前面推導(dǎo)了笛卡爾坐標(biāo)系下的拉普拉斯方程解，后面會研究一下這些解的存在性和基本行為（性質(zhì)）

備注6.2 存在性

方程6.4是十分不精準(zhǔn)的，對于m=0和n=0?就僅存在一個系數(shù)（?or ）；其他都被舍棄了。對于m=0或n=0，一系列也被舍棄了。

訓(xùn)練6.1：把解重新代入微分方程檢查

?

• 平面行為

拉普拉斯方程的解并不是邊值問題的解。這組解知識給出了以基函數(shù)表示的位在外部空間的一系列行為或者特性 （It only gives us the behavior of the potential ?in outer space in terms of base functions）.對于平面域（horizontal domain）或者說水平域，基函數(shù)是正弦和余弦。因此，位勢在水平域（水平面）是傅里葉級數(shù)。n和m是波數(shù)。它們越高，波長越短。

• 垂直行為

垂直方向的基函數(shù)被稱為上延拓 （upward continuation），因?yàn)樗鼈兠枋隽宋辉诖怪狈较虻男袨?。它們要么具有衰減(damping)的效果(-z*項(xiàng))，要么就有增強(qiáng)(amplifying)的效果（z*項(xiàng) ）。顯然，這種效果取決于波數(shù)n和m。波數(shù)越大，波長越短，這兩組效應(yīng)越強(qiáng)，換而言之，衰減越厲害，增強(qiáng)越厲害。相應(yīng)的，你可以把向上延拓看作一個低通或者高通濾波

下圖為原書關(guān)于低通濾波的例子