近期，根據(jù)作家劉慈欣同名科幻小說改編的電視劇《三體》熱播，宏大的內(nèi)容敘事、高燃硬核的科幻設(shè)定、危險(xiǎn)幽深的宇宙觀念......無一不令人熱血澎湃，作為高中熬夜讀小說的三體粉，筆者自然不會(huì)錯(cuò)過。

“三體”名稱來源于“三體問題”，劇中借怪才數(shù)學(xué)家魏成之口對(duì)這一概念進(jìn)行了解釋，筆者高中時(shí)期對(duì)書中場(chǎng)景的漫天想象也隨著劇中魏成的描述逐漸清晰。

本期，我們就從科學(xué)的角度了解一下三體問題，并基于MWORKS.Sysplorer對(duì)三體問題展開一些仿真工作。

1? 三體問題

“什么是三體問題，科學(xué)家又是如何圍繞這一課題展開研究的？”這是一個(gè)有著四百年歷史的數(shù)學(xué)問題，其根源在于模擬“日-地-月”系統(tǒng)的失敗嘗試。1885年，學(xué)數(shù)學(xué)出身的瑞典國(guó)王奧斯卡二世贊助了一場(chǎng)有獎(jiǎng)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，競(jìng)賽的題目是4個(gè)數(shù)學(xué)難題，其中之一便是多體問題——求解太陽系的運(yùn)動(dòng)問題。這一難題從牛頓時(shí)代提出直到競(jìng)賽發(fā)布之時(shí)，在學(xué)術(shù)界始終無人能攻克。

實(shí)際上這是一個(gè)N體問題，即在三維空間中給定N個(gè)質(zhì)點(diǎn)，如果在質(zhì)點(diǎn)之間只有萬有引力的作用，在給定初始位置和速度的條件下，它們會(huì)怎樣運(yùn)動(dòng)。法國(guó)科學(xué)家亨利·龐加萊將對(duì)問題進(jìn)行了簡(jiǎn)化，只考慮三個(gè)星體，這就是著名的“三體問題”。

2??混沌系統(tǒng)

1887年，德國(guó)數(shù)學(xué)家Heinrich Bruns指出，尋找三體問題的通解注定是做無用功，只在特定條件下成立的特解才可能存在。依據(jù)這一思路，科學(xué)家們重新審視“三體問題”，找到了三類特解：拉格朗日點(diǎn)特解（提出者：歐拉和拉格朗日），布魯克-赫農(nóng)族特解（提出者：羅杰·布魯克和米歇爾·赫農(nóng)），以及“8”字形族特解（提出者：克里斯·摩爾）。2013年，貝爾格萊德大學(xué)的Milovan ?uvakov和Veljko Dmitra?inovi?兩位科學(xué)家，利用計(jì)算機(jī)模擬從現(xiàn)有的特解出發(fā)，調(diào)整初始條件直到新類型的軌道能具體化，將特解總數(shù)增加到16類。

科學(xué)家們研究后發(fā)現(xiàn)，在給定的初始條件下，當(dāng)時(shí)間趨于無窮時(shí)，幾乎無法預(yù)測(cè)三體軌道的最終命運(yùn)。這種對(duì)于軌道的長(zhǎng)時(shí)間行為的不確定性，目前學(xué)界稱之為混沌(chaos)現(xiàn)象。

由于三體問題沒有顯示解，即無法根據(jù)給定的時(shí)刻確定狀態(tài)，因此科學(xué)家尋找特解也是基于數(shù)值算法，即根據(jù)當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)遞推下一時(shí)刻的狀態(tài)。在這個(gè)遞推過程中，由于計(jì)算機(jī)計(jì)算方式存在誤差，因此遞推的時(shí)間越長(zhǎng)，誤差會(huì)越大，可能會(huì)導(dǎo)致結(jié)果完全偏離。也就是說，初始值的細(xì)微差別可能會(huì)使得混沌系統(tǒng)數(shù)值求解產(chǎn)生完全不同的結(jié)果。

3? 三體系統(tǒng)建模與仿真

同元軟控自主研發(fā)的系統(tǒng)建模仿真環(huán)境MWORKS.Sysplorer具有完整的系統(tǒng)建模、編譯分析、求解計(jì)算、后處理等功能，且編譯求解內(nèi)核達(dá)到國(guó)際先進(jìn)水平。我們基于MWORKS.Sysplorer平臺(tái)，利用天體引力場(chǎng)模型庫快速建立三體運(yùn)動(dòng)模型，研究初值對(duì)混沌系統(tǒng)數(shù)值求解的影響。

首先，建立三體運(yùn)動(dòng)模型，有以下假設(shè)：

• 不考慮天體形狀，將天體均簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)；

• 考慮引力場(chǎng)為質(zhì)點(diǎn)引力場(chǎng)；

天體引力場(chǎng)模型庫提供質(zhì)點(diǎn)引力場(chǎng)、球諧引力場(chǎng)、多面體引力場(chǎng)模型，在此選用質(zhì)點(diǎn)引力場(chǎng)模型，計(jì)算原理即為萬有引力公式：

式中：

F為天體受到的萬有引力矢量；

G為萬有引力常數(shù)；

M為中心天體質(zhì)量；

m為第二天體質(zhì)量；

R為第二天體相對(duì)中心天體的相對(duì)位置矢量；

r為兩天體中心距離；

根據(jù)三體之間的兩兩相互間作用力構(gòu)建三體系統(tǒng)模型，如圖1所示。

通過設(shè)置三個(gè)天體的質(zhì)量、慣性系下初始位置、慣性系下初始速度，進(jìn)行仿真，分析三個(gè)天體的運(yùn)動(dòng)軌跡。

與貝爾格萊德大學(xué)的Milovan ?uvakov和Veljko Dmitra?inovi?兩位科學(xué)家研究路線相似，首先我們考慮一個(gè)特解情況，即三個(gè)天體質(zhì)量相等、在直線上對(duì)稱分布。

仿真的三個(gè)天體運(yùn)行軌跡如圖2所示，三個(gè)天體的運(yùn)行軌跡形成首尾相連的“8”字形。

我們考慮另一個(gè)特解情況，即三個(gè)天體質(zhì)量相等、在空間中成三角形對(duì)稱分布，仿真的三個(gè)天體運(yùn)行軌跡如圖3所示，三個(gè)天體運(yùn)行軌跡接近一個(gè)圓。

其他初始條件不變的情況下，我們?cè)龃笕齻€(gè)天體的初始慣性系速度，系統(tǒng)仍在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定，仿真的三個(gè)天體運(yùn)行軌跡如圖4所示，三個(gè)天體運(yùn)行軌跡形成橢圓。

我們?cè)龃笕齻€(gè)天體的質(zhì)量差，設(shè)置慣性系下初始速度，經(jīng)過反復(fù)嘗試穩(wěn)定的三個(gè)天體運(yùn)行軌跡如圖5所示。

繼續(xù)增大三個(gè)天體的質(zhì)量差，設(shè)置初始速度，模擬“日-地-月”系統(tǒng)，經(jīng)過反復(fù)嘗試穩(wěn)定的運(yùn)行曲線三個(gè)天體運(yùn)行軌跡如圖6所示。

經(jīng)過仿真過程中的不斷調(diào)試，筆者對(duì)三體問題的混沌性及計(jì)算機(jī)數(shù)值求解時(shí)初始值的重要性有了更深刻的認(rèn)識(shí)。以下為調(diào)試過程中出現(xiàn)的多種三體不穩(wěn)定狀態(tài)曲線：

在MWORKS中三體系統(tǒng)模型設(shè)置初始值的方式可直接通過設(shè)置狀態(tài)變量的初值，選擇三個(gè)天體的位置、速度為狀態(tài)變量。例如圖8為設(shè)置天體1的狀態(tài)變量。

設(shè)置天體1的初始位置和速度如圖9所示。

【小貼士】在輸入初值參數(shù)時(shí)，右側(cè)提供“設(shè)置fixed屬性”的小圖釘，在未設(shè)定狀態(tài)變量而又期望初始值設(shè)置生效時(shí)，非常有幫助。?

4? 小結(jié)

基于本篇文章我們了解到了三體問題的由來、發(fā)展和混沌現(xiàn)象，并基于MWORKS.Sysplorer針對(duì)三體問題的特定情況建立了系統(tǒng)模型進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了不同初始狀態(tài)對(duì)三體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的重大影響。理論上，通過“基于MWORKS.Sysplorer從現(xiàn)有特解出發(fā)進(jìn)行仿真模擬，不斷調(diào)試初始條件直到新類型的軌道能具體化”方法，我們也可以發(fā)現(xiàn)三體的特解，為三體問題的科學(xué)進(jìn)步作出貢獻(xiàn)。

感興趣的小伙伴可以利用MWORKS.Sysplorer進(jìn)行仿真計(jì)算，一起開展三體運(yùn)動(dòng)研究，解救三體人于水深火熱之中~