上篇文章我們初步講解了關(guān)于行列式的內(nèi)容，今天我們來(lái)了解一下特殊的行列式，矩陣，伴隨矩陣以及逆矩陣。

行列式與矩陣?

一、特殊的行列式

特殊的行列式分別為：上三角型行列式、下三角型行列式、范德蒙型行列式、爪型行列式及拉普拉斯行列式

1.1 上三角行列式

上三角行列式是以主對(duì)角線為分割，在對(duì)角線的一側(cè)全為0。上三角型行列式的值為對(duì)角線元素相乘。

1.2 下三角行列式

下三角行列式是以次對(duì)角線為分割，在對(duì)角線的一側(cè)全為0。

1.3 拉普拉斯行列式

拉普拉斯行列式可以看做是一個(gè)復(fù)合型行列式，通常的行列式元素是數(shù)字，在拉普拉斯行列式中元素是一個(gè)新的行列式。

在下圖中，A，B，0，C，D都是行列式m和n分別是A和B的階數(shù)

1.4?范德蒙行列式

范德蒙行列式特點(diǎn)是第一行全為1，第三行開(kāi)始都是第二行的幾次方。在計(jì)算中范德蒙行列式只需要將第二行從右到左依次減一遍相乘即可。

1.5?爪型行列式

爪型行列式一般會(huì)通過(guò)行列式的性質(zhì)將每一行加到第一行（將每一列加到第一列）提出公因數(shù)再消掉第一行（第一列）的1，之后通過(guò)展開(kāi)式或者變換為上三角（下三角）型來(lái)完成計(jì)算。

二、矩陣

2.1 矩陣的概念：矩陣是一個(gè)n行m列的表格。

在矩陣學(xué)習(xí)的過(guò)程中一定要和行列式區(qū)分開(kāi)。行列式是n行n列的，是一個(gè)數(shù)字。矩陣和行列式可以看做是一個(gè)包容的關(guān)系，行列式是矩陣的一個(gè)屬性。

屬性不難理解，比如游戲中人物擁有智力，武力，生命值等等的屬性，屬性是描述一個(gè)物體的形容詞，是物體生而具備的某種特性。

行列式就是矩陣的一種屬性，所以我們?cè)趯W(xué)習(xí)矩陣時(shí)常會(huì)聽(tīng)到這樣的名詞“n階子式”，“矩陣的行列式”這都是在說(shuō)矩陣的一部分或者是特殊矩陣的整體。

比如下圖就是一個(gè)三行兩列的矩陣，紅色部分就是一個(gè)二階子式。因?yàn)榫仃嚤旧聿环蟦行n列所以沒(méi)有行列式，但是可以通過(guò)選取的方式來(lái)找一個(gè)子式。

特殊地，如果一個(gè)矩陣是n行n列我們就把他叫做方陣，方陣本身就可以用來(lái)求其對(duì)應(yīng)的行列式的值。

2.1.1 單位矩陣 E：

單位矩陣是矩陣運(yùn)算中的基本元，在運(yùn)算過(guò)程中常需要單位矩陣作為轉(zhuǎn)換工具來(lái)使用，單位矩陣主對(duì)角線為1，其余位置全為0。

2.1.2 矩陣的計(jì)算：

矩陣的加減：對(duì)應(yīng)元素進(jìn)行加減

矩陣的乘法：前矩陣的行乘以后矩陣的列然后相加

2.2 伴隨矩陣（只有方陣才具有伴隨矩陣）A*：

伴隨矩陣是一個(gè)非常好解釋的內(nèi)容，但是在做題過(guò)程中需要充斥比較多的計(jì)算。伴隨矩陣的生成步驟共有兩步：

a. 求所有元素的代數(shù)余子式

b. 將按行求的代數(shù)余子式按列排放。

總結(jié)：按行求，按列放。

2.3?逆矩陣（只有方陣具備逆矩陣）：

n階方陣A ，若存在同階矩陣B，使得AB = BA = E。那么就稱B為A的逆矩陣，記做A^-1（以后都稱為A逆）

要注意不是所有的方陣都具有逆矩陣哈，只有行列式不等于0的方陣才是可逆的。如果一個(gè)方陣可逆，那么其逆陣是唯一的。

二、矩陣的各種性質(zhì)及特殊矩陣的計(jì)算方法

2.1 矩陣的性質(zhì)及注意事項(xiàng)

• 2.1.1 n階矩陣 |A| = |A的轉(zhuǎn)置

• 2.1.2 |AB| = |A| *?|B|? AB為同階

• 2.1.3 AB 不等于 BA??☆重點(diǎn)

• 2.1.4 AE = A? ? ??EB = B? 矩陣與單位矩陣相乘結(jié)果為矩陣本身

• 2.1.5 （AB）C = (AC)B? ? ? ? ? ?(A+B)C = AC + BC? ? ? ? ? ? K(AB) = (KA)B = A(KB)

• 2.1.6 AB = 0 不能推出 A = 0或者B = 0??

• 2.1.7（A+B）^2 = A^2 + AB + BA + B^2? 不等于??A^2 + 2AB?+ B^2? ??☆重點(diǎn)

• 2.1.8矩陣的轉(zhuǎn)置是行列互換 記做A^T

• 2.1.9? (A^T)^T = A

• 2.1.10? ?(A+B)^T = A^T + B^T

• 2.1.11? (AB)^T = B^T * A^T? ??☆重點(diǎn)

• 2.1.12? (kA)^T = 1/K * A^T? k為常數(shù)? 常數(shù)的轉(zhuǎn)置就是倒數(shù)

• 2.1.13 A X A* = A* X A = |A|E? ☆重點(diǎn)

• 2.1.14 |AA*| = ||A|E|

• 2.1.15 若|A|不等于0，|A| X |A*| = |A|^n?

• 2.1.16 A X A^-1 = E? ? ☆重點(diǎn)

• 2.1.17 |AA^-1| = |E| = 1

• 2.1.18 |A^-1| = 1 / |A|? ? ??☆重點(diǎn)

以上就是今天的知識(shí)分享，希望同學(xué)們學(xué)習(xí)進(jìn)步?！竟P芯】

下集預(yù)告：逆矩陣的求法，經(jīng)典習(xí)題及解題步驟