量子計(jì)算 -- 單量子位門與CNOT門的通用性

2021-09-20 15:49 作者:nyasyamorina 0人讀過 | 我要投稿

在?量子計(jì)算 [2]?里提到過任意一個(gè)多量子位門都可以由單量子位門和CNOT組合得到.? 這里給出證明推理過程.? 其實(shí)是之前忘記了 (

分解任意多量子位門到2級酉操作

定義只對兩個(gè)態(tài)進(jìn)行變換的操作為2級酉操作,? 以下都為合理的2級酉操作

$%5Cbegin%7Bbmatrix%7Da%26b%260%260%5C%5Cc%26d%260%260%5C%5C0%260%261%260%5C%5C0%260%260%261%5Cend%7Bbmatrix%7D%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5Cbegin%7Bbmatrix%7Da%260%260%26b%5C%5C0%261%260%260%5C%5C0%260%261%260%5C%5Cc%260%260%26d%5Cend%7Bbmatrix%7D%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5Cbegin%7Bbmatrix%7D1%260%260%260%5C%5C0%26a%260%26c%5C%5C0%260%261%260%5C%5C0%26c%260%26d%5Cend%7Bbmatrix%7D$

不難知道,? 對于任意多量子位門 U,? 利用矩陣的初等變換可以有一組初等矩陣 V 使得: $V_kV_%7Bk-1%7D%5Ccdots%20V_2V_1U%3DI$ ,? 這時(shí)有:? $U%3DV_1%5E%7B-1%7DV_2%5E%7B-1%7D%5Ccdots%20V_k%5E%7B-1%7D$ ,? 因?yàn)槌醯染仃囍粚蓚€(gè)向量分量進(jìn)行操作,? 同時(shí) U 是酉的,? 也就是說 V 是2級酉操作,? 一個(gè)多量子位門最多可以分解為? $2%5E%7B2n-1%7D-2%5E%7Bn-1%7D$ ?個(gè)2級酉操作.? 詳細(xì)分解過程可以參考<線性代數(shù)>里面的矩陣初等變換.

分解2級酉操作到單量子位門和n控制單量子位門

設(shè)想可以使用一個(gè)n控制單量子位門得到2級酉操作.? 但2級酉操作里被操作的兩個(gè)態(tài)是任意的,? 而n控制單量子位門規(guī)定被操作的態(tài)必須在同一個(gè)量子位上.? 這時(shí)候可以使用n控制X門對態(tài)進(jìn)行轉(zhuǎn)移,? 使得需要操作的兩個(gè)態(tài)移動(dòng)到同一個(gè)量子位上.

假設(shè)需要對 $%7C0%5Crangle$ 和 $%7C13%5Crangle$ 進(jìn)行2級酉操作,? 可以把 $%7C0%5Crangle$ 轉(zhuǎn)移到 $%7C12%5Crangle$ ,? 再對最低位量子位進(jìn)行n控制單量子位門,? 最后把態(tài)的位置復(fù)原.? 以下用一個(gè)簡單的例子演示如何轉(zhuǎn)移態(tài):

分解n控制單量子位門到CNOT和單控制單量子位門

雖然之前好像沒有明確地指出過,? 這里還是著重地說一下,? 控制位門可以寫為 $U%5E%7Ba_1%5Ccdot%20a_2%5Ccdot%20a_3%7D$

針對2控制位門,? 根據(jù)運(yùn)算 $2%20%5Ctimes%20a_1%5Ccdot%20a_2%3Da_1%2Ba_2-(a_1%5Coplus%20a_2)$ ,? 那么可以分解為: $U%5E%7Ba_1%5Ccdot%20a_2%7D%3D(V%5E%7B-1%7D)%5E%7Ba_1%5Coplus%20a_2%7DV%5E%7Ba_2%7DV%5E%7Ba_1%7D%3B%5C%3BU%3DVV$ ,? 因?yàn)?U 是酉的,? 所以必定存在 V 使得 VV=U.? 分解后的電路如下

類似地,? 3控制位門的分解為:? $4%20%5Ctimes%20a_1%5Ccdot%20a_2%5Ccdot%20a_3%3Da_1%2Ba_2%2Ba_3-(a_1%5Coplus%20a_2)-(a_2%5Coplus%20a_3)-(a_1%5Coplus%20a_3)%2B(a_1%5Coplus%20a_2%20%5Coplus%20a_3)$ 得到 $U%5E%7Ba_1%5Ccdot%20a_2%5Ccdot%20a_3%7D%3DV%5E%7Ba_1%5Coplus%20a_2%20%5Coplus%20a_3%7D(V%5E%7B-1%7D)%5E%7Ba_1%20%5Coplus%20a_3%7D(V%5E%7B-1%7D)%5E%7Ba_2%20%5Coplus%20a_3%7D(V%5E%7B-1%7D)%5E%7Ba_1%20%5Coplus%20a_2%7DV%5E%7Ba_3%7DV%5E%7Ba_2%7DV%5E%7Ba_1%7D%3B%5C%3B%20U%3DV%5E4$

對于任意n控制位門,? 有:

$2%5E%7Bn-1%7D%5Ctimes%20a_1%5Ccdots%20a_n%3D%5Csum_i%20a_i-%5Csum_%7Bi%3Cj%7D(a_i%5Coplus%20a_j)%2B%5Csum_%7Bi%3Cj%3Ck%7D(a_i%5Coplus%20a_j%5Coplus%20a_k)-%5Ccdots%2B(-1)%5E%7Bn-1%7D(a1%5Coplus%5Ccdots%5Coplus%20a_n)$

分解單控制單量子位門到單量子位門和 CNOT

對于任意單量子位門 U,? 存在實(shí)數(shù) $%5Calpha%2C%5Cbeta%2C%5Cgamma%2C%5Cdelta$ 使得 $U%3De%5E%7Bi%5Calpha%7DR_z(%5Cbeta)R_y(%5Cgamma)R_z(%5Cdelta)$ .??證明過程在文章底部,? 這個(gè)操作稱作 Z-Y分解,? 這種分解在Bloch球上是十分直觀的.

定義三個(gè)單量子位門:? $A%3DR_z(%5Cbeta)R_y(%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D)%3B%5C%3BB%3DR_y(-%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D)R_z(-%5Cfrac%7B%5Cbeta%2B%5Cdelta%7D%7B2%7D)%3B%5C%3BC%3DR_z(-%5Cfrac%7B%5Cbeta-%5Cdelta%7D%7B2%7D)$ ,? 不難知道有以下關(guān)系? $ABC%3DI%3B%5C%3Be%5E%7Bi%5Calpha%7DAXBXC%3DU$ ,? 這個(gè)操作稱為 ABC分解.? 根據(jù)ABC分解的性質(zhì)可以對任意單控制單量子位門分解:

Qcircuit 不能用矩陣作位門的名稱,? 所以這里就徒手畫圖了 (

經(jīng)過以上步驟的分解,? 任意多量子位門都可以分解為單量子位門和CNOT.? 當(dāng)然證明單量子位門和CNOT門的通用性還是差了很多細(xì)節(jié),? 但是我這個(gè)人就是不注重細(xì)節(jié)的 (

量子計(jì)算系列的專欄大概近期內(nèi)都不會(huì)有更新了,? 最近在忙光追,? TODO list 里面還有量子力學(xué), 相對論和流體模擬之類難啃的東西.? 不過也說不定哪天就滾回來更量子計(jì)算了,? 隨緣,? 隨緣好吧

Z-Y分解的證明

設(shè)單量子位門為 $U%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7Da%26b%5C%5Cc%26d%5Cend%7Bbmatrix%7D$ .

根據(jù)酉矩陣的性質(zhì)1 $%7Ca%7C%5E2%2B%7Cc%7C%5E2%3D1$ ?設(shè)? $a%3De%5E%7Bi%5Ctheta_1%7D%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%3B%5C%3Bc%3De%5E%7Bi%5Ctheta_3%7D%5Csin%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D$ ,? 再根據(jù)性質(zhì)2 $%5Cbar%7Ba%7Db%2B%5Cbar%7Bc%7Dd%3D0$ 得到 $%7Ca%7C%7Cb%7C%3D%7Cc%7C%7Cd%7C%5CRightarrow%7Cb%7C%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%3D%7Cd%7C%5Csin%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D$ ,? 因?yàn)樾再|(zhì)3 $%7Cb%7C%5E2%2B%7Cd%7C%5E2%3D1$ ?可以設(shè) $b%3De%5E%7Bi%5Ctheta_2%7D%5Csin%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%3B%5C%3Bd%3De%5E%7Bi%5Ctheta_4%7D%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D$ .

如此得到:? $U%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7De%5E%7Bi%5Ctheta_1%7D%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%26e%5E%7Bi%5Ctheta_2%7D%5Csin%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%5C%5Ce%5E%7Bi%5Ctheta_3%7D%5Csin%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%26e%5E%7Bi%5Ctheta_4%7D%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%5Cend%7Bbmatrix%7D%3De%5E%7Bi%5Ctheta_1%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%26e%5E%7Bi(%5Ctheta_2-%5Ctheta_1)%7D%5Csin%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%5C%5Ce%5E%7Bi(%5Ctheta_3-%5Ctheta_1)%7D%5Csin%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%26e%5E%7Bi(%5Ctheta_4-%5Ctheta_1)%7D%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ,? 由性質(zhì)2得 $e%5E%7Bi(%5Ctheta_2-%5Ctheta_1)%7D%3D-e%5E%7Bi(%5Ctheta_4-%5Ctheta_3)%7D$ .? 設(shè) $%5Cdelta%3D%5Ctheta_4-%5Ctheta_3%3B%5C%3B%5Cbeta%3D%5Ctheta_3-%5Ctheta_1%3B%5C%3B%5Calpha%3D%5Ctheta_1%2B%5Cfrac%7B%5Cbeta%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cdelta%7D%7B2%7D$ .? 得到

$U%3De%5E%7Bi(%5Calpha-%5Cfrac%7B%5Cbeta%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7B%5Cdelta%7D%7B2%7D)%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%26-e%5E%7Bi%5Cdelta%7D%5Csin%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%5C%5Ce%5E%7Bi%5Cbeta%7D%5Csin%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%26e%5E%7Bi(%5Cbeta%2B%5Cdelta)%7D%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%5Cend%7Bbmatrix%7D%3De%5E%7Bi%5Calpha%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7De%5E%7Bi(-%5Cfrac%7B%5Cbeta%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7B%5Cdelta%7D%7B2%7D)%7D%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%26-e%5E%7Bi(-%5Cfrac%7B%5Cbeta%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cdelta%7D%7B2%7D)%7D%5Csin%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%5C%5Ce%5E%7Bi(%5Cfrac%7B%5Cbeta%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7B%5Cdelta%7D%7B2%7D)%7D%5Csin%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%26e%5E%7Bi(%5Cfrac%7B%5Cbeta%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cdelta%7D%7B2%7D)%7D%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B2%7D%5Cend%7Bbmatrix%7D$

最后得到 $U%3De%5E%7Bi%5Calpha%7DR_z(%5Cbeta)R_y(%5Cgamma)R_z(%5Cdelta)$ aaa

標(biāo)簽：數(shù)學(xué)量子量子計(jì)算

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