書上面的一些知識點以及對應的題型，本人就不在文章里面贅述了。如有不懂的，可以看各大學習區(qū)up主的視頻課程，這里也給大家推薦一個，可以去跟著學學。

雖然是人教A版，但是都不影響，找準自己想看的章節(jié)內(nèi)容就好。

01 分數(shù)與小數(shù)的互相轉(zhuǎn)化

我們初中就知道，整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，初中階段開始便很少使用小數(shù)了，但是小數(shù)在日常生活中的應用還是很廣泛的。所以這里教大家一下分數(shù)與小數(shù)如何互相轉(zhuǎn)化，當做一個生活常識看待就好，考試的話未必用的上。

在說轉(zhuǎn)化之前，先復習一下分數(shù)和小數(shù)的關(guān)系。小數(shù)分為三種：有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)、無限不循環(huán)小數(shù)。其中無限不循環(huán)小數(shù)指的就是無理數(shù)了，所以是不能寫成分數(shù)的樣子的。我們只考慮分數(shù)和有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)之間的轉(zhuǎn)化。

（I）分數(shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)：非常簡單，用分子除以分母即可。能除盡的就是有限小數(shù)，除不盡的就是無限循環(huán)小數(shù)。所以才說分數(shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)非常簡單，會算除法就會轉(zhuǎn)化。

（II）有限小數(shù)轉(zhuǎn)化為分數(shù)：也很簡單。有幾位小數(shù)，分母就寫10的幾次方，小數(shù)部分直接當做分子，這樣我們就把有限小數(shù)對應的分數(shù)寫出來了。當然了，分子分母上下能約分的還是必須要約分才行。例如：

（III）無限循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分數(shù)：這里我們介紹一種簡單的方法。（此方法從數(shù)學的角度來說并不嚴謹，但是使用起來卻很方便）

我們來看如下幾個例題：

① 將化為分數(shù)：

② 將化為分數(shù)：

通過上面的例子，我們不難發(fā)現(xiàn)想要把無限循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分數(shù)，也不是什么難事。循環(huán)節(jié)有幾位就在分母寫幾個9，然后再把循環(huán)節(jié)本身寫在分子上就好了。

我們可以利用這個方法，輕松地將化為分數(shù)：

當然，像是這樣的數(shù)也一樣能輕松地化為分數(shù)：

順便說一下，下面這個事實也可以用我們這個簡單而不嚴謹?shù)姆椒ㄋ愠鰜恚?/p>

當然了，這個是有嚴格證明的方法的，詳情見下面的這個視頻。

02 集合的元素多種多樣

集合的元素是多種多樣的。例如 {蘋果，梨，香蕉} 就是一個集合，{數(shù)學，語文} 也是一個集合…… 只不過在高中階段更傾向于研究數(shù)集而已。

研究集合的時候，一定看好這個集合是由什么構(gòu)成的，是實數(shù)構(gòu)成的數(shù)集，還是點構(gòu)成的點集……

因為 A 集合是由實數(shù) x 構(gòu)成的集合，而且 x 得使后面的表達式有意義才行。所以

同理，B 集合是由實數(shù) y 構(gòu)成的集合，而且 y 的范圍同樣得適配后面的表達式。所以

C 集合是由二維平面的點 (x,y) 構(gòu)成的集合，不同于 A 集合與 B 集合是數(shù)集，C 集合是點集，表示的是橫縱坐標滿足后面表達式的所有的點的集合。即 C 集合表示的是函數(shù)?的圖像上的所有的點。

雖然上述這三個集合的特征性質(zhì)長得一樣，但是由于前面的元素形式不同，導致這三個集合是不同的集合。

當然，集合的元素也可以是集合！例如

其中正確的有 (1) (2) (4) (5) (8) (9) (12).

其實解釋起來很簡單，由集合與元素的關(guān)系可知 (1) (5) (9) 是正確的，從而可以推出 (4) (8) (12) 也是正確的，再加上空集是任何集合的子集，所以 (2) 也是正確的。

03 并集元素個數(shù)

設(shè)有限集? 所含元素個數(shù)用??表示，并規(guī)定?.

很明顯，若?，則必有?.

(I) 兩個集合求并集元素個數(shù)

兩個集合求并集個數(shù)非常好求，可能小學學奧數(shù)的時候就已經(jīng)知道這個結(jié)論了。由于集合少，所以畫圖就可以非常清晰地看出來結(jié)果，下面也給出了簡要的計算過程。

(II) 三個集合求并集元素個數(shù)

雖然集合只有三個，也不算多，但是明顯被分成了7個部分，難度瞬間上升。但是只要足夠仔細，也是能算得清的。

(III) n個集合求并集元素個數(shù)

我們已經(jīng)給出了兩個集合、三個集合的這兩種情況了，很明顯，集合越多結(jié)果越復雜。所以這里給出一個這類問題的通用解決方法：

當然了，如果不認識求和符號??的同學可能也看不懂上面的公式，不過也沒關(guān)系，之后到統(tǒng)計概率那章學會了求和符號以后，在看這個公式就能看懂了。

04 集合運算公式

集合之間的運算公式非常多，書上只是羅列了幾種基礎(chǔ)的，在這里補充一些，也許某一天就用得上了呢。

(I) 結(jié)合律

(II)分配率

(III)交集、并集與原集合的大小關(guān)系

(IV)子集與補集的關(guān)系

(V)德·摩根定律

熟練地記憶并運用這些公式，會起到事半功倍的效果。