題目:如圖1,在銳角△ABC中,M是邊BC中點,點P在△ABC內(nèi),使得AP平分∠BAC.直線MP與△ABP,△ACP的外接圓分別相交于不同于點P的兩點D,E.

求證:若DE=MP,則BC=2BP.

思考過程:DE=MP是核心條件,但DE和MP相互轉(zhuǎn)化比較困難.因此將DE=MP翻譯為DP=EM.

假設(shè)結(jié)論成立,逆推得到BP=BM=CM,∠BPD=∠PMC.

很容易想到連接BD,EC(如圖2)

去證明△BPD≌△EMC

已有DP=ME,要想證明全等,顯然要找兩邊一夾角(否則可直接推出答案)

即證明∠MEC=∠BDP,BD=CE

而∠MEC=∠PAC=∠PAB=∠PDB,角的證明完成

對于BD=CE,既然在兩對三角形之間已經(jīng)有等角,那么用正弦定理推是很好的選擇

BM/sin∠PDB=BD/sin∠DMB

CE/sin∠EMC=CM/sin∠EMC

兩式聯(lián)立即得BD=CE

那么證明就完成了

下面,給出證明過程

證明:

連接BD,CE

∵DE=MP?

∴DP=ME ①

∵∠MEC=∠PAC=∠PAB=∠PDB

∴∠MEC=∠PDB ②

∵BM/sin∠PDB=BD/sin∠DMB

??CE/sin∠EMC=CM/sin∠EMC

? M為BC中點

∴BD=CE ③

由①②③,△DBP≌△CEM

∴BP=CM=1/2BC

即BC=2BP

接下來,再給出官方解答(圖3)

這種證法不容易想到,大家可以學習一下

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