• 單調(diào)有界準(zhǔn)則(4步)
• step1：在草稿紙上求極限(設(shè)A求A)

注意極限結(jié)果只能取一個(gè)

• step2：證明有界性

數(shù)學(xué)歸納法做不了，改用放縮的方法做

觀察式子是求和的形式→想到用求和的基本不等式→有二元(各項(xiàng)次方數(shù)一樣，即項(xiàng)次方數(shù)做差＝0 e.g. x為1次，1/x為1次，1-1=0，所以x和1/x直接用二元的基本不等式)的和多元(各項(xiàng)次方數(shù)做差≠0)的基本不等式→看式子的各項(xiàng)次方→1/x^3為3次，3x為1次，3-1=2≠0，1/x^3和3x不能用二元的基本不等式→想到多元基本不等式→最高次是1/x^3為3次，則3·x要看成x+x+x，保證最后用多元基本不等式時(shí)結(jié)果與x無(wú)關(guān).→試一試發(fā)現(xiàn)可以用多元基本不等式

注意：一正二定三相等

• step3：求單調(diào)性

用除法，結(jié)果與1比較

單調(diào)遞減有下界

• step4：利用單調(diào)有界準(zhǔn)則推極限存在，最后把草稿紙上的極限過程再抄一遍

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• 單調(diào)有界準(zhǔn)則

★四步走↓

step1：在草稿紙上求極限(設(shè)A求A)

step2：證明有界性

step3：求單調(diào)性

step4：利用單調(diào)有界準(zhǔn)則推極限存在，最后把草稿紙上的極限過程再抄一遍

• 基本不等式
• 二元基本不等式

一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．

• 多元基本不等式

觀察式子是求和的形式→想到用求和的基本不等式→有二元(各項(xiàng)次方數(shù)一樣，即項(xiàng)次方數(shù)做差＝0 e.g. x為1次，1/x為1次，1-1=0，所以x和1/x直接用二元的基本不等式)的和多元(各項(xiàng)次方數(shù)做差≠0)的基本不等式→看式子的各項(xiàng)次方→1/x^3為3次，3x為1次，3-1=2≠0，1/x^3和3x不能用二元的基本不等式→想到多元基本不等式→最高次是1/x^3為3次，則3·x要看成x+x+x，保證最后用多元基本不等式時(shí)結(jié)果與x無(wú)關(guān).

• 推論

• ★求基本不等式

（1）若直接滿足基本不等式條件，則直接應(yīng)用基本不等式．

（2）★若不直接滿足基本不等式條件，則需要創(chuàng)造條件對(duì)式子進(jìn)行恒等變形，如構(gòu)造“1”的代換等．常見的變形手段有拆、并、配.

①拆——裂項(xiàng)拆項(xiàng)

對(duì)分子的次數(shù)不低于分母次數(shù)(分子次數(shù)＞or＝分母次數(shù))的分式進(jìn)行整式分離——分離成整式與“真分式”的和，再根據(jù)分式中分母的情況對(duì)整式進(jìn)行拆項(xiàng)，為應(yīng)用基本不等式湊定積創(chuàng)造條件．

②并——分組并項(xiàng)

目的是分組后各組可以單獨(dú)應(yīng)用基本不等式，或分組后先由一組應(yīng)用基本不等式，再組與組之間應(yīng)用基本不等式得出最值．

③配——配式子配系數(shù)

有時(shí)為了挖掘出“積”或“和”為定值，常常需要根據(jù)題設(shè)條件采取合理配式、配系數(shù)的方法，使配式與待求式相乘后可以應(yīng)用基本不等式得出定值，或配以恰當(dāng)?shù)南禂?shù)后，使積式中的各項(xiàng)之和為定值.

★模型

還有：式子只有一個(gè)變量的，找次方差為2的，同除x^n湊出x與1/x

注意：如果是負(fù)的要在結(jié)果前面加負(fù)號(hào)并且不等號(hào)改變方向

④“1”的妙用

題目中如果出現(xiàn)了兩個(gè)式子之和為常數(shù)，要求這兩個(gè)式子的倒數(shù)之和的最小值，通常用所求這個(gè)式子乘以1，然后把1用前面的常數(shù)表示出來(lái)，并將兩個(gè)式子展開即可計(jì)算。如果題目已知兩個(gè)式子倒數(shù)之和為常數(shù)，求兩個(gè)式子之和的最小值，方法同上。

⑤換元法

只有一個(gè)變量，but分母太麻煩了，給他換成t去求

⑥消參數(shù)法(2個(gè)變量變成一個(gè)變量)

更不重要的變量用更重要(對(duì)結(jié)果的決定性的含量高)的變量來(lái)表示

⑦雙換元

若題目中含是求兩個(gè)分式(分母有點(diǎn)惡心)的最值問題，常用雙換元法(分母分別換兩個(gè)參數(shù))

?⑧齊次化

分子分母同除某個(gè)東西→得到分子分母次數(shù)相同

（3）若一次應(yīng)用基本不等式不能達(dá)到要求，需多次應(yīng)用基本不等式，但要注意等號(hào)成立的條件必須要一致.