大家好，今天老碧和大家一起繼續(xù)品讀這本數(shù)學(xué)名著——每天五分鐘，數(shù)學(xué)更輕松！——數(shù)學(xué)這么好玩，咱們先玩一會(huì)兒再學(xué)習(xí)也不遲！

上期提到：

“完備性”是“實(shí)數(shù)”完全不同于“有理數(shù)”的一個(gè)性質(zhì)。

——所以，由此可以導(dǎo)出許多“實(shí)數(shù)”獨(dú)有的定理，比如我們今天要聊的“確界原理”。

11數(shù)集的界

書上先定義了，什么叫做“數(shù)集的界&確界”——

如果對(duì)于一個(gè)數(shù)集來(lái)說(shuō)，存在一個(gè)數(shù)M，使得這個(gè)數(shù)集中的任何數(shù)都比M小，則M是這個(gè)數(shù)集的上界——比如，10大于sin n（n為所有自然數(shù)）組成的集合S，10就是S的上界，同理，所有大于10的數(shù)都是S的上界，顯而易見(jiàn)，（由阿基米德公理）上界是有無(wú)窮多個(gè)的；

類似的，對(duì)于一個(gè)數(shù)集來(lái)說(shuō)，存在一個(gè)數(shù)m，使得這個(gè)數(shù)集中的任何數(shù)都比m大，則m是這個(gè)數(shù)集的下界——比如，0小于1/z（z為所有正整數(shù)）組成的集合Z，0就是Z的下界，同理，所有負(fù)數(shù)也是Z的下界，顯而易見(jiàn)，（由阿基米德公理和正數(shù)負(fù)數(shù)的對(duì)稱性）下界是有無(wú)窮多的；

廣義的上界和下界可以包含“無(wú)窮大”——眾所周知，無(wú)窮大有三種：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大，無(wú)窮大——在數(shù)集的界中我們只使用到前兩種。

特別的，最小的上界稱為“上確界”，最大的下界稱為“下確界”。

顯然，這兩個(gè)數(shù)是很具有特殊意義的，比方說(shuō)，有上界的數(shù)集，上界顯然沒(méi)有最大值，那么最小值的存在性就值得思考了。

于是就引出了一個(gè)自然的討論，一個(gè)有（有限數(shù)）上界的數(shù)集是否一定有上確界？

答案是肯定的，也就是我們要聊的“確界原理”，這個(gè)定理的證明方法也有很多，書上采用“實(shí)數(shù)分劃”的方法——

分兩種情況討論（以“有上界的數(shù)集”為例，“有下界的數(shù)集”同理可證）：

1.數(shù)集有最大數(shù)——

在這種情形下，很容易證明，這個(gè)最大數(shù)就是我們要求的“上確界”：

1. 已知數(shù)集X中最大數(shù)為x，即X中任意數(shù)x<=x，由上界定義可知，x是X的一個(gè)上界；

2. 因?yàn)?strong>x是X中最大數(shù)，即X的元素之一，故對(duì)于任意X的上界M，x<=M；

3. 綜合1、2，x是X的最小上界，即“上確界”。

2.數(shù)集無(wú)最大數(shù)——

這里就用到了，我們?cè)贓p19~20介紹的一個(gè)新的工具——“實(shí)數(shù)分劃”——

1. 對(duì)有上界無(wú)最大值的數(shù)集X，構(gòu)造一個(gè)“實(shí)數(shù)分劃”滿足：a.X的所有上界a歸為上組，b.余下的數(shù)，即X中的數(shù)，以及，如果有比X中的數(shù)小的數(shù)，都?xì)w為下組；

2. 因?yàn)閄中無(wú)最大值，所以由“實(shí)數(shù)分劃”性質(zhì)，上組有最小值，即為界數(shù)，記為a，所以對(duì)于上組中的任意數(shù)a，a<=a；

3. 由“實(shí)數(shù)分劃”的定義，對(duì)于任意下組的數(shù)必然小于上組的數(shù)，X的任意元素x屬于下組，a為上組的最小值，則X的任意元素x<=a，即a為X的上界之一；

4. 結(jié)合2、3，可知，“實(shí)數(shù)分劃”的界數(shù)a即為數(shù)集X的上確界。

對(duì)有下界的數(shù)集我們的證明方法類似。

——這樣我們就證明了，《數(shù)學(xué)分析》課程中第一個(gè)重要定理——“確界原理”——非空有上界的數(shù)集必有上確界；非空有下界的數(shù)集必有下確界。

易知，任何一個(gè)數(shù)集的上確界必然滿足以下兩個(gè)性質(zhì)——

意思是，對(duì)于數(shù)集X的上確界M，必然滿足——

1. 對(duì)任意X中的元素x，x<=M；

2. 對(duì)于任意小于M的數(shù)a，都存在至少一個(gè)X中的元素x'>a；

   ——第二條性質(zhì)常常表述為——

   對(duì)于任意小數(shù)e，總存在X中的至少一個(gè)元素x'>M-e。

這兩個(gè)性質(zhì)也是在《數(shù)學(xué)分析》課程中一而再再而三三而四……用到的性質(zhì)，基本上如果看到任何一道題目給出了這個(gè)信息——無(wú)論是直接說(shuō)了“有界”兩個(gè)大字，還是能看出來(lái)“有界”這個(gè)條件，往往就會(huì)用到這兩個(gè)性質(zhì)作為證明中的重要線索。

類似的，任何一個(gè)數(shù)集的下確界也必然滿足以下兩個(gè)性質(zhì)——

即，對(duì)于數(shù)集X的下確界m，必然滿足——

1. 對(duì)任意X中的元素x，x>=m；

2. 對(duì)于任意大于m的數(shù)b，都存在至少一個(gè)X中的元素x'<b；

   ——第二條性質(zhì)常常表述為——

   對(duì)于任意小數(shù)e，總存在X中的至少一個(gè)元素x'<m+e。

X的上確界和下確界，常用符號(hào)sup X和inf X來(lái)表示。

書中最后介紹了一個(gè)在《數(shù)學(xué)分析》課程中簡(jiǎn)單但是會(huì)很常用的推斷——

即——如果數(shù)集X中的任意元素x<=M——M是X的一個(gè)上界——則sup X<=M。

類似的，廣義的上確界和下確界，包含無(wú)窮大。

今天就聊到這里！