作為隨筆性質(zhì)的文章，本文會(huì)寫的比較隨意或者晦澀，本文主要討論麻雀中的各種形狀的極盡深入，對(duì)麻雀技術(shù)提升沒有太大幫助。適用于任何麻雀。 作者：幾愿??

麻雀形狀隨筆9：對(duì)稱性（1）

首先給出麻雀基本元素的定義：

（1）順子：3張數(shù)字連續(xù)的牌的組合稱作順子，可記作{m，m+1，m+2}。

如：345、567等。765進(jìn)行重新組合為567，當(dāng)然是順子。

（2）刻子：3張數(shù)字相同的牌的組合稱作刻子，可記作{m，m，m}。

如：222、333等。

（3）對(duì)子（雀頭）：2張數(shù)字相同的牌的組合稱作對(duì)子，可記作{m，m}。

如：22、33等。

對(duì)子也可以視為2張數(shù)字相差為0的牌的組合。

（4）兩面：2張數(shù)字相差為1的牌的組合稱作兩面，可記作{m，m+1}。

如：23、34等。32進(jìn)行重新組合為23，當(dāng)然是兩面。

（5）邊張：2張數(shù)字相差為1的牌的組合，且有一張為1或9，稱作邊張，是特殊的兩面。

如：12、89等。21進(jìn)行重新組合為12，當(dāng)然是邊張。

（6）嵌張：2張數(shù)字相差為2的牌的組合稱作嵌張，可記作{m，m+2}。

如：24、35等。42進(jìn)行重新組合為24，當(dāng)然是嵌張。

以上元素，包括任意只由數(shù)牌構(gòu)成的麻雀形狀，都有一些性質(zhì)：

（1）重組不變性：任意數(shù)牌在手牌的位置發(fā)生變化，形狀的結(jié)構(gòu)、拆分不變，聽牌面、進(jìn)張面、改良面不變。

這是因?yàn)槭峙贫伎梢赃M(jìn)行整理，在手牌的位置發(fā)生變化，不改變每一張牌的種類、數(shù)字。混亂的手牌重新整理，是為了方便進(jìn)行分析結(jié)構(gòu)、拆分、聽牌面與進(jìn)張面，將跳躍拆分盡量減少，轉(zhuǎn)化為連續(xù)拆分等。

（2）平移相似性：所有數(shù)牌加減同一個(gè)整數(shù)t，形狀的結(jié)構(gòu)、拆分一定程度上不變，聽牌面、進(jìn)張面、改良面也一定程度加減整數(shù)t。

注：一定程度是因?yàn)閿?shù)牌的邊緣性問(wèn)題。不考慮數(shù)牌的邊緣性，可以舍去本詞。

如：兩面23同時(shí)加3，變?yōu)?6，仍然是兩面。聽牌面從1、4，變?yōu)?、7。

亞兩面2344，拆分結(jié)構(gòu)234+4/23+44，同時(shí)加3，變?yōu)?677，拆分結(jié)構(gòu)567+7/56+77，拆分結(jié)構(gòu)仍然是順子+單牌/兩面+對(duì)子的形狀。聽牌面從1、4，變?yōu)?、7。

這是因?yàn)楫?dāng)所有數(shù)牌都加減同一個(gè)數(shù)t時(shí)，并不會(huì)改變基本元素的定義。實(shí)際上，亞兩面你可以表示為{n，n，n+1，n+2}，n為任意數(shù)且n≥1，n+2≤9。

如果牌種類、數(shù)目不同的兩個(gè)形狀，結(jié)構(gòu)、拆分一定程度上不變，則稱它們?yōu)椤鞠嗨菩巍浚?/p>

稱5677是2344的【相似形】。

（3）翻轉(zhuǎn)相似性：所有數(shù)牌關(guān)于一個(gè)數(shù)t翻轉(zhuǎn)，即對(duì)任意數(shù)牌x，數(shù)字發(fā)生2t-x的變化，則形狀的結(jié)構(gòu)、拆分一定程度上不變，聽牌面、進(jìn)張面、改良面也一定程度變?yōu)?t-x。

如：亞兩面2344關(guān)于5翻轉(zhuǎn)為8766（10-2=8，10-3=7，10-4=6），即6678，拆分結(jié)構(gòu)仍然是順子+單牌/兩面+對(duì)子的形狀，聽牌面從1、4變?yōu)?、9。

這是因?yàn)楫?dāng)所有數(shù)牌都關(guān)于t翻轉(zhuǎn)時(shí)，并不會(huì)改變基本元素的定義。因此，6678也是2344的相似形。

由此，亞兩面應(yīng)當(dāng)表示為{n，n，n±1，n±2}，其中n為任意數(shù)并滿足每張牌在1-9之間。

然后給出對(duì)稱的一些定義：

1個(gè)順子：它就像一個(gè)長(zhǎng)3寬1固定的矩形，有縱向?qū)ΨQ軸。故對(duì)稱。

1個(gè)刻子：它就像一個(gè)長(zhǎng)1寬3固定的矩形，有縱向?qū)ΨQ軸。故對(duì)稱。

（不會(huì)考慮橫向?qū)ΨQ軸，因?yàn)槟窍喈?dāng)于把牌直接切成兩半，沒有意義）

1個(gè)對(duì)子、1個(gè)兩面、1個(gè)嵌張、1個(gè)邊張、1個(gè)單張同理，都是對(duì)稱的。

【中軸數(shù)】：對(duì)稱的麻雀形狀，處于縱向?qū)ΨQ軸的數(shù)稱作中軸數(shù)。

（《K神傳說(shuō)國(guó)標(biāo)麻將教程》）

【中軸數(shù)】不一定是整數(shù)。它是整數(shù)或者整數(shù)+0.5，簡(jiǎn)記Z和Z+0.5

例如：順子234的中軸數(shù)為3，刻子333的中軸數(shù)為3，對(duì)子33的中軸數(shù)為3，兩面34的中軸數(shù)為3.5，嵌張35的中軸數(shù)為4，邊張12的中軸數(shù)為1.5等等。

把麻雀形狀堆疊起來(lái)，既可能是對(duì)稱的，也可能是不對(duì)稱的，怎么不破壞對(duì)稱性呢？

1個(gè)順子：它就像一個(gè)長(zhǎng)3寬1固定的矩形，有縱向?qū)ΨQ軸。故對(duì)稱。

1個(gè)刻子：它就像一個(gè)長(zhǎng)1寬3固定的矩形，有縱向?qū)ΨQ軸。故對(duì)稱。

（不會(huì)考慮橫向?qū)ΨQ軸，因?yàn)槟窍喈?dāng)于把牌直接切成兩半，沒有意義）

1個(gè)對(duì)子、1個(gè)兩面、1個(gè)嵌張、1個(gè)邊張、1個(gè)單張同理，都是對(duì)稱的。

【中軸數(shù)】：對(duì)稱的麻雀形狀，處于縱向?qū)ΨQ軸的數(shù)稱作中軸數(shù)。（《K神傳說(shuō)國(guó)標(biāo)麻將教程》）

【中軸數(shù)】不一定是整數(shù)。它是整數(shù)或者整數(shù)+0.5，簡(jiǎn)記Z和Z+0.5

例如：順子234的中軸數(shù)為3，刻子333的中軸數(shù)為3，對(duì)子33的中軸數(shù)為3，兩面34的中軸數(shù)為3.5，嵌張35的中軸數(shù)為4，邊張12的中軸數(shù)為1.5等等。

把麻雀形狀堆疊起來(lái)，既可能是對(duì)稱的，也可能是不對(duì)稱的，怎么不破壞對(duì)稱性呢？

[3n]的堆疊

（1）【順子】的簡(jiǎn)化：更簡(jiǎn)單的，直接把順子考慮成一根【軸】（【中軸數(shù)】），那根【軸】的本身就是對(duì)稱軸。

1個(gè)順子：本身對(duì)稱。 2個(gè)順子：無(wú)論怎么堆疊也對(duì)稱。

3+個(gè)順子：

偶數(shù)個(gè)順子=偶數(shù)根軸（2、4個(gè)順子）：有偶數(shù)根【軸】在手牌【對(duì)稱軸】上，或者偶數(shù)根【軸】在手牌【對(duì)稱軸】左右兩側(cè)對(duì)稱分布。

奇數(shù)個(gè)順子=奇數(shù)根軸（3個(gè)順子）：有奇數(shù)根【軸】在手牌【對(duì)稱軸】上，剩下偶數(shù)根【軸】在手牌【對(duì)稱軸】左右兩側(cè)對(duì)稱分布。

奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)。

對(duì)稱分布：【對(duì)稱軸】?jī)蓚?cè)【軸】個(gè)數(shù)相等、對(duì)應(yīng)的一對(duì)【軸】距離也相等。

（2）【刻子】的簡(jiǎn)化：更簡(jiǎn)單的，直接把刻子考慮成一根【軸】（【中軸數(shù)】），那根【軸】的本身就是對(duì)稱軸。

【刻子】并不能堆疊，一種牌只能有一個(gè)【刻子】。

1個(gè)刻子：本身對(duì)稱。

偶數(shù)個(gè)刻子=偶數(shù)根軸（2、4個(gè)刻子）：偶數(shù)根【軸】在手牌【對(duì)稱軸】左右兩側(cè)對(duì)稱分布。

奇數(shù)個(gè)順子=奇數(shù)根軸（3個(gè)刻子）：1根【軸】在手牌【對(duì)稱軸】上，剩下偶數(shù)根【軸】在手牌【對(duì)稱軸】左右兩側(cè)對(duì)稱分布。

[3n+1]的堆疊

（1）雀頭+順搭的情況

這個(gè)搭子若是【順搭】：一個(gè)聽牌形最多一個(gè)順搭，若不破壞手牌的整體對(duì)稱性，那么有兩種情況：

(i)【順搭】放在【對(duì)稱軸】上，使搭子的【中軸數(shù)】等于手牌的【中軸數(shù)】。

雀頭=對(duì)子，只有一個(gè)，必須放在【中軸數(shù)】上。

兩面、邊張的【中軸數(shù)】并不是Z，而是Z+0.5，但是雀頭的【中軸數(shù)】是整數(shù)，手牌的【中軸數(shù)】不可能既是Z，又是Z+0.5。所以雀頭+兩面，雀頭+邊張是不可能使手牌對(duì)稱的。則對(duì)稱的手牌你無(wú)法拆出（雀頭+兩面）和（雀頭+邊張）。

嵌張的【中軸數(shù)】是整數(shù)，所以可以使手牌對(duì)稱，如2334=24+33。因此嵌張要夾著【中軸數(shù)】。

(ii)【順搭】不在【對(duì)稱軸】上，這時(shí)只有一種情況，即【兩面】+【順子】連接為【三面】，且中間的牌為【中軸數(shù)】，雀頭也在中間的牌。

如：3455567=34567+55

注：關(guān)于本情況，在對(duì)稱性（2）會(huì)繼續(xù)講述。

（2）雀頭+對(duì)子的情況

這個(gè)搭子若是【對(duì)子】：組成雙碰。

此時(shí)對(duì)子有兩個(gè)，要么都在【中軸數(shù)】上，形成【手牌杠子】（但此時(shí)若聽牌則是虛聽）；要么在【中軸數(shù)】?jī)蓚?cè)對(duì)稱的分布。

此時(shí)手牌的中軸數(shù)可能是Z，也可能Z+0.5。如果2個(gè)對(duì)子是兩奇或者兩偶，那么是整數(shù)，如果2個(gè)對(duì)子是一奇一偶，那么是整數(shù)+0.5。

（3）單釣的情況

單釣牌只有一張，所以必須在【中軸數(shù)】上。也就是說(shuō)在單釣的情況下一定單釣【中軸數(shù)】。

定理16：奇數(shù)張對(duì)稱的形狀，中軸數(shù)一定為整數(shù)K，且中軸數(shù)必然有1張或者3張。

證明：設(shè)該形狀有2n+1張牌，且中軸數(shù)為K。若中軸數(shù)K一張都沒有，由定義則2n+1張牌必然對(duì)稱分布在K的兩側(cè)，因此兩側(cè)的牌，數(shù)目相等。然而2n+1不整除2，因此矛盾。

中軸數(shù)K無(wú)論有多少?gòu)?，都不影響中軸數(shù)的變化。設(shè)中軸數(shù)為K，其他牌為K-x1,K-x2...，x1,x2為正整數(shù)，由對(duì)稱性可知，手牌也必然有K+x,K+x2...

則（K-x1）+（K-x2）+...=（2n+1）K，且滿足（K-x1）+（K-x2）+.../（2n+1）=K，中軸數(shù)仍然為K。

（2n+1）K不是整數(shù)，意味著2n+1張牌總和不是整數(shù)，然而麻將中2n+1張牌每張牌都是整數(shù)，總和是整數(shù)。故矛盾。

設(shè)中軸數(shù)K有k張牌，k=1，2，3，4，則2n+1-k張牌必然對(duì)稱分布在K的兩側(cè)。（2n+1-k）/2=n+（1-k）/2為整數(shù)，因?yàn)閚是整數(shù)，因此（1-k）/2是整數(shù)，k=1或3

定理17（和牌翻轉(zhuǎn)對(duì)稱原理）：若和牌形A發(fā)生翻轉(zhuǎn)對(duì)稱為形狀B，則形狀B也是和牌形。

證明：以和牌形n,n,n+1,n+2,n+3為例，若關(guān)于t翻轉(zhuǎn)對(duì)稱，則變?yōu)椋?t-n）（2t-n）（2t-n-1）（2t-n-2）（2t-n-3）。

由形狀的翻轉(zhuǎn)相似性，結(jié)構(gòu)、拆分一定程度上不變，雀頭仍然是雀頭，順子仍然是順子，刻子仍然是刻子，故滿足和牌形要求。

定理18（聽牌鏡面對(duì)稱原理）：若聽牌形關(guān)于中軸數(shù)對(duì)稱，那么聽牌面也一定程度關(guān)于中軸數(shù)對(duì)稱。

證明：設(shè)形狀最小牌為K-y，最大牌為K+y，若形狀聽牌K-x，不妨將K-x加入成為和牌形。

將和牌形牌關(guān)于K翻轉(zhuǎn)對(duì)稱，即令任意牌發(fā)生2K-（K+y）的變化，由和牌翻轉(zhuǎn)對(duì)稱原理，它是和牌形。

此時(shí)K-x變?yōu)镵+x，去掉K+x后手牌形狀與原來(lái)相同，因此原聽牌形也一定聽K+x。

進(jìn)一步的，聽牌鏡面對(duì)稱原理也可以嚴(yán)格寫為：若聽牌形關(guān)于中軸數(shù)K對(duì)稱，則對(duì)K、x均為整數(shù)，對(duì)K-x≥1，若手牌聽K-x，只要K+x≤9，那么K+x也是聽牌面。對(duì)K+x≤9，若手牌聽K+x，只要K-x≥1，那么K-x也是聽牌面。

未完待續(xù)...