(shè) MO=y，NM=X，CM=z，CO=k?

在 Rt△CMO 中，∠CMO=90°?

∴ CO2?+ CM2?= MO2

即 y 2?+ z2?= k2?

∴ z2?= k2?? y2

∵ k 為定值 (k 為半徑)?

又 k 2≥0?

∴ 0≤k 2 ? y 2≤k 2?

∴ 當(dāng) y=0 時(shí)，取等，k 2 ? y 2 取得最大值?

∴ 即當(dāng) M 與 O 重合時(shí)，z 取得最大值?

∵ x 為定值 (即 AB 與 l 間的距離)?

∴ 求 z+x 的最大值?

∴ 即求 z 的最大值?

下面來(lái)證明此時(shí) C 在 AB 中垂線上 (以下討論是在 M 與 O 重合的情 況下)：?

此時(shí) CO⊥l 又 AB 平行于 l 可得 ∠ANO=∠BNO=90°?

又 AO=BO=k(即為半徑)?

又 NO=NO

∴ Rt△ANO≌Rt△BNO?

∴ AN=BN

又 CN⊥AB?

∴ 此時(shí) C 在 AB 中垂線上?

綜上，當(dāng) C 在 AB 中垂線上時(shí)，CN 取得最大值?

QED?

定理 3. 對(duì)于圓內(nèi)任意一個(gè)弦交圓于兩點(diǎn)，與圓上任意一點(diǎn)構(gòu)成的三角形， 當(dāng)這一點(diǎn)在這一條弦的中垂線上時(shí)，這個(gè)三角形的面積在這個(gè)弦切割成的兩部分內(nèi)分別最大?

證明：

注：這里當(dāng) C 在 AB 下方時(shí)同理，不加贅述?

∵ S△ABC=AB*CN?

又 AB 為定值?

∴ 欲求 S△ABC 最大值 ，只需求 CN 最大值?

又當(dāng) C 在 AB 中垂線上時(shí)，CN 取得最大值 (定理 2)?

∴ 當(dāng)這一點(diǎn)在這一條弦的中垂線上時(shí)，這個(gè)三角形的面積最大 當(dāng) C 在 AB 下方時(shí)，同理

∴ 當(dāng)這一點(diǎn)在這一條弦的中垂線上時(shí)，這個(gè)三角形的面積在這個(gè)弦切 割成的兩部分內(nèi)分別最大

QED?

定理 4. 對(duì)于圓內(nèi)任意一個(gè)多邊形 n1n2……nm，如果 n1n2 = n2n3 = …… = nmn1，則這個(gè)多邊形為正多邊形?

證明：

連接 n1O，n2O，n3O，…，nmO?

∵ n1n2 = n2n3 = …… = nmn1?

又 n1O = n2O = n3O = … = nmO?

∴?△n1On2 ≌△n2On3 ≌……≌△nmOn1?

∴ ∠n1n2O=∠n2n1O=…=∠nm ? 1nmO=∠nmnm ? 1O?

∴ ∠n1n2n3=∠n2n3n4=…=∠n1nmnm ? 1=∠nm ? 1nmn1=2∠n1n2O?

又 n1n2 = n2n3 = … = nmn1?

∴ 多邊形 n1n2…nm 為正多邊形?

QED?

定理 5. 對(duì)于任意兩圓 a，b，如果 ra = rb，以兩圓任意半徑作相等的角，那 么，a 圓上的點(diǎn)的移動(dòng)量比 b 圓上的點(diǎn)的移動(dòng)量大

證明：

已知：∠BOA=∠DO′C?

???????????OA>O’C?

求證：AM>CH?

連接 AB，CD

∵ BO=OA?

∴ ∠OBA=∠OAB?

在 △ABO 中?

∠BOA+∠OBA+∠OAB=180°?

∴ ∠OBA=∠OAB= 180°? ?∠BOA /2

∵ O’C=O’D?

∴ ∠O′DC=∠O′CD?

在 △DCO′ 中?

∠O′DC+∠O′CD+∠CO′D=180°?

∴ ∠O′CD=∠O′DC= 180°?∠CO′D/2?

又 ∠BOA=∠DO′C?

∴ ∠O′CD=∠O′DC=∠OBA=∠OAB?

∴ △ABO～△DCO′?

∴ OA/ O′C= BA/ CD

又由題：OA>O’C?

∴OA /O′C>1?

∴ BA/DC>1?

∵ ∠O′CD=∠OAB?

又 ∠BMA=∠DHC=90°?

∴ △BMA～△DHC?

∴ BA/ DC= MA/ HC?

又 BA/ DC>1?

∴ MA /HC >1?

即 AM>CH?

QED?

定理 6. 如圖，對(duì)任意一圓 c 內(nèi)任意一條弦 AB，H 為 AB 中垂線與圓 c 的 交點(diǎn)，D 在 H 點(diǎn)右邊 (或左邊)，連接 DA，DB 則 D 與左側(cè)連線 (或右邊) 比其與右側(cè)連線 (或左邊) 大，即 DA>DB(或 DB>DA)

證明：

由題：HA=HB?

∴ ∠HAB=∠HBA?

∵ ∠HAB>∠DAB?

又 ∠DBA>∠HBA?

∴ ∠DBA>∠DAB?

∴ DA>DB(定理 1)?

QED

定理 7. 對(duì)于式子 a+b，如果 a 增大 m，b 減少 n，如果 m>n, 則：a+b+m-n>a+b?

證明：

欲證 a+b+m-n>a+b?

只需證 m-n>0?

即 m>n?

由題：m>n?

∴ a+b+m-n>a+b?

QED?

定理 8. 如圖，C 為 AB 中垂線與弧 AB 的交點(diǎn)，D 為弧 AB 上任意一點(diǎn) (不與 C 重合)，如果其在 C 右邊，延長(zhǎng) AC 到點(diǎn) M 使 MA=AD，同時(shí)在 BC 上截取 BN=BD，連接 NM，那么 MC<NC，如果其在 C 左邊，則延長(zhǎng) CB 到點(diǎn) M 使 MA=DB，在 DA 上截取 AN=AD，也是 MC<NC?

證明：

注：當(dāng) D 在 C 左邊與在 AB 下方時(shí)，同理，不多加贅述?

設(shè) ∠CAB=α，∠M=β

由題題：AC=CB ∴ ∠CAB=∠CBA=α

∴ ∠MCN=∠CBA+∠CAB=2α?

在 △MCN 中?

∠MCN+∠M+∠MNC=180°

∴ ∠MNC=180°-2α-β?

欲證 MC<NC?

只需證 ∠M>∠MNC?

只需證 β>180°-2α-β?

只需證 β>90°-α?

過 C 作 CH⊥AB 于 H?

過 M 作 MK 平行于 CH 交 AB 于 K?

在 Rt△MCN 中?

∠CAH+∠ACH=90°?

∴ ∠ACH=90°-α

∵ CH 平行于 MK?

∴ ∠CMK=∠CAH=90°-α?

欲證 β>90°-α?

只需證 ∠NMK>0?

這里，MA=MD，則這兩點(diǎn)在同一圓上，BD=BN，則這兩點(diǎn)也在同一 圓上，且?∠MAD=∠DBN ?(A,B,C,D 四點(diǎn)共圓)，所以 M 從 D 向左的移動(dòng)量是比 N 從 D 向左的移動(dòng)量大(定理5)，則 M 在 N 左邊，又 M 在 N 上方 (因?yàn)?一個(gè)向上移，一個(gè)向下移)，故定有 ∠NMK

∴ ∠NMK>0?

∴ MC<NC?

QED?

定理 9. 對(duì)于圓內(nèi)任意一個(gè)弦交圓于兩點(diǎn)，與圓上任意一點(diǎn)構(gòu)成的三角形，當(dāng)這一點(diǎn)在這一條弦的中垂線上時(shí)，這個(gè)三角形的周長(zhǎng)在這個(gè)弦切割成的兩部分內(nèi)分別最大

證明：

注：D 在左邊時(shí)與在 AB 下方時(shí)討論同理，不多加贅述

D 不與 C 重合?

作 AB 中垂線交弧 AB 于 C

延長(zhǎng) AC 到點(diǎn) M 使 MA=AD?

在 BC 上截取 BN=DB?

NC>MC(定理 8)

MC 為 AD 減少量?

CN 為 BD 增加量

∴ AC+CB>BD+AD(定理 7)?

又 AB 為定值

∴ C△ACB>C△ADB

又 D 為弧 AB 上任意一點(diǎn) (不與 C 重合)?

∴C△ACB 在弧 AB 上周長(zhǎng)最大?

QED?

補(bǔ)充命題 9 的證法：(魯珈靖的證法)

證明：

注：D 在右邊時(shí)與在 AB 上方時(shí)討論同理，不多加贅述?

C’ 為圓上任意一點(diǎn) (不與 C’ 重合)

?

作 AB 中垂線交圓于 C?

連接 AC’,BC’?

延長(zhǎng) AC 至點(diǎn) D 使 BC=CD,?連接 BD?

延長(zhǎng) AC’ 至點(diǎn) D’ 使 BC’=C’D’?

設(shè) ∠BDC=α?

∵ BC=CD?

∴ ∠BDC=∠CBD=α?

∴ ∠ACB=2α?

又 A,B,C,C’ 四點(diǎn)共圓?

∴ ∠AC′B=∠ACB=2α?

又 BC’=C’D’?

∴ ∠BD′C ′=∠C ′BD′?

∴ ∠C ′D′B= ∠AC′B 2 =α?

∴ ∠BDC=∠BD′C ′=α?

∴ A,B,D,D’ 四點(diǎn)共圓?

又由中垂線得 AC=BC?

∴ AC=BC=CD?

∴ △ABD 為直角三角形?

∴ B 在以 AD 為直徑，C 為圓心的圓上?

∴ AD’ 為其圓內(nèi)不經(jīng)過圓心的一弦 (因?yàn)?AD’ 若經(jīng)過圓心，則 AC 經(jīng) 過圓心，即 C’ 與 C 重合，與條件矛盾)?

又 AD 為直徑?

又圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦為直徑?

∴ AD’<AD 即 AC+BC>AC’+BC’?

∴ C△ACB>C△ADB?

又 C’ 為弧 AB 上任意一點(diǎn) (不與 C’ 重合)?

∴C△ACB 在弧 AB 上周長(zhǎng)最大?

QED?

補(bǔ)充命題 9?的證法：(廖振宇的證法)?

證明：

作 AB 中垂線交弧 AB 于 H?

T 為弧 AB 上任意一點(diǎn) (不與 H 重合)?

連接 TA,TB,HA,HB?

設(shè) TB,AH 交于點(diǎn) F?

∵ A,T,H,B 四點(diǎn)共圓?

∴ ∠TAH=∠HBT，∠ATB=∠AHB?

又 ∠TFA=∠HFB?

∴ △AT F～△BHF?

由題：HA=HB?

∴ ∠HAB=∠HBA?

∵ ∠FBA=∠HBA-∠HBT

∴ ∠FAB>∠FBA?

∴ FB>FA?

設(shè) AF=a,AT=b,TF=c?

FB=ma,AH=mb,TF=mb(m>0)?

AT+TF-AF=b+c-a>0?

FH+HB-FB=m(b+c-a)>0?

∴ FH+HB-FB>AT+TF-AF?

∴FH+HB+AF>AT+TF+FB?

∴ AH+HB>AT+TB?

∴ C△AT B>C△AHB?

又 T 為弧 AB 上任意一點(diǎn) (不與 H 重合)?

∴C△AHB 在弧 AB 上周長(zhǎng)最大?

QED?

定理 10. 在圓內(nèi)周長(zhǎng)，面積最大的內(nèi)接多邊形為正多邊形?

證明：

對(duì)于圓內(nèi)內(nèi)接 m 邊形上一點(diǎn) na，如果這個(gè)點(diǎn)不在 na + 1na ? 1 中垂 線上，則我只需要在不改變其他點(diǎn)的前提下，把 na 取在 na + 1na ? 1 中垂線上，此時(shí) C△na ? 1nana + 1 取得最大值，而線段 na + 1na ?1 不變，所以 也是 nana + 1+nana ? 1 最大值，所以此時(shí)的內(nèi)接 m 邊形是大于之前的內(nèi) 接 m 邊形的，所以這里，其不為圓內(nèi)圓內(nèi)周長(zhǎng)最大的內(nèi)接多邊形，當(dāng)對(duì)于 內(nèi)接 m 邊形上任意一點(diǎn)如果其都在相鄰兩點(diǎn)的中垂線上，我們找不到周長(zhǎng) 更大的多邊形，那么，這時(shí)其每邊都相等，那么這時(shí)這個(gè)多邊形為定多邊形 即正多邊形，所以圓內(nèi)內(nèi)接多邊形周長(zhǎng)最大的是正多邊形，面積也是一樣 的道理，如果有一點(diǎn)不在相鄰兩點(diǎn)的中垂線上，那么我一定可以找出一個(gè) 多邊形面積比它大，那么當(dāng)對(duì)于內(nèi)接 m 邊形上任意一點(diǎn)如果其都在相鄰兩點(diǎn)的中垂線上，我們找不到面積更大的多邊形，那么，這時(shí)其每邊都相等， 那么這時(shí)這個(gè)多邊形為定多邊形即正多邊形，所以圓內(nèi)內(nèi)接多邊形面積最 大的是正多邊形?

注：這里可能有人覺得我們沒有考慮除了那個(gè)三角形以外的多邊形的 面積或周長(zhǎng)，還有，我們好像只考慮了一種判斷方法，但是，你想，只要有一點(diǎn)不在相鄰兩點(diǎn)中垂線上，我們一定可以找到比起面積更大的，那么，這些多邊形都被排除了，那么剩下的就是每一點(diǎn)都在相鄰兩點(diǎn)中垂線上，那么定理四中我們就證明了這個(gè)多邊形為正多邊形，那么，這個(gè)多邊形是確 定下來(lái)了，因?yàn)閳A內(nèi)內(nèi)接周長(zhǎng)，面積最大的多邊形肯定符合中垂線這一點(diǎn)（及任意一點(diǎn)都在相鄰兩點(diǎn)中垂線上），但圓內(nèi)內(nèi)接符合的多邊形有且只有正多邊形（而且這個(gè)正多邊形只有一個(gè)，邊長(zhǎng)等都是確定的），所以這里是 沒有問題的，不用其他判斷方法?

QED?

3 后記?

很感謝能看到這里，這是我奮斗十幾天的成果，我從一個(gè) latex 小白到 可以簡(jiǎn)單編寫論文，這篇論文是我們?nèi)辉陂e暇之余研究的，很感慨，大部 分在網(wǎng)上的文章都是三角函數(shù)硬算的，我們這個(gè)是一次討論中臨時(shí)想出的， 大家都不太會(huì)三角函數(shù)，所以才有這篇文章，其實(shí)我們最初沒想研究這個(gè)的，是廖振宇提出圓內(nèi)面積最大的三角形，然后才到這個(gè)標(biāo)題，說實(shí)話這些內(nèi)容并不十分復(fù)雜，我們也只是普通的中學(xué)生，我們很希望大家多多討論，多多指點(diǎn)，有任何問題都可以留言評(píng)論呀

最后我想送給大家一句我很喜歡的話：

數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于他的自由——康托爾

作者：蘭量，魯珈靖，廖振宇