2.5.3線性和非線性

首先說明什么是線性系統(tǒng)。比如兩個同學稱體重，兩個人的總重量是他們各自體重之和，他們的體重不會相互影響，即整體等于部分之和，這是線性系統(tǒng)的第一個關鍵特性；線性系統(tǒng)的第二個特性是，原因與結(jié)果成正比，想象一下你用腳踢球的情形，我們忽略空氣阻力，如果你用F的力來踢球，球運動的直線距離是x，如果你用2F的力來踢球，球運動的直線距離應該是2x。即原因和結(jié)果成正比。滿足這兩個特性（整體等于部分之和，原因和結(jié)果成正比）的系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)。

然而自然界的很多事情都比踢球復雜得多。當系統(tǒng)的各個部分相互干擾、合作或競爭時，就會發(fā)生非線性的相互作用[11]。大部分日?；顒佣际欠蔷€性的，比如你同時聽兩首最喜歡的歌，你不會得到雙倍的快樂。你左眼看英語，右眼看高數(shù)，你也不會得到雙倍的知識。

非線性讓世界變得豐富多彩、美妙而復雜，還常常不可預測，而CFD恰恰是研究非線性。

那么，什么是（非）線性微分方程呢？

簡單得說，線性微分方程是指未知函數(shù)及其各階導數(shù)都是一次冪，且未知函數(shù)及其各階導數(shù)互不摻混的微分方程，否則稱其為非線性微分方程。線性微分方程需要滿足以下性質(zhì)：

1.? 只能出現(xiàn)自變量、函數(shù)本身，以及函數(shù)的任何階次的導函數(shù)；

2.? 函數(shù)本身跟所有的導函數(shù)之間除了加減之外，不可以有任何其他運算（比如乘除、平方、開根號等）；

3.? 函數(shù)本身跟函數(shù)本身，各階導數(shù)本身跟各階導數(shù)本身，都不可以有加減之外的運算；

4.? 不允許對函數(shù)本身、各階導數(shù)做任何形式的復合運算，例如siny、cosy、tany、lny、y^2、y^3、y^x、e^y。

若一個微分方程不滿足上述要求，則是非線性微分方程。

我們舉例說明，例如

方程中y、y'、y''、y'''的最高次冪都是1，且沒有出現(xiàn)y、y'、y''、y'''（未知函數(shù)及其各階導數(shù)）之間的相互摻混（乘除、冪方、開根號等）。雖然函數(shù)y和導數(shù)y'、y''、y'''、前面出現(xiàn)了x、sin(x)、ln(x)等自變量的復合形式，但都是允許的。所以以上方程都是線性微分方程。

反之：

方程中y、y'、y''、y'''的最高次冪次要么不再都是1，要么出現(xiàn)了y、y'、y''、y'''（未知函數(shù)y及其各階導數(shù)）之間的相互摻混（乘除、冪方、開根號等）。所以以上方程都是非線性微分方程。

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我們經(jīng)常說N-S方程是非線性偏微分方程，學完上面的知識，我們自己來判定一下。

方程中出現(xiàn)了自變量x、y、z、t，自變量的個數(shù)有4個，所以是偏微分方程。同時方程中出現(xiàn)了函數(shù)u與其對應導數(shù)

的乘積，比如

函數(shù)u和其一階導數(shù)

乘在了一起，所以是非線性。綜合起來，就叫作非線性偏微分方程。